Oppgåve

Multiplikasjon av sannsyn

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel.

4.1.50

Tikrone. Foto. — Bilete: NTB scanpix / CC BY-NC-SA 4.0

Du kastar ei tikrone to gonger.

a) Finn sannsynet for at du får krone i begge kasta.

Vis fasit

$P (2 krone) = P (krone) \cdot P (krone) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

b) Finn sannsynet for at du får mynt i begge kasta.

Vis fasit

$P (2 mynt) = P (mynt) \cdot P (mynt) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

c) Finn sannsynet for at du får mynt i det første kastet og krone i det andre kastet.

Vis fasit

$P (Først mynt, så krone) = P (mynt) \cdot P (krone) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

d) Finn sannsynet for at du får krone i det første kastet og mynt i det andre kastet.

Vis fasit

$P (Først krone, så mynt) = P (krone) \cdot P (mynt) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

e) Set opp ei sannsynsfordeling for forsøket.

Vis fasit

Utfall	KK	KM	MK	MM
Sannsyn	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

4.1.51

Du får vite at Arne og Grete har to barn. Barna er ikkje tvillingar. Vi reknar med at ved ein fødsel er sannsynet for å få ei jente like stor som sannsynet for å få ein gut.

a) Kva er sannsynet for at Arne og Grete har to jenter?

Vis fasit

$P (J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0, 25$

b) Kva er sannsynet for at Arne og Grete har éi jente og éin gut?

Vis fasit

$P (J G eller G J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} = 0, 50$

4.1.52

Du får vite at Anne og Morten har tre barn. Barna er ikkje tvillingar eller trillingar. Vi reknar med at ved ein fødsel er sannsynet for å få ei jente like stor som sannsynet for å få ein gut.

a) Kva er sannsynet for at heile barneflokken er jenter?

Vis fasit

$P (J J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0, 125$

b) Kva er sannsynet for at den eldste i søskenflokken er ein gut og resten er jenter?

Vis fasit

$P (G J J) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0, 125$

c) Kva er sannsynet for at det er høgst éin gut i søskenflokken?

Vis fasit

Vi har då fire gunstige utfall, $\{J J J, G J J, J G J, J J G\}$ , av totalt 8 moglege utfall med same sannsyn.

$\begin{array}{rcl} P (Høgst ein gut) & = & P (J J J) + P (G J J) + P (J G J) + P (J J G) \\ = & \frac{1}{8} \cdot 4 \\ = & 0, 50 \end{array}$

4.1.53

Hatt med lappar med tala 1 til 5. Illustrasjon. — Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen / CC BY-SA 4.0

Du legg fem lappar nummererte frå 1 til 5 i ein hatt, og så trekkjer du etter tur ut to lappar.

a) Kva er sannsynet for at du først trekkjer nummer 3 og så nummer 4 dersom du legg tilbake den første lappen før du trekkjer neste lapp?

Vis fasit

$P (Først 3, så 4) = P (3) \cdot P (4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

b) Kva er sannsynet for at du først trekkjer nummer 3 og så nummer 4 dersom du ikkje legg tilbake den første lappen før du trekkjer neste lapp?

Vis fasit

$P (Først 3, så 4) = P (3) \cdot P (4 | 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$

4.1.54

I ein boks ligg det 4 blå, 3 raude og 5 gule kuler. Du trekkjer ut to kuler frå boksen. (Du legg ikkje tilbake den første kula før du trekkjer den neste.)

a) Kva er sannsynet for at begge kulene er raude?

Vis fasit

$P (R R) = P (R) \cdot P (R | R) = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{1}{22} \approx 0, 045$

b) Kva er sannsynet for at den første kula du trekkjer ut, er blå, og at den andre kula du trekkjer ut, er gul?

Vis fasit

$P (B G) = P (B) \cdot P (G | B) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5}{33} \approx 0, 15$

c) Kva er sannsynet for at du trekkjer éi blå og éi gul kule?

Vis fasit

Her må vi passe på. Å trekkje éi blå og éi gul kule kan gjerast på to måtar. Du kan først trekkje éi blå kule og deretter éi gul kule, eller du kan først trekkje éi gul kule og deretter éi blå kule.

$\begin{matrix} P (B G eller G B) = P (B) \cdot P (G | B) + P (G) \cdot P (B | G) \\ P (B G eller G B) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = 2 \cdot \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 11} = \frac{10}{33} \approx 0, 30 \end{matrix}$

4.1.55

Omtrent éin tidel av befolkninga i verda er venstrehendte.

a) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig person er høgrehendt?

Vis fasit

$P (Høgrehendt) = 1 - P (Venstrehendt) = 1 - 0, 10 = 0, 90$

I ein klasse er det 20 elevar.

b) Kva er sannsynet for at det ikkje er nokon venstrehendte i denne klassen?

Vis fasit

$P (Alle høgrehendte) = 0, 90^{20} = 0, 12$

c) Kva er sannsynet for at det er minst éin venstrehendt i klassen?

Vis fasit

Anten er ingen venstrehendte eller så er det minst éin venstrehendt.

Vi kan då skrive

$\begin{array}{rcl} P (Minst éin venstrehendt) & = & 1 - P (Ingen venstrehendte) \\ = & 1 - 0, 12 \\ = & 0, 88 \end{array}$

(Ingen venstrehendte er det same som at alle er høgrehendte.)

4.1.56

I ei skål ligg det 100 nøtter. Fem av nøttene er dårlege. Du tek tre nøtter tilfeldig.

a) Kva er sannsynet for at alle tre nøttene er fine?

Vis fasit

Vi definerer hendinga F: ei nøtt er fin.

$P (F F F) = P (F) \cdot P (F | F) \cdot P (F | F F) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = 0, 856$

b) Kva er sannsynet for at dei to siste nøttene er fine når du veit at den første var dårleg?

Vis fasit

Dette blir det same som å ha berre 99 nøtter der fire er dårlege og så trekkje to:

$P (F F) = P (F) \cdot P (F | F) = \frac{95}{99} \cdot \frac{94}{98} = 0, 9204 \approx 0, 920 \begin{array}{l} \end{array}$

c) Kva er sannsynet for at den tredje nøtta er fin når dei to første var dårlege?

Vis fasit

På same måte som i b) tenkjer vi oss her at vi har teke ut to av dei dårlege nøttene og har 98 nøtter, tre av dei er dårlege.

$\begin{array}{rcl} P (Den tredje nøtta er fin når \\ vi veit at dei to første var dårlege) & = & \frac{95}{98} \\ = & 0, 969 \end{array}$

4.1.57

Eit passord består av fem siffer.

a) Kor mange ulike passord kan du få dersom du kan bruke tala 0 til 9 akkurat som du vil?

Vis fasit

Vi har 10 siffer å velje mellom og kan få $10^{5} = 100 000$ moglege passord.

b) Kor mange passord kan du få dersom alle tala må vere ulike?

Vis fasit

For det første talet har du 10 moglege siffer å velje mellom, for det andre talet har du no 9 siffer å velje mellom og så vidare.

Vi får då $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30 240$ moglegheiter for passordet.

4.1.58

Terning med 12 sidekantar. Illustrasjon. — Bilete: Ukjent / CC BY-SA 4.0

Figuren viser ein terning med tolv sider der tala 1, 2, 3, ... , 12 er skrivne på sidene. Dei tolv moglege utfalla er like sannsynlege.

a) Kva er sannsynet for å få 12 når du kastar terningen éin gong?

Vis fasit

$P (12 i eitt kast) = \frac{1}{12}$

b) Du kastar terningen to gonger. Kva er sannsynet for å få 12 begge gongene?

Vis fasit

$P (12 i begge kasta) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{144}$

c) Kva er sannsynet for at summen av tala på terningane er mindre enn 6 dersom du kastar terningen to gonger?

Vis fasit

Vi set utfalla opp i ein tabell for å få oversikt.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

Det er i alt $12 \cdot 12 = 144$ moglege utfall.

Sannsynet for at summen er mindre enn 6 (sjå rutene der tala er utheva i tabellen) blir dermed

$P (Sum < 6) = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0, 07$

4.1.59

Lærar Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutar og 17 jenter i klassen. Elevane tek skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er ein gut eller ei jente som kjem først ned bakken. Vi går ut frå at elevane kjem ned i tilfeldig rekkjefølgje.

a) Kva er sannsynet for at den første eleven som kjem ned, er ein gut?

Vis fasit

$P (G) = \frac{13}{30} \approx 0, 433$

b) Kva er sannsynet for at den andre eleven som kjem ned, er ei jente, når den første var ein gut?

Vis fasit

$P (J | G) = \frac{17}{29} \approx 0, 586$

Den andre gongen elevane tek heisen opp, er det berre ni gutar og seks jenter som er med.

c) Kva er sannsynet for at dei to første som kjem ned denne gongen, er jenter?

Vis fasit

$P (J J) = P (J) \cdot P (J | J) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{7} \approx 0, 143$

4.1.60

Thomas har to søsken. Ingen er tvillingar eller trillingar.

a) Kva er sannsynet for at dei tre søskena har fødselsdag på ulike vekedagar?

Vis fasit

Vi har 7 ulike vekedagar. Tenk deg at søsken nummer ein har fødselsdag ein bestemd vekedag. Då har søsken nummer to 6 andre vekedagar å "velje" mellom. Søsken nummer tre har 5 vekedagar å velje mellom.

Vi får då $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} = 0, 61$ .

b) Kva er sannsynet for at minst to av søskena har fødselsdag på den same vekedagen?

Vis fasit

Anten har ingen av søskena fødselsdag på den same vekedagen, eller så har minst to av søskena fødselsdag på den same vekedagen.

Vi får då $1 - 0, 61 = 0, 39$ .

No tek vi med foreldra til Thomas.

c) Kva er sannsynet for at dei fem familiemedlemmene har fødselsdag på ulike vekedagar?

Vis fasit

Vi får $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} = 0, 15$ .

4.1.61

For å vinne toppgevinsten i lotto må du velje ut 7 riktige tal mellom tala frå og med 1 til og med 34. Tala kan berre veljast ein gong kvar. Du vel ut akkurat 7 tal.

a) Kva er då sannsynet for å vinne toppgevinsten i lotto?

Vis fasit

Sannsynet for å vinne toppgevinsten blir

$\frac{7}{34} \cdot \frac{6}{33} \cdot \frac{5}{32} \cdot \frac{4}{31} \cdot \frac{3}{30} \cdot \frac{2}{29} \cdot \frac{1}{28} = \frac{1}{5379616}$

b) Kva er då sannsynet for at ingen av tala du tippar, er riktige?

Vis fasit

Sannsynet for at ingen av tala er riktige, blir

$\frac{27}{34} \cdot \frac{26}{33} \cdot \frac{25}{32} \cdot \frac{24}{31} \cdot \frac{23}{30} \cdot \frac{22}{29} \cdot \frac{21}{28} = 0, 165$

c) Kva er då sannsynet for at minst eitt av tala er riktig?

Vis fasit

Sannsynet for at minst eitt av tala er riktig, blir

$1 - 0, 165 = 0, 835$

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

4.1.50

4.1.51

4.1.52

4.1.53

4.1.54

4.1.55

4.1.56

4.1.57

4.1.58

4.1.59

4.1.60

4.1.61

Reglar for bruk av teksten "Multiplikasjon av sannsyn"

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24