Sannsynsmodellar
Ei oversikt over alle utfall og sannsyna til dei enkelte utfalla i eit forsøk kallar vi ein sannsynsmodell. Det er viktig å merke seg at summen av alle sannsyna i ein sannsynsmodell alltid må vere 1. Tenk gjennom kvifor, og sjekk gjerne i alle sannsynsmodellane på denne sida at det faktisk er sånn.
I filmen under får du ein fin introduksjon til det vi skal gå gjennom på denne sida.
Uniform sannsynsmodell
Tabellen viser ein sannsynsmodell for kast med éin terning:
Talet på auge | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sannsyn |
I denne sannsynsmodellen er sannsyna for alle utfalla like store. Vi seier då at sannsynsmodellen er uniform.
Ikkje-uniform sannsynsmodell
Eit døme på ein sannsynsmodell som ikkje er uniform, er modellen for blodtypen til ein blodgivar.
Som du ser av tabellen nedanfor, er sannsyna for dei enkelte utfalla ikkje like store.
Blodtype | 0 | A | B | AB |
|---|---|---|---|---|
Sannsyn | 0,40 | 0,48 | 0,08 | 0,04 |
(Datamaterialet er henta frå Pasienthandboka.)
Andre døme på tilfeldige forsøk
Å kaste ein terning er eit tilfeldig forsøk. Vi veit kva utfall som er moglege, men kva utfallet blir i eit enkelt kast, er tilfeldig.
Kast med teiknestiftar
Å kaste ein teiknestift er òg eit tilfeldig forsøk. Det er to moglege utfall av forsøket. Teiknestiften kan lande med spissen opp eller med spissen ned.
U = {spissen opp, spissen ned}
I eit forsøk fekk vi følgjande resultat etter 60 000 kast:
Tal | Relativ frekvens | |
|---|---|---|
Opp | 46 379 | 0,773 |
Ned | 13 621 | 0,227 |
Sum | 60 000 | 1,000 |
Dei relative frekvensane varierer, men allereie med så få kast kan det tyde på at med nøyaktigheita til to siffer er den relative frekvensen for spiss opp 0,77 og for spiss ned 0,23.
Vi kan seie at sannsynet for å få spiss opp ved kast av teiknestiften er lik 0,77, og for spiss ned er sannsynet 0,23. Det er tydeleg at sannsynsmodellen er ikkje er uniform.
Nedanfor kan du prøve ei simulering der du skal kome fram til sannsynet for at teiknestiften landar med spissen ned. Her er det ein annan type teiknestift, så sannsynet er ikkje det same som over.
Kast av ein mynt
Dersom du kastar ein mynt, har du to moglege utfall: mynt eller krone. Trur du at sannsynsmodellen til forsøket "kast éin mynt" er uniform? Kan du gjere eit forsøk, anten åleine eller saman med ein medelev, for å teste det ut? Teikn gjerne opp tabellen med sannsynsmodellen òg.
Tips
Kast ein mynt mange gonger, og noter ned kor mange du får av kvart utfall. Finn ut omtrent kor mange forsøk du må gjere for å få omtrent like stor relativ frekvens på begge utfalla.
Tabellen du får ser slik ut:
Myntkast | Mynt | Krone | |
|---|---|---|---|
Sannsyn | 0,5 | 0,5 |
Kast av to myntar
Korleis trur du sannsynsmodellen vil bli dersom vi kastar to heilt like myntar samtidig? Kva for ulike utfall kan vi få? Korleis vil sannsynsfordelinga sjå ut, vil ho vere uniform? Gjer forsøk igjen, før du ser i tipsboksen under.
Tips
Dersom vi kastar to heilt like myntar samtidig, er det umogleg for oss å vite kva for ein av dei som er kva for ein. Då kan ein seie at vi kan få tre ulike utfall, nemleg to myntar, to kroner eller ein av kvar. Då er det lett å tenkje at sannsynet for dei tre utfalla er like, men det er dei ikkje! Test ut, og sjå om det er eitt av utfalla som opptrer oftare enn dei andre.
Dersom du har testa mange nok gonger, vil sannsynsfordelinga di likne på denne:
Utfall | To myntare | To kroner | Ein av kvar | ||
|---|---|---|---|---|---|
Sannsyn | 0,25 | 0,25 | 0,5 |
For å forstå kvifor sannsynsmodellen for kast av to myntar blir som han blir, må vi sjå for oss korleis forsøket ville ha vore om dei to myntane var ulike, til dømes ei tikrone og ei femkrone. Kva utfall har vi no? Er denne sannsynsfordelinga uniform? Kan du bruke dette til å forstå kvifor den førre sannsynsfordelinga vart slik ho vart?
Tips
Her får vi fire ulike utfall, vi kan ha krone på tiaren (10K) og krone på femmaren (5K), mynt på tiaren (10M) og mynt på femmaren (5M), krone på tiaren og mynt på femmaren og mynt på tiaren og krone på femmaren. Alle desse fire utfalla er like sannsynlege, så her får vi ei uniform fordeling. Vi kan lage tabellen slik:
Utfall | 10K5K | 10K5M | 10M5K | 10M5M | |
|---|---|---|---|---|---|
Sannsyn | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Dersom vi samanliknar med den førre tabellen, ser vi at dei to utfalla i midten til saman utgjer utfallet "ein av kvar".
Andre sannsynsmodellar
Det finst mange velkjende modellar for sannsyn. Kanskje har du høyrt om normalfordelinga eller gausskurva? Denne fordelinga får du lære meir om i S2. I S1 skal vi jobbe mykje med to fordelingar som vi kallar binomisk og hypergeometrisk fordeling, men før vi kan seie noko om dei, må vi lære meir om grunnleggjande sannsyn og ein god del om det som heiter kombinatorikk.