Multiplikasjon av sannsyn

Vi har tidlegare sett på forsøket "kast med to terningar".

Ved å bruke regelen om gunstige over moglege kan vi finne sannsynet for å få summen 12, det vil seie seksar på begge terningane.

$P\left(\mathrm{Seksar} \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{terningane}\right)=\frac{g}{m}=\frac{1}{36}$

Sannsynet for å få ein seksar når vi kastar den raude terningen, er $\frac{1}{6}$. Sannsynet for å få ein seksar når vi kastar den blå terningen, er òg $\frac{1}{6}$. Dette gjeld uavhengig av om det vart ein seksar på raud terning eller ikkje. Om vi kastar raud terning først og får ein seksar, endrar ikkje dette sjansane for å få ein seksar på den blå terningen.

Vi seier at hendingane "å få seksar på raud terning" og "å få seksar på blå terning" er uavhengige hendingar.

Vi såg ovanfor at sannsynet for å få seksar i begge kasta er lik $\frac{1}{36}$. Dette sannsynet får vi òg ved å multiplisere sannsyna for å få seksar på kvar av terningane.

$\begin{array}{rcl}& & P\left(\mathrm{Seksar} \mathrm{på} \mathrm{raud} \mathrm{terning} \mathrm{og} \mathrm{seksar} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & = & P\left(\mathrm{Seksar} \mathrm{på} \mathrm{raud} \mathrm{terning}\right)·\left(\mathrm{Seksar} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\end{array}$

Dette gjeld generelt og blir kalla produktsetninga for uavhengige hendingar.

Tippekupong

Kor stor er sannsynet for å få 12 rette i fotballtipping når vi fyller ut éi rekkje på ein tippekupong heilt tilfeldig?

Under kan du sjå ein film som viser produktsetninga for uavhengige hendingar.

Celine og Maren trekkjer kvar sin lapp frå ein hatt som inneheld fem lappar med tala frå 1 til 5.

Vi definerer hendinga.

$$ A$$: På Celine sin lapp står det eit partal.
$$ B$$: På Maren sin lapp står det eit partal.

Dersom Celine trekkjer den første lappen, er det i hatten 2 lappar med partal og 3 lappar med oddetal. Sannsynet for å trekkje ein lapp med partal er

$P\left(A\right)=\frac{2}{5}$

Dersom Celine trekkjer eit partal, er det igjen 1 lapp med partal og 3 lappar med oddetal når Maren trekkjer, og sannsynet for at Maren òg trekkjer eit partal, er lik $\frac{1}{4}$.

Dersom Celine ikkje trekkjer eit partal, er det igjen 2 lappar med partal og 2 lappar med oddetal når Maren trekkjer, og sannsynet for at Maren trekkjer eit partal, er lik $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Sannsynet for $$ B$$ avheng av om hendinga $A$ hender eller ikkje. Vi seier at hendingane $$ A$$ og $$ B$$ er avhengige.

Sannsynet for at $$ B$$ hender når vi veit at $$ A$$ har hendt, er lik $\frac{1}{4}$.

Sannsynet for at $$ B$$ hender når vi veit at $$ A$$ ikkje har hendt, er lik $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Vi kallar dette sannsyn med vilkår. Vi bruker skrivemåten $P\left(B|A\right)$, som vi les som "sannsynet for $$ B$$ gitt $$ A$$". Vi har at

$P\left(B|A\right)=\frac{1}{4}$

Vi bruker skrivemåten for ikkje $$ A$$. Då er

$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{1}{2}$

Sannsynet for at det skal stå eit partal på begge lappane, det vil seie at både hending $$ A$$ og hending $$ B$$ hender, finn vi ved å multiplisere sannsyna:

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)·P\left(B|A\right)=\frac{2}{5}·\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

Dersom Maren trekkjer den første lappen, gjeld tilsvarande at

$P\left(B\right)=\frac{2}{5}$

Tilsvarande blir no

$P\left(A|B\right)=\frac{1}{4} \mathrm{og} P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{1}{2}$

Sannsynet for at det skal stå eit partal på begge lappane, det vil seie at både hending $$ B$$ og hending $$ A$$ hender, finn vi ved å multiplisere sannsyna:

$P\left(B\cap A\right)=P\left(B\right)·P\left(A|B\right)=\frac{2}{5}·\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

Under kan du sjå ein film om sannsyn med vilkår.