Multiplikasjon av sannsynligheter

Produktsetningen for uavhengige hendelser

Vi har tidligere sett på forsøket "kast med to terninger".

Ved å bruke regelen om gunstige over mulige kan vi finne sannsynligheten for å få summen 12, det vil si sekser på begge terningene.

$P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{begge} \mathrm{terningene}\right)=\frac{g}{m}=\frac{1}{36}$

Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den røde terningen, er $\frac{1}{6}$. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den blå terningen, er også $\frac{1}{6}$. Dette gjelder uavhengig av om det ble en sekser på rød terning eller ikke. Om vi kaster rød terning først og får en sekser, endrer ikke dette sjansene for å få en sekser på den blå terningen.

Vi sier at hendelsene "å få sekser på rød terning" og "å få sekser på blå terning" er uavhengige hendelser.

Vi så ovenfor at sannsynligheten for å få sekser i begge kastene er lik $\frac{1}{36}$. Denne sannsynligheten får vi også ved å multiplisere sannsynlighetene for å få sekser på hver av terningene.

$\begin{array}{rcl}& & P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{rød} \mathrm{terning} \mathrm{og} \mathrm{sekser} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & = & P\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{rød} \mathrm{terning}\right)·\left(\mathrm{Sekser} \mathrm{på} \mathrm{blå} \mathrm{terning}\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{6}·\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\end{array}$

Dette gjelder generelt og kalles produktsetningen for uavhengige hendelser.

Tippekupong

Hvor stor er sannsynligheten for å få 12 rette i fotballtipping når vi fyller ut éi rekke på en tippekupong helt tilfeldig?

Under kan du se en film som viser produktsetningen for uavhengige hendelser.

Betinget sannsynlighet – den generelle produktsetningen

Celine og Maren trekker hver sin lapp fra en hatt som inneholder fem lapper med tallene fra 1 til 5.

Vi definerer hendelsen.

$A$: På Celines lapp står det et partall.
$B$: På Marens lapp står det et partall.

Hvis Celine trekker den første lappen, er det i hatten 2 lapper med partall og 3 lapper med oddetall. Sannsynligheten for å trekke en lapp med partall er

$P\left(A\right)=\frac{2}{5}$

Hvis Celine trekker et partall, er det igjen 1 lapp med partall og 3 lapper med oddetall når Maren trekker, og sannsynligheten for at Maren også trekker et partall, er lik $\frac{1}{4}$.

Hvis Celine ikke trekker et partall, er det igjen 2 lapper med partall og 2 lapper med oddetall når Maren trekker, og sannsynligheten for at Maren trekker et partall, er lik $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Sannsynligheten for $B$ avhenger av om hendelsen $A$ inntreffer eller ikke. Vi sier at hendelsene $A$ og $B$ er avhengige.

Sannsynligheten for at $B$ inntreffer når vi vet at $A$ har inntruffet, er lik $\frac{1}{4}$.

Sannsynligheten for at $B$ inntreffer når vi vet at $A$ ikke har inntruffet, er lik $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Vi kaller dette betinget sannsynlighet. Vi bruker skrivemåten $P\left(B|A\right)$, som vi leser som "sannsynligheten for $B$ gitt $A$". Vi har at

$P\left(B|A\right)=\frac{1}{4}$

Vi bruker skrivemåten for ikke $A$. Da er

$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at det skal stå et partall på begge lappene, det vil si at både hendelse $A$ og hendelse $B$ inntreffer, finner vi ved å multiplisere sannsynlighetene:

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)·P\left(B|A\right)=\frac{2}{5}·\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

Hvis Maren trekker den første lappen, gjelder tilsvarende at

$P\left(B\right)=\frac{2}{5}$

Tilsvarende blir nå

$P\left(A|B\right)=\frac{1}{4} \mathrm{og} P\left(A|\overline{B}\right)=\frac{1}{2}$

Sannsynligheten for at det skal stå et partall på begge lappene, det vil si at både hendelse $B$ og hendelse $A$ inntreffer, finner vi ved å multiplisere sannsynlighetene:

$P\left(B\cap A\right)=P\left(B\right)·P\left(A|B\right)=\frac{2}{5}·\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

Under kan du se en film om betinget sannsynlighet.