Oppgåve

Blanda oppgåver i grunnleggjande sannsynsrekning

Her kan du jobbe med blanda oppgåver om sannsyn. Du må sjølv vurdere kva slags metodar du skal bruke på situasjonane som er beskrivne.

På denne sida finn du løysingsforslag til oppgåvene i klikkbare boksar nedst nede. Hugs på at det er lurt å tenkje gjennom oppgåvene ei stund før du sjekkar løysingane.

Oppgåver

4.1.80

Ein klasse held på å jobbe med brøkrekning. Elevane sit i grupper. Kvar gruppe har ein bunke med fem raude kort merkte med tala 1, 2, 3, 4 og 5 og ein bunke med fem blå kort merkte med tala 1, 2, 3, 4 og 5. Kvar elev trekkjer eit raudt kort og eit blått kort. Det raude kortet skal vere teljaren i ein brøk, og det blå kortet skal vere nemnaren.

Petter startar, og han trekkjer eit raudt og eit blått kort.

a) Vis at sannsynet for at Petter får brøken $\frac{1}{5}$ er $\frac{1}{25}$ .

b) Kva er sannsynet for at Petter ikkje får brøken $\frac{1}{5}$ ?

Petter legg korta sine tilbake. Så trekkjer Ali eit raudt og eit blått kort.

c) Kva er sannsynet for at Ali får ein brøk som kan skrivast som $\frac{1}{2}$ ?

d) Lag ei systematisk oppstilling som viser alle dei moglege brøkane elevane kan få.

Nokre av brøkene kan skrivast som heile tal. Til dømes er $\frac{3}{3} = 1 og \frac{4}{2} = 2$ .

e) Kva er sannsynet for at Ali får ein brøk som er eit heilt tal?

I ein ekte brøk er teljaren mindre enn nemnaren. Kari fekk brøken $\frac{3}{5}$ , men gløymde å leggje korta tilbake. Etter Kari er det Fredrik sin tur til å trekkje.

f) Kva er sannsynet for at Fredrik får ein ekte brøk?

4.1.81

Resultat frå ei spørjeundersøking om oljeboring utanfor Lofoten viste at

54 prosent av dei spurde var imot oljeboring
5 prosent av dei spurde hadde stemt på Venstre ved det førre valet
80 prosent av dei som hadde stemt på Venstre ved det førre valet, var imot oljeboring

Vi definerer hendingane:

$M$ : Ein person er imot oljeboring.
$V$ : Ein person stemde på Venstre ved det førre valet.

a) Finn $P (M), P (V) og P (M | V)$ ut frå opplysingane i teksten.

b) Vis at 1 prosent av dei spurde stemde på Venstre og var ikkje imot oljeboring.

Tips

Matematisk notasjon blir $P (V \cap M)$ .

c) Finn sannsynet for at ein som ikkje stemde Venstre, var imot oljeboring.

d) Finn sannsynet for at ein av dei spurde ikkje stemde Venstre, men var imot oljeboring.

4.1.82

Tre sirklar inne i kvarandre. I den innste står det 100. Mellom den innste og den neste står det 50. Mellom dei to yttste står det 20. Illustrasjon. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Steven har laga ei enkel dartskive som han bruker når han kastar piler (sjå figuren til høgre). Dersom ei pil treffer feltet i midten, får han 100 poeng. Dersom pila treffer i feltet utanfor, får han 50 poeng. Det ytste feltet gir 20 poeng. Vi går ut frå at Steven alltid treffer dartskiva når han kastar ei pil.

a) Forklar at utfallsrommet når Steven kastar éi pil er $U = \{20, 50, 100\}$ .

b) Etter å ha kasta mange gonger, har Steven sett opp sannsynsmodellen nedanfor for kast med éi pil. Kva tal skal stå i den tomme ruta i tabellen nedanfor?

Verdi	100	50	20
Sannsyn	0,20	0,30

c) Kva blir utfallsrommet når Steven kastar med to piler?

Vi går ut frå at sannsynsmodellen i b) gjeld for kvar pil Steven kastar.

d) Bestem sannsynet for at Steven får 200 poeng når han kastar 2 piler.

e) Bestem sannsynet for at Steven får 70 poeng når han kastar 2 piler.

f) Lag ein sannsynsmodell for "Stevens kast med to piler". Kontroller at modellen din er riktig ved å leggje saman alle sannsyna.

4.1.83

Kari har gløymt det siste sifferet i koden til Visa-kortet sitt. I denne oppgåva skal du rekne med at alle siffera i koden til Visa-kortet er vald tilfeldig.

a) Kva er sannsynet for at det siste sifferet i koden er 0?

b) Kva er sannsynet for at det siste sifferet i koden er 4 eller 5?

c) Etter ei stund hugsar Kari at det siste sifferet i koden er mindre enn 8, og at det ikkje er 3. Kva er då sannsynet for at det siste sifferet i koden er større enn 4?

4.1.84

Det står 5 gule, 2 oransje og 3 svarte blyantar i ei krukke. Du tek ein blyant tilfeldig.

a) Kva er sannsynet for at blyanten er gul?

I ei anna krukke står det 4 raude, 2 blå og 2 grøne blyantar. Einar tek først ein blyant tilfeldig. Før han har sett blyanten tilbake, kjem Lene. Ho tek òg ein blyant tilfeldig.

b) Kva er sannsynet for at begge blyantane er blå?

c) Kva er sannsynet for at ingen av blyantane er grøne?

4.1.85

På eit fat er det 16 smørbrød. På 10 smørbrød er det egg, på 8 smørbrød er det reker. På nokre smørbrød kan det vere både egg og reker, og på 2 smørbrød er det verken egg eller reker. Ein servitør tek eit tilfeldig smørbrød frå fatet og legg på tallerkenen din.

a) Kva er sannsynet for at det er egg på smørbrødet?

b) Kor stor er sannsynet for at det er anten egg eller reker (eller begge delar) på smørbrødet?

c) Kor stor er sannsynet for at det er både egg og reker på smørbrødet?

d) Du ber om eit smørbrød med egg på. Kor stor er sannsynet for at det då òg er reker på smørbrødet?

Løysingar

4.1.80

a) Vi bruker produktsetninga og får

$P (\frac{1}{5}) = P (1) \cdot P (5) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

b) Vi finner sannsynet for ikkje $\frac{1}{5}$ :

$P (\bar{\frac{1}{5}}) = 1 - P (\frac{1}{5}) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

c) Både $\frac{1}{2} og \frac{2}{4}$ kan skrivast som $\frac{1}{2}$ . Sannsynet for kvar av desse brøkane er $\frac{1}{25}$ . Sannsynet for at verdien på brøken Ali trekkjer, er $\frac{1}{2}$ blir dermed $\frac{1}{25} + \frac{1}{25} = \frac{2}{25}$ .

d) Vi lagar ein tabell med verdiane på dei raude korta i den øvste rada og verdiane på dei blå korta i den venstre kolonnen:

	1	2	3	4	5
1	$\frac{1}{1} = 1$	$\frac{2}{1} = 2$	$\frac{3}{1} = 3$	$\frac{4}{1} = 4$	$\frac{5}{1} = 5$
2	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2} = 1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{4}{2} = 2$	$\frac{5}{2}$
3	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{3} = 1$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{3}$
4	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{4}{4} = 1$	$\frac{5}{4}$
5	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{5}{5} = 1$

e) Vi ser av tabellen over at det er 10 av dei 25 utfalla som gir heile tal. Det gir det følgjande sannsynet:

$P (heilt tal) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$

f) Vi ser igjen på tabellen i d) og tek vekk alle moglegheitene med 3 på det raude kortet og 5 på det blå kortet. Då sit vi igjen med 16 moglegheiter. Av desse 16 er det 5 som gir ekte brøk, noko som gir det følgjande sannsynet:

$P (ekte brøk) = \frac{5}{16}$

4.1.81

$\begin{array}{l} P (M) = \frac{54}{100} \\ P (V) = \frac{5}{100} \\ P (M | V) = \frac{80}{100} \end{array}$

b) Vi har at
$P (V \cap M) = P (V) \cdot P (M | V) = \frac{5}{100} \cdot \frac{20}{100} = \frac{1}{100} = 1 %$

c) Vi veit at 95 prosent ikkje stemde Venstre. Vi rekna ut i a) at 1 prosent av dei spurde stemde Venstre og ikkje var imot oljeboring. Det betyr at 4 prosent av dei spurde stemde Venstre og var imot oljeboring. Då sit vi igjen med 50 prosent av dei spurde som var imot oljeboring utan å stemme Venstre. Det gir at $P (M | V) = \frac{50}{95}$ .

d) $P (V \cap M) = P (V) \cdot P (M | V) = \frac{95}{100} \cdot \frac{50}{95} = \frac{50}{100} = 50 %$

4.1.82

a) Så lenge vi går ut frå at Steven alltid treffer, er det berre tre moglege utfall: 20, 50 eller 100.

b) Summen av alle sannsyna skal bli 1, altså må talet i ruta vere 0,50.

c) $U = \{40, 70, 100, 120, 150, 200\}$

d) $P (200) = P (100) \cdot P (100) = 0, 20^{2} = 0, 04$

e) Han kan anten få 20 på den første pila og 50 på den andre pila eller omvendt.

$P (70) = 0, 50 \cdot 0, 30 \cdot 2 = 0, 30$

f)
$\begin{array}{l} P (40) = 0, 50^{2} = 0, 25 \\ P (100) = 0, 30^{2} = 0, 09 \\ P (120) = 0, 20 \cdot 0, 50 \cdot 2 = 0, 20 \\ P (150) = 0, 30 \cdot 0, 20 \cdot 2 = 0, 12 \end{array}$

Sannsynsmodellen:

Verdi	40	70	100	120	150	200
Sannsyn	0,25	0,30	0,09	0,20	0,12	0,04

Vi legg saman sannsyna:

$0,25+0,30+0,09+0,20+0,12+0,04=1$

4.1.83

a) $P (Siste siffer er 0) = \frac{1}{10}$

b) $P (Siste siffer er 4 eller 5) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

c) No har vi 7 moglegheiter (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7). 3 av desse er større enn 4 og mindre enn 8 (5, 6 og 7).

$P (Siste siffer er større enn 4 og mindre enn 8) = \frac{3}{7}$

4.1.84

a) $P (Blyanten er gul) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

b) $P (Begge er blå) = \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$

c) $P (Ingen er grøne) = \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

4.1.85

Vi definerer hendingane for å lette notasjonen:

$E$ : Det er egg på skiva.
$R$ : Det er reker på skiva.

a) $P (E) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

b) Vi ser at vi har 16 smørbrød til saman. 2 av dei har ingen av delane, så det er 14 smørbrød som har anten ein av delane eller begge delar. Då får vi

$P (E \cup R) = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$

c) Vi bruker addisjonssetninga:

$\begin{array}{l} P (E \cup R) = P (E) + P (R) - P (E \cap R) \\ P (E \cap R) = P (E) + P (R) - P (E \cup R) \\ P (E \cap R) = \frac{10}{16} + \frac{8}{16} - \frac{14}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \end{array}$

d) Vi skal finne $P (R | E)$ . Vi veit at det er 10 smørbrød med egg, og det er 4 smørbrød med begge delar. Då får vi

$P (R | E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Oppgåver

4.1.80

4.1.81

4.1.82

4.1.83

4.1.84

4.1.85

Løysingar

Reglar for bruk av teksten "Blanda oppgåver i grunnleggjande sannsynsrekning"