Ekstremalpunkter og terrassepunkter. Stasjonære punkter

Grafen til $$ f$$ (den blå grafen): Det ser ut som om grafen er helt flat ved  $$ x=1$$. Ellers synker den overalt. Det betyr at grafen har et terrassepunkt for  $$ x=1$$. Ellers har den ingen andre stasjonære punkter.

Grafen til $$ g$$ (den røde grafen): Denne grafen stiger i hele området. Den flater litt ut ved  $$ x=1$$, men er ikke helt flat. Denne grafen har derfor ingen stasjonære punkter.

Grafen til $$ h$$ (den grønne grafen): Grafen synker fram til  $$ x=-2$$, der den flater ut og fortsetter å synke. Da har grafen et terrassepunkt for  $$ x=-2$$.
Grafen synker videre, før den snur ved  $$ x=1$$  og stiger videre. Grafen har derfor et bunnpunkt for  $$ x=1$$.

Vi deriverer $$ f\left(x\right).$$

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{1}{2}{x}^2-2x+1\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{2}·2x-2=x-2\end{array}$$

Vi setter så $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$$ \begin{array}{rcl} f^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ x-2& =& 0\\ x& =& 2\end{array}$$

Funksjonen har altså et stasjonært punkt for  $$ x=2$$. Vi kan raskt avgjøre at den deriverte er negativ hvis vi setter inn en $x$-verdi som er mindre enn 2 og motsatt.

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi ser av fortegnslinja at $f\left(x\right)$ minker for $$ x\in ⟨\leftarrow , 2⟩$$ og at $f\left(x\right)$ vokser når $$ x\in ⟨2, \to ⟩$$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor et bunnpunkt når $$ x=2$$.

$$ \begin{array}{rcl}f\left(2\right) & =& \frac{1}{2}·2^2-2·2+1\\ & =& 2-4+1\\ & =& -1\end{array}$$

Bunnpunktet er $$ \left(2, f\left(2\right)\right)=\left(2, -1\right)$$.

I dette eksempelet visste vi egentlig fra før at grafen har et bunnpunkt, siden det er grafen til en andregradsfunksjon med positivt tall foran andregradsleddet.

Vi sier også at funksjonen har minimalverdi $$ f\left(2\right)=-1$$.

Løsningen med CAS nedenfor gir samme resultat.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi deriverer $$ g\left(x\right)$$.

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-6x-3\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{3}·3x^2+\frac{1}{2}·2x-6=x^2+x-6\end{array}$$

Vi setter så $$ g^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$$ \begin{array}{rcl} g^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ x^2+x-6& =& 0\\ \left(x+3\right)\left(x-2\right)& =& 0\\ x+3& =& 0 \vee x-2=0\\ x& =& -3 \vee x=2\end{array}$$

Her har vi brukt "stirremetoden" for å løse andregradslikningen. Vi kunne også brukt andregradsformelen (abc-formelen).

Funksjonen har altså to stasjonære punkter, eller nullpunkter for den deriverte. Det er bare der at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

$$ \begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(-4\right)={\left(-4\right)}^2+\left(-4\right)-6=16-4-6=6>0\\ g^{\text{'}}\left(0\right)={\left(0\right)}^2+0-6=-6<0\\ g^{\text{'}}\left(3\right)=3^2+3-6=9+3-6=6>0\end{array}$$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi ser av fortegnslinja at $$ g\left(x\right)$$ minker for $$ x\in ⟨-3, 2⟩$$ og vokser utenom dette intervallet unntatt i nullpunktene. Den deriverte skifter fortegn ved begge nullpunktene.

Begge de stasjonære punktene er derfor ekstremalpunkter. Grafen til $$ g\left(x\right)$$ har et toppunkt når  $$ x=-3$$  og et bunnpunkt når $$ x=2$$.

$$ \begin{array}{rcl}g(-3) & =& \frac{1}{3}·{\left(-3\right)}^3+\frac{1}{2}{\left(-3\right)}^2-6·\left(-3\right)-3\\ & =& -9+\frac{9}{2}+18-3\\ & =& \frac{21}{2}\\ g\left(2\right) & =& \frac{1}{3}·2^3+\frac{1}{2}{2}^2-6·2-3\\ & =& \frac{8}{3}+2-12-3\\ & =& -\frac{31}{3}\end{array}$$

Toppunktet er $$ \left(-3, g\left(-3\right)\right)=\left(-3, \frac{21}{2}\right)$$.

Bunnpunktet er $$ \left(2, g\left(2\right)\right)=\left(2, -\frac{31}{3}\right)$$.

Vi sier også at funksjonen har maksimalverdien  $$ g\left(-3\right)=\frac{21}{2}$$. Funksjonen har minimalverdi $$ g\left(2\right)=-\frac{31}{3}$$.

Løsningen med CAS nedenfor gir samme resultat.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi deriverer $$ h\left(x\right)$$.

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3-x^2+x-1\\ & & \\ h^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1}{3}·3x^2-2x+1=x^2-2x+1\end{array}$$

Vi setter så $$ h^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$$ \begin{array}{rcl} h^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ x^2-2x+1& =& 0\\ {\left(x-1\right)}^2& =& 0\\ x-1& =& 0\\ x& =& 1\end{array}$$

Her gjenkjente vi andregradsuttrykket som et fullstendig kvadrat. Vi kunne også brukt andregradsformelen.

Vi får bare én løsning. Funksjonen har bare ett stasjonært punkt, eller nullpunkt for den deriverte. Det er bare der at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Siden den deriverte er et kvadrat, er den alltid større enn null unntatt der den er null. Vi trenger derfor ikke å gjøre noe mer for å tegne fortegnslinja til $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi ser av fortegnslinja at den deriverte ikke skifter fortegn ved nullpunktet. Funksjonen har derfor et terrassepunkt for  $$ x=1$$.

$$ \begin{array}{rcl}h\left(1\right) & =& \frac{1}{3}·1^3-1^2+1-1\\ & =& \frac{1}{3}-1+1-1\\ & =& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Terrassepunktet er $$ \left(1, h\left(1\right)\right)=\left(1, -\frac{2}{3}\right)$$.

Funksjonen har ingen ekstremalpunkter.

Løsningen med CAS nedenfor gir samme resultat.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Vi deriverer $$ p\left(x\right)$$.

$$ \begin{array}{rcl}p\left(x\right)& = & \frac{1}{4}{x}^4-x^3+4x-2\\ & & \\ p\text{'}\left(x\right)& =& \frac{1}{4}·4x^3-3x^2+4=x^3-3x^2+4\end{array}$$

Vi setter så $$ p\text{'}\left(x\right)=0$$. Dette gir en tredjegradslikning der vi må gjette på en løsning for å kunne komme videre. Vi løser i stedet oppgaven med CAS.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Funksjonen har altså to stasjonære punkter, eller nullpunkter for den deriverte. Vi tegner fortegnslinja for $$ p\text{'}\left(x\right)$$. Linje 3 i CAS-løsningen forteller hvor fortegnslinja skal være heltrukken.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Fortegnslinja gir at funksjonen har et bunnpunkt for  $$ x=-1$$  og et terrassepunkt for  $$ x=2$$. Fra linje 4 og 5 får vi $$ y$$-koordinatene til disse punktene.

Bunnpunktet er $$ \left(-1, p\left(-1\right)\right)=\left(-1, -\frac{19}{4}\right)$$.

Terrasssepunktet er $$ \left(2, p\left(2\right)\right)=\left(2, 2\right)$$.

Funksjonen har minimalverdien  $$ p\left(-1\right)=-\frac{19}{4}$$. Funksjonen har ingen maksimalverdi.

Fortegnslinja til $$ f$$ gir at grafen til $$ f$$ har et nullpunkt for  $$ x=2,3$$, ligger over $$ x$$-aksen når  $$ x<2,3$$  og under $$ x$$-aksen når  $$ x>2,3$$. Fortegnslinja til $$ f^{\text{'}}$$ er stiplet overalt med unntak av for  $$ x=1$$. Det betyr at grafen har et terrassepunkt for  $$ x=1$$, siden den deriverte ikke skifter fortegn ved nullpunktet sitt.

Grafen til $$ f$$ kan se ut omtrent som på bildet nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Fortegnslinja til $$ g$$ gir at grafen til $$ g$$ har nullpunkter for  $$ x=-1,9$$  og for  $$ x=0,5$$. Grafen ligger over $$ x$$-aksen mellom nullpunktene og under $$ x$$-aksen ellers. Fortegnslinja til $$ g^{\text{'}}$$ har to nullpunkter. Ved nullpunktet  $$ x=-1$$ skifter linja fra å være heltrukken til å være stiplet. Da må dette være et toppunkt. Ved nullpunktet  $$ x=2$$  er fortegnslinja stiplet både før og etter. Det betyr at grafen har et terrassepunkt for  $$ x=2$$, siden den deriverte ikke skifter fortegn her.

Grafen til $$ g$$ kan se ut omtrent som på bildet nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal