Hopp til innhold
Fagartikkel

Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

Hvordan vil du beskrive grafen til en funksjon?

Monotoniegenskaper

Monotoniegenskapene til en funksjon forteller hvor grafen til funksjonen stiger og hvor den synker.

Å analysere og tolke en funksjon betyr gjerne at vi undersøker monotoniegenskaper og bestemmer topp- og bunnpunkter på grafen. Videre kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkter, krumningsforhold og vendepunkter (mer om dette på ei annen fagstoffside).

Eksempel 1

Finn monotoniegenskapene til funksjonen f ut ifra grafen til funksjonen nedenfor.

Løsning

Vi observerer at grafen har toppunktet 2, 1. Grafen til funksjonen stiger når  x<2  og synker når  x>2. Monotoniegenskapene til funksjonen er derfor at

  • funksjonen vokser for  x<2
  • funksjonen minker for  x>2

Monotoniegenskaper og den deriverte

Utforsking

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3-52x+1

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og om grafen stiger, synker eller har topp- og bunnpunkter.

Nedenfor kan du dra i det røde punktet på grafen og se hvordan stigningstallet a til tangenten endrer seg.

Du vil oppdage at

  • stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
  • stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
  • stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkter

Oppsummering

Tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen.

Når grafen stiger, er den deriverte positiv og funksjonen vokser.

Når grafen synker, er den deriverte negativ og funksjonen minker.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik 0.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkter, ved å se på fortegnet til den deriverte. Fortegnslinjer kan hjelpe oss med dette.

Fortegnslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen

Vi kan beskrive egenskapene til en funksjon ved å tegne fortegnslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.

Eksempel 2

Tegn fortegnslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i eksempel 1 over.

Løsning

Fortegnslinja til funksjonen bestemmes av om grafen ligger over eller under x-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkter for  x=1  og  x=3. Det betyr at

  • f(x)>0  når  1<x<3
  • f(x)<0  når  x<1  og når  x>3
  • f(x)=0  når  x=1  og når  x=3

Vi fant monotoniegenskapene til funksjonen i eksempel 1. Det betyr at

  • f'(x)>0  når  x<2
  • f'(x)<0  når  x>2
  • f'(x)=0  når  x=2

Denne informasjonen kan vi sammenfatte i et felles fortegnsskjema for f og f'.

Nedenfor har vi vist hvordan vi kan tegne fortegnsskjemaet inn i koordinatsystemet sammen med grafen.