Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte
Monotoniegenskapene til en funksjon forteller hvor grafen til funksjonen stiger og hvor den synker.
Å analysere og tolke en funksjon betyr gjerne at vi undersøker monotoniegenskaper og bestemmer topp- og bunnpunkter på grafen. Videre kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkter, krumningsforhold og vendepunkter (mer om dette på ei annen fagstoffside).
Eksempel 1
Finn monotoniegenskapene til funksjonen ut ifra grafen til funksjonen nedenfor.
Løsning
Vi observerer at grafen har toppunktet
- funksjonen vokser for
x < 2 - funksjonen minker for
x > 2
Utforsking
Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen
Tegn deretter tangenter til grafen for noen
Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og om grafen stiger, synker eller har topp- og bunnpunkter.
Nedenfor kan du dra i det røde punktet på grafen og se hvordan stigningstallet
Du vil oppdage at
- stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
- stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
- stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkter
Oppsummering
Tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen.
Når grafen stiger, er den deriverte positiv og funksjonen vokser.
Når grafen synker, er den deriverte negativ og funksjonen minker.
Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik 0.
Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av
Vi kan beskrive egenskapene til en funksjon ved å tegne fortegnslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.
Eksempel 2
Tegn fortegnslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i eksempel 1 over.
Løsning
Fortegnslinja til funksjonen bestemmes av om grafen ligger over eller under
nårf ( x ) > 0 1 < x < 3 nårf ( x ) < 0 og nårx < 1 x > 3 nårf ( x ) = 0 og nårx = 1 x = 3
Vi fant monotoniegenskapene til funksjonen i eksempel 1. Det betyr at
nårf ' ( x ) > 0 x < 2 nårf ' ( x ) < 0 x > 2 nårf ' ( x ) = 0 x = 2
Denne informasjonen kan vi sammenfatte i et felles fortegnsskjema for
Nedenfor har vi vist hvordan vi kan tegne fortegnsskjemaet inn i koordinatsystemet sammen med grafen.