Krumningsforhold og vendepunkter. Dobbeltderiverttesten
Funksjonen er gitt ved
Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på sida Analyse av polynomfunksjoner.
Vi deriverer funksjonen to ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte . Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.
Vi tegner fortegnslinja til
Det viser seg at
- en graf vender den hule sida si opp når
. Den krummer oppover.f ' ' x > 0 - en graf vender den hule sida si ned når
. Den krummer nedover.f ' ' x < 0 - en graf kan ha et vendepunkt når
f ' ' x = 0
At grafen vender den hule sida si opp,
At grafen vender den hule sida si ned,
Et punkt på grafen der grafen skifter mellom å vende den hule sida si ned og å vende den hule sida si opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Vi kan også si at grafen endrer krumning.
Den deriverte (dersom den eksisterer!) har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.
Har vi alltid et vendepunkt dersom den dobbelderiverte er lik 0?
Kan vi ha et vendepunkt uten at den dobbeltderiverte er lik 0?
Definisjon av vendepunkt
Vi ønsker oss en formell definisjon på hva som er et vendepunkt. Vi har til nå vist at vi må ha et punkt på grafen der den dobbelderiverte skifter fortegn. Legg merke til at det ikke er et krav at den deriverte eller den dobbelderiverte må eksistere i dette punktet, men det er et krav at selve funksjonen må være definert her. I tillegg til dette er det et krav om at funksjonen må være kontinuerlig i dette punktet. Noen matematikere krever i tillegg at det skal være mulig å tegne en tangent i et punkt for at det skal kunne defineres som et vendepunkt, men vi velger her definisjonen som kun krever kontinuitet.
Da kan vi få følgende definisjon:
Et punkt
I oppgaver blir vi ofte bedt om å finne likningen for en vendetangent. En vendetangent er tangenten til funksjonen i et vendepunkt.
Eksempel
Vi vil finne likningen for vendetangenten til funksjonen
Dette er samme funksjonen som vi brukte i eksempelet øverst på sida. Vi deriverer først funksjonen to ganger.
Vi setter så den dobbeltderiverte lik null.
Vi har også at
Det betyr at koordinatene til vendepunktet er
Vi regner så ut stigningstallet til tangenten i vendepunktet:
Nå vet vi at vendetangenten går gjennom punktet
Vi har til slutt tatt med en oversikt over fortegnslinja til selve funksjonsuttrykket sammen med fortegnslinjene til den første- og andrederiverte. Disse er tegnet inn i koordinatsystemet sammen med
På grunnlag av fortegnslinjene er det mulig å tegne en skisse av grafen. Motsatt kan vi ut fra grafen tegne de tre fortegnslinjene. Ved hjelp av grafen kan vi altså tolke grunnleggende egenskaper ved funksjonen.
Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er et toppunkt eller et bunnpunkt.
Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette.
Funksjonen
Siden
Siden
Grafen har toppunkt
Grafen har bunnpunkt