Analyse av rasjonale funksjoner

Som eksempel skal vi drøfte den rasjonale funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{3x}{x-1}$.

Når $x=1$, blir nevneren null. Funksjonen er ikke definert for $x=1$. Da kan vi skrive

$D_f=ℝ\backslash \left\{1\right\}$

Vertikal asymptote

Linjen $x=a$ er en vertikal asymptote hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for $x=a$.

For $x=1$ blir telleren lik $3·x=3·1=3$, og nevneren blir $x-1=1-1=0$.

Det betyr at $x=1$ er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja $y=a$ er en horisontal asymptote for en funksjon $$ f$$ dersom

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=a$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & = & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x}{x-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}\\ & & \\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3\cancel{x}}{\cancel{x}}}{\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}}-\frac{1}{x}}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{1-\frac{1}{x}}=\frac{3}{1-0}=3\end{array}$

Det betyr at $y=3$ er horisontal asymptote.

Når $y=3$ er horisontal asymptote for funksjonen $f$, betyr det at funksjonen kan ha alle funksjonsverdier unntatt 3. Verdimengden er derfor

$V_f=ℝ\backslash \left\{3\right\}$

Vi undersøker fortegnet til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(3x\right)}^{\text{'}}·\left(x-1\right)-3x·{\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{3·\left(x-1\right)-3x·1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$$

Nevneren ${\left(x-1\right)}^2$ er alltid positiv, og telleren er alltid negativ.

Det betyr at grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter.

Vi undersøker fortegnet til $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$.

$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=\frac{{\left(-3\right)}^{\text{'}}·{\left(x-1\right)}^2-\left(-3\right){\left({\left(x-1\right)}^2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{3·2\left(x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^4}=\frac{6}{{\left(x-1\right)}^3}$$

Nevneren ${\left(x-1\right)}^3$ er negativ for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og positiv for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnslinje for $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen vender sin hule side ned for $x\in ⟨\leftarrow , 1⟩$ og sin hule side opp for $x\in ⟨1, \to ⟩$. Et eventuelt vendepunkt måtte vært for $x=1$, men for denne verdi er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Det kan også være nyttig å ta med eventuelle skjæringspunkt med koordinataksene i drøftingen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Skjæring med y-aksen

$f\left(0\right)=\frac{3·0}{0-1}=0$

Skjæring med x-aksen (nullpunkter)

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ \frac{3x}{x-1}& =& 0\\ & & \\ 3x& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å tegne en skisse av grafen for hånd. (Grafen er tegnet i GeoGebra.)