Analyse av logaritmefunksjoner

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\ln \left(x^2-1\right)$

Definisjonsmengde

Ifølge definisjonen til den naturlige logaritmen,  $a=e^{\ln a}$ , er den naturlige logaritmen til et tall, $a$, det tallet du må opphøye tallet $e$ i for å få tallet $a$ . Siden $e^{\ln a}$ alltid er positivt, så må også $a$ alltid være positivt. Det vil si at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall.

Vår funksjon $f$ gitt ved  $f\left(x\right)=\ln \left(x^2-1\right)$, er altså bare definert for   $x^2-1>0$.

Vi tegner fortegnslinjen for  $x^2-1$. Her ser vi kanskje raskt hva nullpunktene til uttrykket er uten å regne på det?

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Funksjonen er definert for  $x\in \langle \leftarrow , -1\rangle \cup ⟨1, \to ⟩$.

Nullpunkter

$\begin{array}{rcl} f\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ \ln \left(x^2-1\right)& =& 0\\ & & \\ x^2-1& =& 1\\ & & \\ x^2& =& 2\\ & & \\ x& =& -\sqrt{2} \vee x=\sqrt{2}\end{array}$

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$.

Når vi skal derivere $f\left(x\right)$, må vi bruke kjerneregelen, som ser slik ut:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & g\left(u\right(x\left)\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \ln \left(x^2-1\right)\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \ln \left(u\right) , u=x^2-1\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& \frac{1}{u} , u^{\text{'}}=2x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& g^{\text{'}}\left(u\right)·u^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ & =& \frac{1}{u}·u^{\text{'}}\\ & & \\ & =& \frac{1}{x^2-1}·2x\\ & & \\ & =& \frac{2x}{x^2-1}\end{array}$$

Vi tegner så fortegnslinjen for $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$. Den deriverte er bare lik null når  $x=0$. Men dette er utenfor definisjonsmengden til funksjonen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Av fortegnslinjen til $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ kan vi lese at grafen synker i intervallet $\langle \leftarrow , -1\rangle$ og stiger i intervallet $⟨1, \to ⟩$. Vi får derfor ingen stasjonære punkter, som betyr ingen topp-, bunn- eller terrassepunkter.

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til $$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$. Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi derivasjonsregelen for kvotient (brøk).

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & \frac{2x}{x^2-1}=\frac{u}{v} , u=2x , v=x^2-1\\ & & \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}·v-v^{\text{'}}·u}{v^2}=\frac{2·\left(x^2-1\right)-2x·2x}{{\left(x^2-1\right)}^2}\\ & & \\ & =& \frac{-2x^2-2}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-2\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}\end{array}$$

Nevneren i denne brøken er alltid positiv i definisjonsområdet til $$ f$$. Faktoren  $x^2+1$  i telleren er også alltid positiv. Telleren er derfor alltid negativ. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ og grafen vil derfor alltid vende den hule siden ned. Grafen har ikke noen vendepunkt.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Grafen er her laget i GeoGebra.)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen