Hopp til innhold
Oppgave

Analyse av eksponentialfunksjoner

Øv på å analysere eksponentialfunksjoner her.

3.1.70

Funksjonen f er gitt ved

fx=5,0·1,8-1,4x-2

a) Finn uten hjelpemidler definisjonsmengden og verdimengden til f.

Løsning

Eksponentialfunksjoner er definert for alle x-verdier fordi eksponenten i en potens kan ha alle mulige verdier. Vi får at definisjonsmengden blir

Df = 

For å finne ut litt om funksjonen starter vi med å analysere den deriverte.

f'x = 5,0·1,8-1,4x·ln1,8·-1,4= -7ln1,8·1,8-1,4x

Først kan vi slå fast at potensen, som har positivt grunntall, aldri kan bli negativ. Det samme gjelder ln1,8. Det betyr at den deriverte alltid er negativ, og at grafen til funksjonen er synkende i hele definisjonsområdet. Verdimengden kan vi derfor finne ved å la x gå mot uendelig og minus uendelig og se hva funksjonen går mot.

Lar vi x gå mot uendelig, vil eksponenten gå mot minus uendelig og potensen gå mot null. Det betyr at

limxfx=0-2=-2

Lar vi så x gå mot minus uendelig, vil eksponenten, og dermed potensen, gå mot uendelig. Det betyr at limx-fx ikke eksisterer. Siden grafen til funksjonen er synkende i hele definisjonsområdet, vil funksjonen krype ned mot, men aldri bli lik, -2 når  x. Verdimengden blir derfor

Vf = -2, 

b) Bruk CAS på oppgavene nedenfor.

  • Bestem verdimengden til f.

  • Finn eventuelle nullpunkter.

  • Finn eventuelle stasjonære punkter, og analyser monotoniegenskapene til grafen til f.

  • Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene til grafen til f.

  • Regn ut f0, og bruk dette sammen med informasjonen ovenfor til å lage en skisse av grafen til f.

Løsning

Funksjonen f har nullpunkt for  x=1.11 (linje 2 og 3). Linje 7 gir at grafen til f synker i hele definisjonsområdet, som er alle reelle tall etter diskusjonen i oppgave a). Linje 4 gir at verdimengden ikke er begrenset oppover, og linje 5 gir at verdimengden er begrenset nedover til -2. Verdimengden blir altså  Vf = -2, , som vi fant i a).

Linje 7 gir også at grafen til f ikke har noen stasjonære punkter. Linje 9 gir at grafen heller ikke har noen vendepunkter, og at grafen vender den hule sida opp hele tida.

Disse opplysningene, sammen med skjæringspunktet med y-aksen (linje 10), gjør at en skisse av grafen til funksjonen f kan se ut som nedenfor.