Analyse av eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjoner er definert for alle $$ x$$-verdier fordi eksponenten i en potens kan ha alle mulige verdier. Vi får at definisjonsmengden blir

$$ \begin{array}{rcl}{D}_f & =& \mathrm{ℝ}\end{array}$$

For å finne ut litt om funksjonen starter vi med å analysere den deriverte.

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 5,0·1,8^{-1,4x}·\ln 1,8·\left(-1,4\right)\\ & =& -7\ln 1,8·1,8^{-1,4x}\end{array}$$

Først kan vi slå fast at potensen, som har positivt grunntall, aldri kan bli negativ. Det samme gjelder $$ \ln 1,8$$. Det betyr at den deriverte alltid er negativ, og at grafen til funksjonen er synkende i hele definisjonsområdet. Verdimengden kan vi derfor finne ved å la $$ x$$ gå mot uendelig og minus uendelig og se hva funksjonen går mot.

Lar vi $$ x$$ gå mot uendelig, vil eksponenten gå mot minus uendelig og potensen gå mot null. Det betyr at

$$ \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=0-2=-2$$

Lar vi så $$ x$$ gå mot minus uendelig, vil eksponenten, og dermed potensen, gå mot uendelig. Det betyr at $$ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$$ ikke eksisterer. Siden grafen til funksjonen er synkende i hele definisjonsområdet, vil funksjonen krype ned mot, men aldri bli lik, $$ -2$$ når  $$ x\to \infty $$. Verdimengden blir derfor

$$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& \langle -2, \to \rangle \end{array}$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Funksjonen $$ f$$ har nullpunkt for  $$ x=1.11$$ (linje 2 og 3). Linje 7 gir at grafen til $$ f$$ synker i hele definisjonsområdet, som er alle reelle tall etter diskusjonen i oppgave a). Linje 4 gir at verdimengden ikke er begrenset oppover, og linje 5 gir at verdimengden er begrenset nedover til -2. Verdimengden blir altså  $$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& ⟨-2, \to ⟩\end{array}$$, som vi fant i a).

Linje 7 gir også at grafen til $$ f$$ ikke har noen stasjonære punkter. Linje 9 gir at grafen heller ikke har noen vendepunkter, og at grafen vender den hule sida opp hele tida.

Disse opplysningene, sammen med skjæringspunktet med $$ y$$-aksen (linje 10), gjør at en skisse av grafen til funksjonen $$ f$$ kan se ut som nedenfor.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal