Ekstremalpunkter og terrassepunkter. Stasjonære punkter

Vi kaller andrekoordinaten til et toppunkt et maksimum eller en maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt et minimum eller en minimalverdi. Begge disse er ekstremalverdier.

Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Vi skal ved regning finne når funksjonen $f$ gitt ved$$ f\left(x\right)=x^3 $$vokser og når den avtar. Videre skal vi finne eventuelle ekstremalpunkter.

Løsning

Vi deriverer $f\left(x\right)$.

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2$

Vi setter så$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 0\\ & & \\ 3x^2& =& 0\\ & & \\ x& =& 0\end{array}$

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene $\langle \leftarrow , 0\rangle$ og $⟨0, \to ⟩$.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}(-1)& = & 3·{\left(-1\right)}^2=3>0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(1\right)& =& 3·{\left(1\right)}^2=3>0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Denne fortegnslinja er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet.

Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for $x=0$, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x=0$. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.