Hopp til innhold
Fagartikkel

Ekstremalpunkter og terrassepunkter. Stasjonære punkter

Selv om den deriverte til en funksjon er null i et punkt, er det ikke sikkert punktet er et toppunkt eller et bunnpunkt.

Ekstremalverdier

Vi kaller andrekoordinaten til et toppunkt et maksimum eller en maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt et minimum eller en minimalverdi. Begge disse er ekstremalverdier.

Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Terrassepunkt

Vi skal ved regning finne når funksjonen f gitt ved fx=x3 vokser og når den avtar. Videre skal vi finne eventuelle ekstremalpunkter.

Løsning

Vi deriverer fx.

f'x=3x2

Vi setter så f'x=0.

f'x = 0  3x2=0    x=0

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene , 0 og 0, .

f'(-1) = 3·-12=3>0f'1=3·12=3>0

Vi kan da sette opp fortegnslinja til f'x.

Denne fortegnslinja er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet.

Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for x=0, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x=0. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Stasjonære punkt

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.