Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte
I disse oppgavene skal du analysere funksjoner uten at du kjenner funksjonsuttrykket. Du får kun oppgitt en graf eller et fortegnsskjema.
3.1.1
a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon . Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Løsning
Grafen ser ut som en parabel med toppunkt i 2,1. Det betyr at f(x) vokser når x<2 og synker når x>2.
b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.
Løsning
I tillegg til toppunktet 2,1 kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene x=1 og x=3. Funksjonen er derfor større enn null når 1<x<3. Ellers er den mindre enn null utenom nullpunktene.
Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når x<2, null når x=2 og negativ når x>2.
Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.
3.1.2
a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Løsning
Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i -0.5,-2.25. Det betyr at f(x) synker når x<-0,5 og stiger når x>-0,5.
b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.
Løsning
I tillegg til bunnpunktet -0.5,-2.25 kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktene x=-2 og x=1. Funksjonen er derfor mindre enn null når -2<x<1. Ellers er den større enn null utenom nullpunktene.
Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når x<-0,5, null når x=-0,5 og positiv når x>-0,5.
Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.
3.1.3
a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Løsning
Grafen ser ut som en parabel med bunnpunkt i 0.5,0.75. Det betyr at f(x) synker når x<0,5 og stiger når x>0,5.
b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.
Løsning
Grafen ligger over x-aksen hele tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.
Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte negativ når x<0,5, null når x=0,5 og positiv når x>0,5.
Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.
3.1.4
a) Figuren nedenfor viser grafen til en ukjent funksjon f. Finn monotoniegenskapene til funksjonen og bestem eventuelle topp- og bunnpunkter.
Løsning
Grafen har et lokalt maksimalpunkt for x=-0,2 og et lokalt minimalpunkt for x=3,5. Vi har derfor et toppunkt i -0.2,f-0.2 og et bunnpunkt i 3.5,f3.5. Det betyr også at f(x) vokser når x<-0,2 og når x>3,5 og synker når -0,2<x<3,5.
b) Tegn fortegnslinjene for f og f'.
Løsning
I tillegg til det lokale maksimalpunktet x=-0,2 og det lokale minimalpunktet x=3,5 kan vi lese fra grafen at funksjonen har nullpunktet x=-2,1. Funksjonen er derfor mindre enn null når x<-2,1. Ellers er den større enn null utenom nullpunktet.
Ut ifra det vi fant i oppgave a), er den deriverte positiv når x<-0,2 og når x>3,5, null når x=-0,2 og når x=3,5 og negativ når -0,2<x<3,5.
Fortegnslinjene for f og f' blir derfor som nedenfor.
3.1.5
Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.
Løsning
Funksjonen har nullpunktene x=0 og x=4. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et toppunkt når x=2. Det betyr at f(x) vokser når x<2 og synker når x>2. Grafen til funksjonen kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.
3.1.6
Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.
Løsning
Funksjonen har nullpunktene x=-4 og x=1. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når x=-1,5. Det betyr at f(x) kan ha form som en parabel og kan se ut som på figuren nedenfor. Vi kan ikke finne ut hva y-koordinaten til bunnpunktet er. Derfor er det ikke noe poeng i å ha skala på y-aksen.
3.1.7
Lag en skisse på papiret av hvordan grafen til en funksjon f kan se ut når fortegnslinjene til f og til f' er som i fortegnsskjemaet nedenfor.
Løsning
Funksjonen har nullpunktene x=-2,x=-1 og x=3. Av fortegnslinja til den deriverte får vi at funksjonen har et bunnpunkt når x=-1,5 og et topppunkt når x=1,5. Det betyr at f(x) synker når x<-1,5 og når x>1,5 og vokser når -1,5<x<1,5. Grafen til funksjonen kan derfor se ut omtrent som på bildet nedenfor.
3.1.8
a) Hvorfor får du problemer med å tegne en skisse av grafen til en funksjon som har disse fortegnslinjene for f og f'?
Løsning
Ifølge fortegnslinja til f skal funksjonen være større enn null, krysse x-aksen for x=-4 og være mindre enn null et stykke. Det må bety at grafen synker i et intervall rundt x=-4. Men ifølge fortegnslinja til f' skal funksjonen være stigende i dette område siden fortegnslinja er heltrukken akkurat her. Det må derfor være en feil i dette fortegnsskjemaet.
b) Hvordan kan du endre på fortegnslinja til f' slik at det blir mulig å lage en skisse av grafen?
Løsning
Hvis vi lar fortegnslinja til f' være stiplet når x<-1,5 og heltrukken når x>-1,5, blir det samsvar med fortegnslinja til f.