Monotonieigenskapar og forteiknslinja til den deriverte

Grafen ser ut som ein parabel med toppunkt i $$ \left(2, 1\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ veks når  $$ x<2$$  og søkk når  $$ x>2$$.

I tillegg til toppunktet $$ \left(2, 1\right)$$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta  $$ x=1$$  og  $$ x=3$$. Funksjonen er derfor større enn null når  $$ 1<x<3$$. Elles er han mindre enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når  $$ x<2$$, null når  $$ x=2$$  og negativ når  $$ x>2$$.

Forteiknslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $$ \left(-0.5, -2.25\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ søkk når  $$ x<-0,5$$  og stig når  $$ x>-0,5$$.

I tillegg til botnpunktet $$ \left(-0.5, -2.25\right)$$ kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunkta  $$ x=-2$$  og  $$ x=1$$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $$ -2<x<1$$. Elles er han større enn null utanom nullpunkta.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når  $$ x<-0,5$$, null når  $$ x=-0,5$$  og positiv når  $$ x>-0,5$$.

Forteiknslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedanfor.

Grafen ser ut som ein parabel med botnpunkt i $$ \left(0.5, 0.75\right)$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ søkk når  $$ x<0,5$$  og stig når  $$ x>0,5$$.

Grafen ligg over $$ x$$-aksen heile tida. Funksjonen er derfor alltid større enn null.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte negativ når  $$ x<0,5$$, null når  $$ x=0,5$$  og positiv når  $$ x>0,5$$.

Forteiknslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedanfor.

Grafen har eit lokalt maksimalpunkt for  $$ x=-0,2$$  og eit lokalt minimalpunkt for  $$ x=3,5$$. Vi har derfor eit toppunkt i $$ \left(-0.2,f\left(-0.2\right)\right)$$ og eit botnpunkt i $$ \left(3.5,f\left(3.5\right)\right)$$. Det betyr òg at $$ f\left(x\right)$$ veks når  $$ x<-0,2$$  og når  $$ x>3,5$$  og søkk når  $$ -0,2<x<3,5$$.

I tillegg til det lokale maksimalpunktet  $$ x=-0,2$$  og det lokale minimalpunktet  $$ x=3,5$$  kan vi lese frå grafen at funksjonen har nullpunktet  $$ x=-2,1$$. Funksjonen er derfor mindre enn null når  $$ x<-2,1$$. Elles er han større enn null utanom nullpunktet.

Ut ifrå det vi fann i oppgåve a), er den deriverte positiv når  $$ x<-0,2$$  og når  $$ x>3,5$$, null når  $$ x=-0,2$$  og når  $$ x=3,5$$  og negativ når  $$ -0,2<x<3,5$$.

Forteiknslinjene for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$ blir derfor som nedanfor.

Funksjonen har nullpunkta  $$ x=0$$  og  $$ x=4$$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit toppunkt når  $$ x=2$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ veks når  $$ x<2$$  og søkk når  $$ x>2$$. Grafen til funksjonen kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva $$ y$$-koordinaten til toppunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på $$ y$$-aksen.

Funksjonen har nullpunkta  $$ x=-4$$  og  $$ x=1$$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når  $$ x=-1,5$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ kan ha form som ein parabel og kan sjå ut som på figuren nedanfor. Vi kan ikkje finne ut kva $$ y$$-koordinaten til botnpunktet er. Derfor er det ikkje noko poeng i å ha skala på $$ y$$-aksen.

Funksjonen har nullpunkta  $$ x=-2, x=-1$$  og  $$ x=3$$. Av forteiknslinja til den deriverte får vi at funksjonen har eit botnpunkt når  $$ x=-1,5$$  og eit toppunkt når  $$ x=1,5$$. Det betyr at $$ f\left(x\right)$$ søkk når  $$ x<-1,5$$  og når  $$ x>1,5$$ og veks når  $$ -1,5<x<1,5$$. Grafen til funksjonen kan derfor sjå ut omtrent som på biletet nedanfor.

Ifølgje forteiknslinja til $$ f$$ skal funksjonen vere større enn null, krysse $$ x$$-aksen for  $$ x=-4$$  og vere mindre enn null eit stykke. Det må bety at grafen søkk i eit intervall rundt  $$ x=-4$$. Men ifølgje forteiknslinja til $$ f^{\text{'}}$$ skal funksjonen vere stigande i dette området sidan forteiknslinja er heiltrekt akkurat her. Det må derfor vere ein feil i dette forteiknsskjemaet.

Viss vi lèt forteiknslinja til $$ f^{\text{'}}$$ vere stipla når  $$ x<-1,5$$  og heiltrekt når  $$ x>-1,5$$, blir det samsvar med forteiknslinja til $$ f$$.