Øv på å bruke den dobbeltderiverte funksjonen f''(x) og finne vendepunkter.
3.1.30
a) Analyser krumningsforholdene og finn eventuelle vendepunkter til funksjonene og h ut ifra grafene til funksjonene på figuren nedenfor.
Tips til oppgaven
Du kan avgjøre om et punkt på en graf er et vendepunkt ved å se om krumningen skifter. Krumningen skifter dersom grafen går fra å vende den hule sida ned til å vende den hule sida opp, eller omvendt.
Løsning
Grafen til f vender den hule sida opp helt til x=1. Deretter vender den den hule sida ned. Det betyr at grafen til f har et vendepunkt for x=1 (og ingen flere). Vendepunktet er 1,0.8.
Grafen til g vender den hule sida ned helt til x=1 (omtrent). Deretter vender den den hule sida opp. Det betyr at også grafen til g har et vendepunkt for x=1 (og ingen flere). Vendepunktet er 1,0.5.
Grafen til h vender den hule sida opp helt til x=-2. Deretter vender den den hule sida ned til x=0. Etter det vender den den hule sida opp. Det betyr at grafen til h har vendepunkter for disse to x-verdiene, og vendepunktene er -2,2 og 0,-2.
(Alle verdiene vi leser av, er omtrentlige.)
b) Tegn fortegnslinjer for den dobbeltderiverte for de tre funksjonene i oppgave a).
Løsning
3.1.31
Figuren viser grafen til en funksjon f.
a) Tegn fortegnslinjene til f,f' og f''.
Løsning
b) Hva forteller fortegnslinjene til f,f' og f'' om en funksjon og om grafen til funksjonen?
Løsning
Fortegnslinja til f forteller hvor grafen til funksjonen ligger over x-aksen, hvor den ligger under x-aksen, og hvor den treffer x-aksen (nullpunkter).
Fortegnslinja til f' forteller hvor grafen til funksjonen stiger, hvor den synker, og hvor den har stasjonære punkter (topp-, bunn- eller terrassepunkter). Den forteller altså om funksjonens monotoniegenskaper.
Fortegnslinja til f'' forteller hvor grafen til funksjonen vender den hule sida ned, hvor den vender den hule sida opp, og hvor den har vendepunkter. Den forteller altså om monotoniegenskapene til den deriverte.
c) Finn eventuelle vendepunkter til grafen til f.
Løsning
Vi har fra fortegnslinja til f'' at den dobbelderiverte skifter fortegn ved begge de to nullpunktene, som derfor er vendepunkter. (Disse punktene er også samtidig nullpunkter for selve funksjonen.) Vendepunktene til grafen er -1,0 og 1,0.
3.1.32
a) Grafen til en funksjon f vender den hule sida opp når x<0 og den hule sida ned når x>0. Den deriverte til funksjonen har nullpunktene x=-2 og x=2.
Bruk informasjonen til å tegne en skisse av hvordan grafen kan se ut.
Løsning
Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt for x=0. Når den hule sida vender opp, kombinert med at den deriverte er null for x=-2, må grafen ha et bunnpunkt der (dobbeltderiverttesten). Når den hule sida vender ned, kombinert med at den deriverte er null for x=2, må grafen tilsvarende ha et toppunkt der.
Grafen er skissert nedenfor.
b) Grafen til en funksjon g vender den hule sida opp når x<-2 og når x>0 og den hule sida ned når -2<x<0. Den deriverte til funksjonen har nullpunktene x=-2 og x=1.
Bruk informasjonen til å tegne en skisse av hvordan grafen kan se ut.
Løsning
Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt i begge nullpunktene for den dobbeltderiverte, det vil si for x=-2 og et for x=0. Når den hule sida vender opp, kombinert med at den deriverte er null for x=1, må grafen ha et bunnpunkt der (dobbeltderiverttesten).
Både den deriverte og den dobbeltderiverte er null når x=-2. Et topp- eller et bunnpunkt kan ikke samtidig være et vendepunkt. (Hvorfor ikke?) Grafen må derfor ha et terrassepunkt for x=-2.
Grafen er skissert nedenfor.
3.1.33
Funksjonen f er gitt ved
fx=x3-3x2-9x+10
a) Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
Vi løser oppgaven uten hjelpemidler først og starter med å finne den dobbeltderiverte funksjonen.
Så finner vi nullpunktene til den dobbeltderiverte funksjonen.
f''(x)=06x-6=06x=6x=1
Det er bare i nullpunktet at en lineær funksjon kan skifte fortegn. Vi kan teste med å regne ut verdier for den dobbeltderiverte på begge sider av nullpunktet.
f''(0)=6·0-6=-6<0f''(2)=6·2-6=12-6=6>0
Dette kunne vi funnet uten å regne ved å se på at den dobbeltderiverte er ei rett linje med positivt stigningstall. Da er den dobbeltderiverte mindre enn null for x-verdier mindre enn nullpunktet og motsatt.
Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida ned når x<1 og den hule sida opp når x>1.
Den dobbeltderiverte skifter fortegn ved nullpunktet, og grafen har derfor et vendepunkt for x=1. (Om vi vil, kan vi tegne fortegnsskjema for den dobbeltderiverte, men det er ikke nødvendig her.)
f1=13-3·12-9·1+10=1-3-9+10=-1
Vendepunktet er 1,-1.
Vi finner det samme med CAS, se nedenfor.
b) Finn x-verdien til de stasjonære punktene på grafen til f uten hjelpemidler. Avgjør ved å bruke informasjonen om den dobbeltderiverte fra oppgave a) (dobbeltderiverttesten) hva slags type stasjonære punkter det er snakk om.
Tips til oppgaven
Du kan bruke både resultatene fra regning uten hjelpemidler og CAS-utregningene til å løse oppgaven. Husk at det er fortegnet til den dobbeltderiverte i et stasjonært punkt som avgjør om punktet er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt.
Husk også at de stasjonære punktene er der den deriverte er null.
Vi får fra oppgave a) at grafen vender den hule sida ned når x<1 og den hule sida opp når x>1.
x=-1: Her vender grafen den hule sida ned, så her må det være et toppunkt.
x=3: Her vender grafen den hule sida opp, så dette må være et bunnpunkt.
3.1.34
Funksjonen g er gitt ved
gx=x2-2x-3
a) Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
g(x)=x2-2x-3g'(x)=2x-2g''(x)=2
Den dobbeltderiverte funksjonen er en konstant som er større enn null. Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida opp hele tida. Da kan den ikke ha noe vendepunkt.
Vi finner det samme med CAS.
I linje 2 får vi ingen løsning, og i linje 3 får vi at alle reelle tall er løsning.
b) Finn x-verdiene til de stasjonære punktene på grafen til g uten hjelpemidler. Avgjør ved å bruke informasjonen om den dobbeltderiverte fra oppgave a) (dobbeltderiverttesten) hva slags type stasjonære punkt det er snakk om.
Løsning
Først finner vi nullpunktene til den deriverte.
g'(x)=02x-2=02x=2x=1
Grafen har ett stasjonært punkt. Vi har fra oppgave a) at den dobbeltderiverte er større enn null for alle x-verdier, som betyr at grafen alltid vender den hule sida opp. Da må grafen ha et bunnpunkt for x=1.
(Ellers visste vi fra før at grafen til en andregradsfunksjon med positivt tall foran andregradsleddet har ett bunnpunkt.)
3.1.35
Funksjonen h er gitt ved
hx=x33+x2+x-23
Finn eventuelle stasjonære punkter og vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen med CAS.
Løsning
Linje 2 gir at det er ett stasjonært punkt, for x=-1. Samtidig er den dobbeltderiverte null for samme x-verdi (linje 3). Linje 4 i CAS-utregningen gir at den dobbeltderiverte skifter fortegn ved x=-1. Da har vi ett vendepunkt som også er et terrassepunkt, og koordinatene er -1,-1.
Linje 4 gir også at grafen vender den hule sida ned når x<-1 og den hule sida opp når x>-1.
Grafen til funksjonen har ingen topp- eller bunnpunkter.
3.1.36
a) Funksjonen p er gitt ved
px=14x4-x3+4x-2
Finn eventuelle stasjonære punkter og vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen med CAS.
Løsning
Merk at i linje 5 har vi satt opp tre utregninger på listeform for å spare plass. Vi kunne også delt det opp i én utregning på tre linjer.
Linje 2 gir at det er to stasjonære punkter, for x=-1 og for x=2. Linje 3 og 4 gir at det er to vendepunkter, 0,-2 og 2,2, siden den dobbeltderiverte skifter fortegn ved begge x-verdiene. Samtidig får vi at grafen vender den hule sida opp når x<0 og når x>2, og den hule sida ned når 0<x<2.
Det andre vendepunktet, 2,2, er samtidig et terrassepunkt siden den deriverte er null for x=2.
Linje 4 gir også at det andre stasjonære punktet, -1,-194, er et bunnpunkt siden den dobbeltderiverte er positiv.
Oppsummering av punktene:
vendepunkter: 0,-2 og 2,2
terrassepunkt: 2,2
bunnpunkt: -1,-194
b) Funksjonen q er gitt ved
qx=112x4-13x3+12x2-2
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
Linje 2 gir at det er ett stasjonært punkt for x=0. Linje 3 og 4 gir at grafen ikke har noen vendepunkter siden den dobbeltderiverte ikke skifter fortegn ved x=1. Samtidig får vi at grafen alltid vender den hule sida opp siden den dobbeltderiverte alltid er positiv.
Linje 4 og linje 5 gir at det stasjonære punktet, 0,-2, er et bunnpunkt siden den dobbeltderiverte er positiv.
3.1.37
a) Er alle de stiplede linjene på figuren tangenter til grafen til g?
Løsning
Ja. Alle fire ser ut til å tangere grafen i de fire røde punktene. (Husk at en tangent godt kan krysse grafen!)
b) Hvilke av linjene a,b,c og d til funksjonen g på figuren er vendetangenter?
Tips til oppgaven
Husk at vendetangenter er tangenter som går gjennom vendepunktene til grafen til en funksjon.
Løsning
Det ser ut som at grafen har vendepunkter for x=-2 og x=0. Det betyr at det er tangentene a og b som er vendetangenter.
c) Finn likningen til vendetangentene.
Løsning
Tangenten a er vannrett og har derfor stigningstall 0. Tangenten skjærer y-aksen for y=2, som også blir likningen for tangenten.
Tangenten b har stigningstall -4 og skjærer y-aksen for y=-2. Likningen for tangenten blir derfor y=-4x-2.
d) Finn eventuelle ekstremalpunkter til grafen i a). Avgjør om andrekoordinaten til hvert ekstremalpunkt er en lokal eller absolutt ekstremalverdi.
Løsning
Grafen har et bunnpunkt i 1,-4.8.
Funksjonen har lokalt og absolutt minimum (minimalverdi) f(1)=-4,8.
3.1.38
Figuren viser grafen til en funksjon g og tangenten til grafen i det røde punktet. Figuren er interaktiv. Punktet kan flyttes langs grafen, og du kan lese av likningen til tangenten og koordinatene til punktet.
a) Bruk figuren, ved å flytte på punktet og lese av punktkoordinatene og likningen til tangenten, til å finne eventuelle
Det er lurt å følge med på stigningstallet til tangenten når du skal finne ekstremalpunkter og vendepunkter.
Løsning
Nullpunktene er x=-0,54,x=0 og x=1,86.
Grafen har et toppunkt for x=-0,26 med tilhørende lokalt maksimum g(-0,26)=0,13. Grafen har et bunnpunkt for x=1,3 med tilhørende lokalt minimum g(1,3)=-2,8. Funksjonen har absolutt minimum f-3=-4,8 og absolutt maksimum f2=2.
Grafen har vendepunktene -2,-2,-1.1,-0.8 og 0.72,-1.6.
Vendetangentene, i samme rekkefølge som vendepunktene de hører til, er y=x,y=1,65x+1.03 og y=-2,97x+0,54.
b) Tegn fortegnslinjene til g,g' og g''. Bruk informasjonen fra oppgave a).
Løsning
c) Hva forteller fortegnslinjene til g,g' og g'' om en funksjon g og grafen til funksjonen?
Løsning
Fortegnslinja til g forteller hvor grafen til funksjonen ligger over x-aksen, hvor den ligger under x-aksen, og hvor den treffer x-aksen (nullpunkter).
Fortegnslinja til g' forteller hvor grafen til funksjonen stiger, hvor den synker, og hvor den har stasjonære punkter (topp-, bunn- eller terrassepunkter). Den forteller altså om funksjonens monotoniegenskaper.
Fortegnslinja til g'' forteller hvor grafen til funksjonen vender den hule sida ned, hvor den vender den hule sida opp, og hvor den har vendepunkter. Den forteller altså om monotoniegenskapene til den deriverte.
3.1.39
Funksjonen f er gitt ved
fx=x3-3x2-9x+10
Finn uten hjelpemidler og med CAS
eventuelle ekstremalpunkter og lokale og absolutte ekstremalverdier
eventuelle vendepunkter
eventuelle vendetangenter
Løsning
Vi vet fra før at grafen til en tredjegradsfunksjon som ikke har avgrenset definisjonsmengde, ikke kan ha noen absolutte ekstremalverdier.
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. Alternativt kan vi bruke dobbeltderiverttesten.
Vi ser av fortegnslinja at grafen til f har et toppunkt når x=-1. Den tilhørende lokale maksimalverdien er f-1=-13-3-12-9·-1+10=-1-3+9+10=15 Toppunktet er -1,f-1=-1,15.
Grafen til f har et bunnpunkt når x=3. Den tilhørende lokale minimalverdien er f3=33-332-9·3+10=27-27-27+10=-17 Bunnpunktet er 3,f3=3,-17.
Vi setter så f''(x)=0.
f''(x)=06x-6=06x=6x=1
Vi har at den dobbeltderiverte er ei rett linje med positivt stigningstall. Da er den dobbeltderiverte mindre enn null for x-verdier mindre enn nullpunktet og større enn null for x-verdier større enn nullpunktet. Vi har derfor et vendepunkt for x=1.
f1=13-312-9·1+10=1-3-9+10=-1
Vendepunktet er 1,-1.
For å finne vendetangenten trenger vi
f'(1)=3·12-6·1-9=3-6-9=-12
Vendetangenten blir
y-f1=f'(1)x-1y=-12x-1+f1=-12x+12-1=-12x+11
3.1.40 Funksjonsanalyse med Python
Å drive med funksjonsanalyse med Python er ikke alltid enkelt. I denne oppgaven skal vi vise et eksempel på hva vi kan gjøre med Python med utgangspunkt i forrige oppgave der funksjonen f er gitt som
fx=x3-3x2-9x+10
a) Skriv koden til en egendefinert funksjon f(x) som regner ut funksjonsverdier til fx.
Løsning
def f(x): return x**3 - 3*x**2 - 9*x + 10
Når vi skal gjøre beregninger av den deriverte med Python, kan vi bruke tilnærmingen
f'x≈fx+∆x-fx∆x
og bruke en veldig liten verdi for ∆x. Uttrykket på høyre side kalles også for Newtons koeffisient.
b) Skriv koden til en egendefinert funksjon df(x) som regner ut tilnærmede verdier for den deriverte ved hjelp av Newtons koeffisient. Sett ∆x=0,0001.
Tips til oppgaven
Bruk den egendefinerte funksjonen f fra oppgave a) inni funksjonen df.
Løsning
def df(x): return (f(x+0.0001) - f(x))/0.0001
c) Vi ønsker å finne en tilsvarende måte å regne ut tilnærmede verdier for den dobbeltderiverte funksjonen f''x på.
Finn et tilnærmet uttrykk for den dobbeltderiverte ved å ta utgangspunkt i tilnærmingen for den deriverte, Newtons koeffisient.
Tips til oppgaven
Betrakt f'x som en egen funksjon som skal deriveres.
Løsning
Vi bruker det tilnærmede uttrykket for den deriverte når funksjonen som skal deriveres, er f'x.
f''x≈f'x+∆x-f'x∆x
d) Skriv kode som løser oppgave 3.1.39 med Python. Bruk resultatene i a), b) og c). Programmet skal lage svarsetninger av typen "Funksjonen har et bunnpunkt i (1.00, -4.00).".
Tips til oppgaven
For å finne nullpunkter til for eksempel den deriverte kan vi lage ei løkke der x løper gjennom det aktuelle området i små trinn og sjekke fortegnet på produktet f'x·f'x+∆x. Dersom resultatet er negativt, vet vi at vi har et nullpunkt mellom nåværende verdi av x og x+∆x, det vil si omtrent ved x+12∆x.
Denne testen vil ikke finne terrassepunkter, det vil si punkter der både den deriverte og den dobbeltderiverte er null. Årsaken til det er at den deriverte ikke skifter fortegn der, og da kan aldri produktet f'x·f'x+∆x som vi tester på bli negativt. Vi kan i stedet sjekke om et nullpunkt x=a for den dobbeltderiverte er et terrassepunkt ved å teste om den deriverte i punktet er tilnærmet lik 0, for eksempel at
f'a<∆x
Dette er likevel ikke en helt sikker test og vil ikke fungere på alle typer funksjoner, siden det kan tenkes at den deriverte i et vendepunkt er ganske liten (men ikke helt lik null).
Hva er det aktuelle området for x når funksjonen ikke har en avgrenset definisjonsmengde? Her må vi egentlig bare prøve oss fram. Siden koeffisienten foran tredjegradsleddet er 1, vil funksjonen ganske raskt gå mot enten pluss eller minus uendelig. Vi prøver med x-verdier i intervallet -10,10.
For å finne likningen for vendetangenten tar vi utgangspunkt i ettpunktsformelen
y-fx1=f'x1x-x1
der x1 er x-koordinaten til vendepunktet, og vi løser likningen med hensyn på y.
Løsning
Forslag til kode:
Vi får følgende utskrift:
"Funksjonen har toppunkt i (-1.00, 15.00).
Funksjonen har bunnpunkt i (3.00, -17.00).
Funksjonen har vendepunkt i (1.00, -0.99).
Vendetangenten har likningen y = -12.00x+11.00."
Dette programmet fungerer fint på denne funksjonen. Det er ikke sikkert at det fungerer på alle typer funksjoner. Prøv gjerne programmet på de andre oppgavene på denne siden, for eksempel oppgave 3.1.35 og 3.1.36. Til vanlig vil vi ikke bruke Python til funksjonsanalyse, men det kan være greit å bruke på funksjoner som er vanskelige å analysere på annen måte.
Kommentar til koden:
I linje 39 har vi lagt til en "+" i formateringskoden til utskriften. Plusstegnet tvinger Python til å ta med fortegnet til variabelen enten det er pluss eller minus. På denne måten blir det alltid riktig tegn foran det konstante leddet i tangentlikningen.
3.1.41
a) Funksjonen f(x) er gitt ved
fx=4x4-8x
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Løsning
Vi vet at vi kan finne vendepunkter der hvor den dobbeltderiverte skifter fortegn.
Derfor finner vi et uttrykk for den dobbeltderiverte.
Vi viser regning for hånd, men løs gjerne oppgaven i CAS også.
fx=4x4-8xf'x=4·4x3-8=16x3-8f''x=3·16x2=48x2
Vi observerer at den dobbeltderiverte er positiv eller lik 0 i hele definisjonsområdet. Det betyr at vi ikke har noen vendepunkter, og at fx alltid vender den hule sida opp.
b) Funksjonen gx er gitt ved
gx=x3
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Vi observerer at den dobbeltderiverte ikke er definert for x=0. Det betyr at vi må undersøke om den skifter fortegn her. Vi vet at funksjonen er kontinuerlig overalt ellers, derfor er det bare her den kan skifte fortegn.
Vi tester g''1 og g''-1:
g''1=-29·1=-29g''-1=-29·-1=29
Vi ser at den dobbeltderiverte skifter fortegn når x=0, dermed har vi et vendepunkt på grafen i 0,g0=0,0.
Siden den dobbeltderiverte er positiv for x<0 og negativ for x>0, har vi at grafen vender den hule sida si opp for negative verdier av x og ned for positive verdier av x.
c) Funksjonen hx er gitt ved
hx=x+3x-2
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen.
Løsning
Vi starter med å finne et uttrykk for den dobbeltderiverte. Du kan løse det for hånd ved hjelp av brøkregelen for derivasjon, men vi velger å løse i CAS:
Linje 2 gir oss at den deriverte ikke har noe nullpunkt. Vi sjekker om den deriverte skifter fortegn ved å løse de to ulikhetene i linje 3 og 4. Vi ser at den dobbeltderiverte er positiv for x>2 og dermed vender funksjonen den hule sida opp i dette området. Den dobbeltderiverte er negativ for x<2, og funksjonen vender den hule sida ned her. Vi har likevel ikke et vendepunkt her, fordi vi kan se at hx ikke er definert for x=2. En funksjon kan ikke ha et vendepunkt i et punkt som ikke finnes!
d) Funksjonen ix er gitt ved
ix=x2-8,x>3-x3+10x-2,x<3
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Løsning
Vi vet at en andregradsfunksjon med positivt andregradsledd alltid har den hule sida si opp, så vi vet at ix har den hule sida si opp for x>3. En tredjegradsfunksjon som er definert for hele ℝ, har et vendepunkt. Vi må undersøke om dette vendepunktet ligger innenfor definisjonsområdet, og vi må også se på den dobbeltderiverte for å avgjøre krumningsforholdene for x<3.
Vi deriverer tredjegradsuttrykket to ganger:
-x3+10x-2''=-3x2+10-x3+10x-2''=-6x
Vi observerer at den dobbeltderiverte er ei rett linje som har et nullpunkt i x=0, altså har funksjonen et vendepunkt her. Den dobbeltderiverte er positiv for x<0 og vender den hule sida si opp her. I intervallet 〈0,3〉 vender funksjonen den hule sida si ned.
Vi legger merke til at vi ikke har et vendepunkt for x=3 selv om funksjonen skifter krumning her, fordi funksjonen ikke er definert for x=3.
e) Kan du endre på vilkårene for funksjonen i d) slik at den har to vendepunkter?
Løsning
Dersom vi sørger for at endepunktet x=3 er i ett av vilkårene, vil funksjonen være kontinuerlig i dette punktet, og vi får et vendepunkt. Funksjonen kan da se slik ut:
ix=x2-8,x≥3-x3+10x-2,x<3
f) Hvis du flytter delingspunktet i funksjonen i e) til x=4, får vi følgende funksjon:
ix=x2-8,x≥4-x3+10x-2,x<4
Forklar hvorfor denne funksjonen ikke har et vendepunkt i x=4.
Løsning
Denne funksjonen er ikke kontinuerlig i x=4, derfor er dette ikke et vendepunkt for funksjonen.