Å finne nullpunktene til en funksjon er ikke alltid like lett (uten GeoGebra). Kan vi lage et program selv som kan hjelpe oss med dette? Først må vi se hvordan vi kan bruke halveringsmetoden manuelt til dette.
Denne siden er lagd med inspirasjon fra et undervisningsopplegg av Tom Jarle Christiansen og Rune Mathisen.
Innledning
På bildet ovenfor har vi brukt nullpunktsverktøyet i GeoGebra til å finne de tre nullpunktene til funksjonen
For nullpunktet lengst til høyre er en tilnærmet verdi. Når vi skal lage et program til å finne en tilnærmet verdi for et nullpunkt, må vi finne en måte å prøve og feile på der vi vet at vi systematisk kommer nærmere og nærmere det rette svaret.
Diskuter
Hva kjennetegner et nullpunkt sett bort ifra at for denne verdien?
Kommentar
For de fleste nullpunkter er det enten slik at grafen ligger under -aksen til venstre for nullpunktet og over grafen til høyre for nullpunktet, eller det er motsatt. Det første gjelder for nullpunktet lengst til høyre over, mens det andre gjelder for nullpunktet i midten. Dette betyr også at grafen er stigende i et område rundt nullpunktet til høyre og synkende i et område rundt nullpunktet i midten.
Spørsmål
Gjelder regelen ovenfor for alle nullpunkter?
Svar
Dessverre gjelder ikke regelen for alle nullpunkter. Tenk på funksjonen
Der vet vi at funksjonen har ett nullpunkt for , men funksjonen kan aldri bli negativ siden den er et kvadrat. Regelen gjelder ikke fordi nullpunktet samtidig er et ekstremalpunkt. Funksjonen har et bunnpunkt for .
I den videre utgreiingen ser vi bort ifra slike nullpunkter.
Ideen her er å bruke at grafen enten ligger over -aksen til høyre for nullpunktet og under grafen til venstre for nullpunktet, eller det er motsatt.
Spørsmål
Hvordan kan vi finne ut om grafen ligger over eller under -aksen for en bestemt -verdi?
Svar
Vi kan regne ut funksjonsverdien for denne -verdien og se om verdien er positiv eller negativ. Er verdien positiv, vet vi at grafen ligger over -aksen for denne -verdien.
Manuell bruk av halveringsmetoden
Vi skal bruke halveringsmetoden til å gjette oss fram til nullpunktet til som ligger lengst til høyre. Vi gjør det manuelt nå i første omgang.
I halveringsmetoden må vi først ha et intervall som det "rette tallet" ligger i. Her betyr det at vi må finne et intervall for som vi er sikre på at nullpunktet ligger innenfor. Dessuten må grafen til funksjonen ligge over -aksen for det ene endepunktet av intervallet og omvendt for det andre endepunktet.
Oppgave
Hva er et passende intervall som oppfyller kravene over til nullpunktet lengst til høyre?
Løsningsforslag
Nullpunktet må ligge i intervallet [1.5, 2].
Kommentar: Dette er ikke det eneste rette svaret. Vi er vel også helt sikre på at nullpunktet ligger i intervallet [1.5, 1.9], for eksempel, men i oppgavene nedenfor bruker vi [1.5, 2] som startintervall.
Oppgave
Når vi bruker halveringsmetoden, gjetter vi alltid på den verdien som ligger midt i det aktuelle intervallet, det vi kaller midtpunktet til intervallet.
Hvilken -verdi gjetter vi på når intervallet er [1.5, 2]? Hvordan kan vi regne ut denne verdien?
Løsning
Tallet som er midt i mellom 1.5 og 2, er 1,75. Det kan vi regne oss fram til ved å finne gjennomsnittet (middelverdien) av de to tallene.
Spørsmål
Hvordan finner vi ut om er større eller mindre enn nullpunktet?
Svar
Vi må finne ut om grafen ligger over eller under -aksen for . En annen måte å si det på er at vi må sjekke om eller om . Vi må altså regne ut .
Vi kan bruke CAS i GeoGebra til å regne ut .
Siden svaret på linje 2 i CAS ble 0,57, vet vi at grafen ligger over x-aksen når x=1,75. Da vet vi samtidig at vi er til høyre for nullpunktet ved denne x-verdien.
Spørsmål
Hva blir det nye intervallet vi skal lete etter nullpunktet i?
Svar
Det nye intervallet vi skal lete etter nullpunktet i, blir [1.5, 1.75]. (Nullpunktet kan ikke være større enn 1,75.)
Spørsmål
Hva blir den nye x-verdien vi gjetter på?
Svar
Den nye x-verdien vi gjetter på, blir
1,5+1,752=3,252=1,625
Spørsmål
Er x=1,625 større eller mindre enn nullpunktet?
Svar
Vi bruker CAS igjen og får
f1.6253≈0.126
Det betyr at vi fremdeles ligger til høyre for det virkelige nullpunktet.
Oppgave
Skriv en algoritme for hvordan vi går fram når vi bruker halveringsmetoden her.
Løsningsforslag
Vi regner ut midtpunktet i intervallet.
Vi regner ut funksjonsverdien til midtpunktet.
Dersom funksjonsverdien er mindre enn null, setter vi midtpunktet til å være den nye nedre grensa for intervallet.
Dersom funksjonsverdien er større enn null, setter vi midtpunktet til å være den nye øvre grensa for intervallet.
Oppgave
Til nå har vi gjort halveringsmetoden manuelt to ganger. Gjør halveringsmetoden én gang til manuelt.
Løsningsforslag
Vi får at
det nye intervallet blir [1.5, 1.625]
midtpunktet blir 1.5+1.62524≈1.5625
den nye funksjonsverdien blir f$45≈-0.07023
I den siste utregningen har vi brukt koden "$4" som betyr "svaret på linje 4", som altså er 1,5625. Den siste utregningen viser at grafen for x=1,5625 ligger under x-aksen.
Spørsmål
Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden én gang til, hva ville det nye intervallet ha vært da?
Svar
Siden grafen ligger under x-aksen for den siste x-verdien vi kom fram til, må vi nå bytte ut den nedre grensa i intervallet. Dersom vi skulle ha brukt halveringsmetoden enda en gang, ville intervallet nå ha vært [1.5625, 1.625].
Dersom vi runder av til én desimal, får vi nå det samme resultatet for både den øvre og den nedre grensa i intervallet: 1,6. Dette stemmer med opplysningene på bildet øverst på siden der nullpunktet er oppgitt som x=1,6. Det neste spørsmålet er: Hvor mange ganger skal vi bruke halveringsmetoden før vi er fornøyde med resultatet? Når er det bra nok? Uansett vil vi ikke gjøre dette manuelt lenger, men lage et program som kan hjelpe oss.