Løs oppgaver om prosentvis vekst og eksponentialfunksjoner som modeller.
3.3.55
Tabellen viser daglig bruk av tid på hjemme-PC i perioden 1994 til 2006 i minutter for ei bestemt gruppe personer. Tallene er fra Statistisk sentralbyrå (SSB).
Årstall
1994
1998
1999
2003
2006
Tid i minutter
10
13
18
35
50
a) Legg punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La være antall år fra 1994 og bruk av tid på hjemme-PC. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.
Løsning
Vi får plottet både punktene og grafen når vi bruker regresjonsanalyseverktøyet i GeoGebra. Vi lager en ny rad i tabellen der vi regner ut antall år etter 1994.
Årstall
1994
1998
1999
2003
2006
x
0
4
5
9
12
Tid i minutter
10
13
18
35
50
Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket . Vi sier at dette er en modell for hvordan tidsbruken med hjemme-PC har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).
b) Hvor stor er den gjennomsnittlige, årlige prosentvise økningen i bruk av hjemme-PC etter modellen?
Tips til oppgaven
Bruk vekstfaktoren i modellen.
Løsning
Vekstfaktoren er grunntallet i potensen i modellen, altså 1,15. Det tilsvarer en økning på 15 prosent for hver enhet på x-aksen. Siden enheten på x-aksen er år, blir den årlige prosentvise økningen på 15 prosent.
Kommentar: For å vise at en vekstfaktor på 1,15 tilsvarer en økning på 15 prosent, kan vi sette opp uttrykket for vekstfaktoren og få en likning vi kan løse:
1+x100=1,15
c) Bruk modellen du fant i a), og finn ut hvor mye tid som ble brukt på hjemme-PC i 2010 og 2020.
Løsning
År 2010 er 16 år etter 1994, og år 2020 er 26 år etter 1994. Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn de aktuelle x-verdiene i modellen.
Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet "T" i GeoGebra.
Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktene (16,T(16)) og (26,T(26)).
d) Vurder gyldigheten av modellen fram i tid.
Løsning
Modellen virker troverdig å bruke i 2010, men at tidsbruken var 367 minutter, det vil si over 7 timer i 2020, virker usannsynlig. Modellen vil kun være gyldig i noen få år.
e) Hvordan ville modellen ha sett ut hvis vi bruker som utgangspunkt at det i 1994 ble brukt i gjennomsnitt 10 minutter til bruk av hjemme-PC, og den årlige prosentvise økningen skulle være 9,5 prosent?
Løsning
En økning på 9,5 prosent gir en vekstfaktor på 1,095. Hvis vi kaller den nye funksjonen T2x, får vi at
T2x=a·1,095x
Året 1994 tilsvarer x=0. Det betyr at dersom vi prøver å regne ut T20, skal vi få 10 til svar. Dette gir oss en likning.
T20=10a·1,0950=10a·1=10a=10
Modellen blir derfor i dette tilfellet
T2x=10·1,095x
f) Denne statistikken ble av SSB avsluttet etter 2014. (Hva er grunnen til det, tror du?)
Gå til SSB (ssb.no), og finn tallene ved å søke på "hjemme-PC". Velg "Minutter brukt til hjemme-PC" som statistikkvariabel, velg alle årene under "År", og velg "Personer med i utvalget i alt" under "Befolkningsgruppe" for å få med hele befolkningsgruppa. Trykk "Vis tabell" nederst.
Støtter de siste målingene i tabellen det vi konkluderte med i oppgave c)?
3.3.56
Tabellen viser temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd.
Antall timer etter strømbruddet
0
4
8
12
16
20
Antall grader i °C
4,0
4,4
6,0
8,9
12,5
17,9
a) Plott punktene i et koordinatsystem, og bruk eksponentialregresjon til å finne et funksjonsuttrykk som passer med punktene. La x være antall timer etter strømbruddet og T(x) temperaturen i kjøleskapet. Plott punktene og grafen til uttrykket du finner.
Løsning
Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket T(x)=3,51·1,08x. Vi sier at dette er en modell for hvordan temperaturen i kjøleskapet utvikler seg etter strømbruddet. Modellen passer ganske bra med tallene (punktene).
b) Hva kan vekstfaktoren i uttrykket for Tx fortelle oss?
Løsning
Vekstfaktoren er 1,08. Siden enheten på x-aksen er timer, får vi at temperaturen i kjøleskapet øker med 8 prosent per time.
c) Vurder gyldigheten til modellen framover i tid. Begrunn svaret ditt.
Løsning
Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn cirka ett døgn etter strømbruddet.
d) Lag ei skisse av hvordan du tror temperaturutviklingen i kjøleskapet vil være dersom vi antar at romtemperaturen er 22 °C.
Tips til oppgaven
Temperaturgrafen må flate ut når temperaturen nærmer seg 22 °C.
3.3.57
Tabellen viser utslippene av karbondioksid CO2 i verden målt i millioner tonn for noen utvalgte år mellom 1980 og 2006.
Årstall
1980
1990
2000
2005
2006
Utslipp av CO2 i millioner tonn
18 054
20 988
23 509
27 146
28 003
a) Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og finn en matematisk modell som beskriver utslippene av CO2. La x være antall år etter 1980 og U(x) utslippene av CO2.
Løsning
Vi lager en ny rad i tabellen, der vi regner ut antall år etter 1980.
Årstall
1980
1990
2000
2005
2006
x
1
10
20
25
26
Utslipp av CO2 i millioner tonn
18 054
20 988
23 509
27 146
28 003
Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket Ux=17847·1,02x. Vi sier at dette er en modell for hvordan verdens utslipp av CO2 har utviklet seg. Modellen passer ganske bra med tallene, men kanskje vi kunne ha brukt lineær regresjon også?
b) Hvilken årlig, prosentvis økning i CO2-utslipp gir modellen?
Løsning
Vekstfaktoren er 1,02. Siden enheten på x-aksen er år, får vi at den årlige, prosentvise økning i CO2-utslippet er på 2 prosent.
c) Mange land har vedtatt å senke utslippet av CO2 i tida framover. Vurder gyldigheten framover i tid av modellen du fant i a).
Løsning
Uttrykket vi fant i a) er eksponentielt, det vil si at mengden av CO2-utslipp vil øke mer og mer. Mest sannsynlig vil CO2-utslippet etter hvert flate ut, og modellen vår blir antakelig ikke korrekt langt fram i tid.
d) Finn nyere tall på utslipp av CO2. Ta med i modellen tallene for 2010, 2015, 2020 og det nyeste tallet du finner.
Hvordan blir modellen påvirket av dette?
3.3.58
Sol Sikke ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i 8 uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor.
Etter x uker
1
2
3
4
5
6
7
8
Høyde i cm
16
20
27
40
56
68
107
140
a) Plott punktene i et koordinatsystem, og finn et funksjonsuttrykk som passer til punktene.
Løsning
Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket H(x)=11·1,37x. Vi sier at dette er en modell for hvordan solsikken har vokst. Modellen passer ganske bra med tallene.
b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?
Løsning
Vekstfaktoren er 1,37. Siden enheten på x-aksen er uker, får vi at den ukentlige veksten i høyden av solsikken er 37 prosent.
c) Vurder gyldigheten til modellen du fant i a).
3.3.59
Punktene i koordinatsystemet nedenfor viser fem observasjoner av lufttrykket målt i millibar på fem ulike høyder over havet.
a) Finn en matematisk modell som beskriver lufttrykket målt i millibar.
Løsning
Vi leser av koordinatene til punktene i koordinatsystemet og får den følgende tabellen:
Høyde over havet i km
0
2
4
7
10
Lufttrykk målt i millibar
1 000
800
600
400
300
Vi legger tallene inn i to kolonner i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger knappen "Regresjonsanalyse" fra verktøylinja. Så velger vi "Eksponentiell" som regresjonsmodell og kopierer grafen over i grafikkfeltet.
Vi finner at funksjonen kan beskrives med uttrykketfx=998·0,88x. Vi sier at dette er en modell for hvordan lufttrykket endrer seg med høyden over havet. Modellen ser ut til å passe ganske bra.
b) Hva forteller vekstfaktoren i modellen oss?
Løsning
Vekstfaktoren i modellen er 0,88. Det tilsvarer en prosentvis nedgang på 12 prosent. Siden enheten på x-aksen er km, får vi at lufttrykket reduseres med 12 prosent for hver km vi beveger oss rett oppover i lufta.
Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, ligger 2 469 meter over havet.
c) Hva blir lufttrykket på Galdhøpiggen dersom vi bruker modellen vi fant i a)?
Løsning
Vi løser oppgaven med CAS ved å sette inn den aktuelle x-verdien inn i modellen.
Etter modellen vår blir lufttrykket på Galdhøpiggen 735 millibar.
Her har vi forutsatt at funksjonen har fått navnet "f" i GeoGebra.
Alternativt kan vi finne svaret ved å skrive inn punktet (2.469,f(16)).