Her kan du jobbe med oppgaver om momentan og gjennomsnittlig vekstfart. Den første oppgaven skal løses for hånd, resten kan løses med hjelpemidler.
VF-1
a) Et pæretre ble 2,5 m høyere i løpet av 3 år.
Hvor stor var den gjennomsnittlige vekstfarten til treet i de 3 årene?
Løsning
Vi må regne ut hvor mange m høyere treet ble per år.
Den gjennomsnittlige vekstfarten var 0,83 m/år.
b) Temperaturen sank 6 grader i løpet av 2 timer.
Hvor mye sank den i gjennomsnitt per time?
Løsning
Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten. Husk at ∆y er negativ fordi temperaturen synker.
∆y∆x=-6°2h=-3°/h
Temperaturen sank i gjennomsnitt med 3 grader per time.
c) Under et kraftig snøvær økte snødybden fra 25 cm til 50 cm i løpet av 1,5 timer.
1) Hvor mye snødde det i gjennomsnitt per time?
Løsning
Vi regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til snødybden.
∆y∆x=y2-y1∆x=50cm-25cm1,5h=16,7cm/h
Det snødde i gjennomsnitt 16,7 cm per time.
2) Hva var snødybden etter den første halve timen av snøværet?
Løsning
Vi kan ikke vite eksakt hva snødybden var etter en halvtime. Vi kan finne en tilnærmet verdi ved hjelp av den gjennomsnittlige vekstfarten.
25cm+0,5h·16,7cm/h=33,3cm
Snødybden var cirka 33 cm etter en halv time.
d) En dag med mye regn steg vannstanden i ei elv fra 1,34 m da klokka var 11.00, til 2,65 m klokka 15.00.
Hvor mye endret vannstanden seg i gjennomsnitt per minutt?
Løsning
Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til vannstanden. Vi begynner med å regne ut ∆x, som skal måles i minutter.
∆x=15h-11h=4h=4·60min=240min
∆y∆x=y2-y1∆x=2,65m-1,34m240min=0,00546m/min
Siden tallet blir veldig lite, er det gunstig å skifte til cm per minutt eller mm per minutt. Vi velger cm per minutt:
0,00546m/min=0,00546·100cm/min=0,55cm/min
Vannstanden steg med 0,55 cm per minutt i gjennomsnitt.
e) Verdien til en bil sank fra 600 000 kroner da den var ny i 2016, til 200 000 kroner i 2020.
1) Hvor mye sank bilen i verdi i gjennomsnitt per år?
Løsning
Vi må regne ut den gjennomsnittlige vekstfarten til verdien på bilen.
∆y∆x=200000kr-600000kr(2020-2016)år=-100000kr/år
Bilen sank i verdi med 100 000 kroner per år i gjennomsnitt.
2) Hva var verdien på bilen ett år etter at den var ny?
Løsning
Igjen kan vi ikke vite eksakt hva verdien på bilen var etter ett år, men vi bruker den gjennomsnittlige vekstfarten til å finne en tilnærmet verdi.
600000kr+1år·(-100000kr/år)=500000kr
Verdien på bilen etter ett år var cirka 500 000 kroner.
Kommentar: Nye biler synker mest i verdi det første året. Deretter synker verdien mindre og mindre for hvert år. Mest sannsynlig vil derfor verdien på bilen være noe mindre enn 500 000 kroner etter ett år.
VF-2
En funksjon f er gitt ved fx=x2+2.
a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f når x vokser fra 0,5 til 2 grafisk, ved regning for hånd og med CAS.
Løsning
Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:
Vi skriver inn funksjonen f og punktene 0.5,f0.5 og 2,f2, kalt A og B på figuren nedenfor. Så bruker vi verktøyet "Linje" til å tegne linja mellom A og B og verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja. (Vi kan også lese av stigningstallet til linja av formelen for linja.)
Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten er 2,5 når x vokser fra 0,5 til 2.
Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:
ΔyΔx=f2-f0,52-0,5=22+2-0,52+22-0,5=6-2,251,5=2,5
Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:
b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f når x vokser fra 0 til 1,5 grafisk, ved regning for hånd og med CAS.
Løsning
Gjennomsnittlig vekstfart grafisk:
Vi endrer på punktene A og B i forrige oppgave til 0,f0 og 1.5,f1.5 på figuren nedenfor.
Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra 0 til 1,5, er 1,5.
Gjennomsnittlig vekstfart ved regning for hånd:
ΔyΔx=f1.5-f01.5-0=1,52+2-02+21,5=1,521,5=1,5
Gjennomsnittlig vekstfart med CAS:
c) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når x=1 grafisk og med CAS.
Løsning
Momentan vekstfart grafisk:
Vi skriver inn punktet 1,f1. Så bruker vi verktøyet "Tangenter" til å tegne tangenten i dette punktet. Til slutt bruker vi verktøyet "Stigning" til å finne stigningstallet til linja og dermed den momentane vekstfarten til grafen i dette tangeringspunktet.
Den momentane vekstfarten til f når x=1, er 2.
Momentan vekstfart med CAS:
Den momentane vekstfarten til f når x=1, er 2.
d) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen når x=-1.
Løsning
Vi velger å bruke CAS.
Den momentane vekstfarten til f når x=-1, er -2.
VF-3
Funksjonene g og h er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du fritt 2 punkter på grafen og regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten mellom disse punktene.
a) gx=2x+4
Løsning
Vekstfart =4-00-(-2)=42=2.
b) hx=-x-8
Løsning
Vekstfart =-4-2-4-(-10)=-66=-1.
c) Kan du løse oppgave a) og b) uten å regne eller tegne graf? Forklar i tilfelle hvordan.
Løsning
Siden ei rett linje har samme stigning overalt, vil den gjennomsnittlige vekstfarten bli lik stigningstallet til linja uansett hvilke punkter vi bruker i utregningen.
d) Hva kan du si om den momentane vekstfarten til de to linjene?
Løsning
Den momentane vekstfarten til linjene må også være den samme overalt og lik stigningstallet til linjene siden vekstfarten er den samme overalt.
VF-4
Funksjonen
hx=-0,003x3+0,09x2+1
viser høyden i meter til et morelltre de 20 første årene x år etter at det ble plantet 1. mai 2002.
a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.
Løsning
Oppgaven spør etter gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen mellom x=8 og x=13. Vi skriver inn funksjonen h i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen "Funksjon", skriver inn punktene 8,h8 og 13,h13 og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.
Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1. mai 2010 til 1. mai 2015.
Vi kunne også brukt verktøyet "Stigning" her.
b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1. mai 2019 til 1. mai 2022.
Løsning
Vi skriver inn punktene 17,h17 og 20,h20 og bruker verktøyet "Linje" til å tegne linja (sekanten) gjennom de to punktene.
Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 24 cm per år i perioden fra 1. mai 2019 til 1. mai 2022.
c) Hvor mye vokste treet per år 1. mai 2012?
Løsning
Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til treet i 2012, som betyr at x=10. Vi velger å løse oppgaven med CAS.
Treet vokste med 90 cm per år 1. mai 2012.
VF-5
(Eksamen 1P våren 2013, omarbeidet)
Funksjonen h gitt ved
ht=3,25t3-50t2+170t+700
var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det h(t) hjorter i kommunen t år etter 1. januar 1990.
a) Tegn grafen til h for 0≤t≤10.
Løsning
Vi tegner grafen i GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Funksjon(funksjon, start, slutt)".
b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjorter var det i kommunen da?
Løsning
Vi bruker kommandoen "Ekstremalpunkt" og finner toppunktet på grafen til h.
Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Den var da på 867 dyr.
c) Løs likningen h(t)=850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.
Løsning
Vi legger inn ei linje y=850 i samme koordinatsystem som grafen til h. Så finner vi skjæringspunktene mellom denne linja og grafen til h ved å bruke kommandoen "Skjæring mellom to objekt".
Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990, det vil si midt i 1991 og rett før årsskiftet 1992/1993.
d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjorter per år i perioden 1. januar 1994–1. januar 1998?
Løsning
Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner følgende:
Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden.
e) Hvor stor var veksten per år i hjortebestanden 1. januar 1991?
Løsning
Oppgaven spør etter den momentane vekstfarten til funksjonen når x=1.
Veksten i hjortebestanden i 1991 var på 80 dyr per år.
VF-6
Funksjonen f er gitt ved
fx=-0,5x3+3x2-3x+3
a) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra 1 til 2.
Løsning
Vi skriver inn funksjonen og bruker uttrykket for stigningstallet til linja mellom de to punktene.
Den gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra 1 til 2, er 2,5.
b) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra 1 til 1,1.
Løsning
Den gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra 1 til 1,1, er 1,65.
c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for den momentane vekstfarten når x=1?
Løsning
Vi velger å tegne grafen til f inkludert de to sekantene.
Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1.
d) Vil det alltid være slik at vi får en bedre tilnærming til den momentane vekstfarten når avstanden ut til det andre punktet blir mindre?
Løsning
Det vil ikke alltid være slik. Studer figuren nedenfor der vi har tegnet en tredjegradsfunksjon f.
Tangenten t til grafen til funksjonen f i punktet A er tegnet inn. Stigningstallet til sekanten gjennom A og B er ikke en spesielt god tilnærming til den momentane vekstfarten til funksjonen i A. Dersom vi flytter B ut til 7,f7, får vi en mye bedre tilnærming. Men flytter vi B enda lenger ut, blir tilnærmingen dårligere igjen.
e) Finn til slutt den momentane vekstfarten til funksjonen når x=1.
Løsning
Den momentane vekstfarten til funksjonen når x=1, er 1,5.
VF-7
Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, h(t), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen
ht=0,02t3-0,25t2+1,15t+0,15
der t er antall år etter utplanting.
a) Hvor mye vokste treet i gjennomsnitt fra år 1 til år 4?
Løsning
Vi må finne gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen i intervallet 1,4. Vi regner i CAS.
Treet vokste i gjennomsnitt 32 cm per år fra år 1 til år 4.
b) Hvor stor var veksten til treet i år 4?
Løsning
Vi kan finne veksten til treet i år 4 på to måter.
Alternativ 1
Vi kan se på forskjellen i høyde mellom år 4 og år 5.
I år 4 vokste treet 12 cm.
Alternativ 2
Veksten det fjerde året er tilnærmet lik den momentane vekstfarten når x=4, som er et mål på veksten per år akkurat da.
Vi får omtrent samme svar som i alternativ 1. I år 4 vokste treet 11 cm.
c) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år.
Løsning
Vi tegner grafen til funksjonen h ved hjelp av kommandoen "Funksjon".
Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende: Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tida etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten mer og mer.