Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Modeller av figurer og mønster

Figurer og mønster kan vi ofte lage matematiske modeller av.

Figurene ovenfor er bygd opp av 9, 12 og 15 små kvadrater. Tenk deg at vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster.

Antall små kvadrater i hver figur danner en serie med tall, en tallfølge, som begynner med tallene 9, 12 og 15 og fortsetter etter samme mønster i det uendelige 9, 12, 15, ...
La Fn være antall små kvadrater i figur nummer n slik at F1=9, F2=12 og F3=15

Prøv å svare på følgende spørsmål før du ser på løsningen.

  1. Hva gjør vi for å komme fra en figur til den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør?
  2. Hvor mange små kvadrater vil det være i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil si F4, F5 og F6.
  3. Kan du finne en modell, en formel, for antall kvadrater i figur nummer n? En formel for Fn.
  4. Hvor mange kvadrater er det etter din modell i figur nummer 998?

Løsning

Vis løsning
  1. Vi legger til tre små kvadrater for å komme fra én figur til neste.
  2. Figur 4 vil derfor bestå av 18 små kvadrater, Figur 5 av 21 kvadrater og Figur 6 av 24 kvadrater. Det vil si at F4=18, F5=21 og F6=24.
  3. Jeg ser at antall kvadrater alltid er lik 3 multiplisert med et tall som er 2 høyere enn «figurnummeret».F1=9=3(1+2), F2=12=3(2+2), F3=15=3(3+2), F4=18=3(4+2), F5=21=3(5+2), F6=3(6+2)

    Vi får da modellen Fn=3(n+2)

  4. Antall kvadrater i figur nummer 998 er da  F998 =3(998+2)=3·1000=3000.

Trekanter

En likesidet ABC har areal lik T. Midtpunktene på sidene i ABC er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik T1 . Midtpunktene på sidene i DEC er hjørnene i en ny likesidet trekant IHG med areal lik T2. Etter samme mønster lager vi trekanter med areal T3 , T4, og så videre.
Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.

Oppgave

  1. Hva blir arealet til trekant T1? Hva blir arealet til trekant T2? Hva blir arealet til trekant T3?
  2. Kan du finne en modell, en formel, for arealet Tn når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
  3. Bruk modellen, og sett opp et uttrykk for arealet T10? Hva blir arealet T1000?
  4. Studer figuren og finn ut hva som blir summen av arealene T1, T2, T3, og så videre. Omkretsen av ABC er lik 3. Trekanten som har areal lik Tn har omkrets On.
  5. Forklar at O1=32, O2=34 og O3=38.
  6. Kan du finne en modell, en formel, for omkretsen til trekant nr. n når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
  7. Bruk modellen og finn O4.

Løsning

Vis løsning
  1. FED er én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til ABC. FED har derfor arealet T1=T41.IHGer én av fire like store likesidede trekanter med samlet areal lik arealet til DEC. IHG har derfor arealet T2=T4·14=T42.

    Tilsvarende er T3=T2·14=T42·14=T43 , og slik fortsetter det.

  2. Det betyr at vi får modellen for arealet Tn=T4n.
  3. Vi bruker modellen og får at T10=T410 og T1000=T41000.
  4. T1 utgjør tredjeparten av arealet til firkanten ABED, T2utgjør tredjeparten av arealet til firkanten DEHG, og slik fortsetter det.

    Det må bety at summen av alle de fargelagte trekantene må være lik tredjedelen av arealet til den store trekanten. Vi kan skrive det slik T1+T2+T3+...=T3.

  5. Sidene i FED er halvparten av sidene i ABC. Omkretsen til FED  må da være halvparten av omkretsen til ABC. Det vil si at O1=321. Sidene i IHG er halvparten av sidene i FED. Omkretsen til IHG må da være halvparten av omkretsen til FED. Det vil si at O2=O1·12=32·12=322.

    Tilsvarende er O3=O2·12=322·12=323, og slik fortsetter det.

  6. Det betyr at vi får modellen for omkretsen, On=32n.
  7. Vi bruker modellen og får at O4=324=316.