Modeller av figurer og mønster
Figurene ovenfor er bygd opp av 9, 12 og 15 små kvadrater. Tenk deg at vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster.
Antall små kvadrater i hver figur danner en serie med tall, en tallfølge, som begynner med tallene 9, 12 og 15 og fortsetter etter samme mønster i det uendelige 9, 12, 15, ...
La være antall små kvadrater i figur nummer slik at og
Prøv å svare på følgende spørsmål før du ser på løsningen.
- Hva gjør vi for å komme fra en figur til den neste? Hva er mønsteret i det vi gjør?
- Hvor mange små kvadrater vil det være i Figur 4, Figur 5 og Figur 6? Det vil si og .
- Kan du finne en modell, en formel, for antall kvadrater i figur nummer ? En formel for .
- Hvor mange kvadrater er det etter din modell i figur nummer 998?
Løsning
En likesidet har areal lik . Midtpunktene på sidene i er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik . Midtpunktene på sidene i er hjørnene i en ny likesidet trekant med areal lik . Etter samme mønster lager vi trekanter med areal , , og så videre.
Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.
Oppgave
- Hva blir arealet til trekant ? Hva blir arealet til trekant ? Hva blir arealet til trekant ?
- Kan du finne en modell, en formel, for arealet når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
- Bruk modellen, og sett opp et uttrykk for arealet ? Hva blir arealet ?
- Studer figuren og finn ut hva som blir summen av arealene , og så videre. Omkretsen av er lik 3. Trekanten som har areal lik har omkrets .
- Forklar at .
- Kan du finne en modell, en formel, for omkretsen til trekant nr. når vi fortsetter å lage trekanter etter samme mønster?
- Bruk modellen og finn .
Løsning