Eksponentialfunksjonen er en av matematikkens mest brukte funksjoner. Funksjonsuttrykket inneholder en potens med x i eksponenten. Oppgavene nedenfor viser kjente situasjoner der vi bruker eksponentialfunksjoner. Bruk et hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, når du skal løse oppgavene.
3.3.50
Eksponentialfunksjonene , g og h er gitt ved
fx=3·0,6x
gx=3·1,2x
hx=3·2,1x
a) Tegn grafene til de tre funksjonene i det samme koordinatsystemet.
Løsning
b) Grafene skjærer andreaksen i 3. Hva er grunnen til det?
Løsning
Når x=0, vil vekstfaktoren opphøyd i 0 bli 1, og grafene vil da skjære andreaksen i 3.
c) Hvilken betydning har vekstfaktoren for stigningen til grafen?
Løsning
Når vekstfaktoren er større enn 1, vil grafen stige mot høyre. Når vekstfaktoren er mindre enn 1, vil grafen synke mot høyre.
3.3.51
Miriam kjøpte en skuter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2020. Vi regner med at verdien synker med 15 prosent per år.
a) Lag et funksjonsuttrykk, Sx, som viser hvor mye skuteren er verdt etter x år.
Løsning
Vekstfaktoren ved 15 prosent nedgang er
1-15100=0,85
Funksjonsuttrykket blir
Sx=10000·0,85x
b) Tegn grafen til S. Velg x mellom 0 og 8.
Løsning
c) Finn grafisk skuterens verdi når den er tre år gammel.
Løsning
Vi skriver inn punktet (3,S(3)), se punkt A på grafen. Skuterens verdi etter tre år er 6 141 kroner.
d) Finn grafisk når skuterens verdi er 3 000 kroner.
Løsning
Vi tegner linja y=3000. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til S med kommandoen "Skjæring mellom to objekt", se punkt B på grafen. Det tar omtrent 7,4 år før skuterens verdi er 3 000 kroner.
3.3.52
Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved
Tx=3·1,15x
der x er antall timer etter strømbruddet.
a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?
Løsning
Når strømbruddet skjer, er x=0. Vi setter inn i 0 uttrykket og får T0=3·1,150=3·1=3. Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet var 3 grader celsius.
b) Hva var temperaturen i kjøleskapet fem timer etter strømbruddet?
Løsning
Fem timer etter strømbruddet er x=5. Vi får T5=3·1,155≈6,03. Fem timer etter strømbruddet er temperaturen i kjøleskapet 6 grader celsius.
c) Tegn grafen til T. La x variere mellom 0 og 35.
Løsning
d) Hvor lang tid går det før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader ?
Løsning
Vi tegner linja y=10. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Det tar omtrent 8,6 timer før det er 10 grader i kjøleskapet.
e) Hva betyr tallet 1,15 i funksjonen T(x)?
Løsning
Siden T(x) er en eksponentialfunksjon, kan vi se på tallet 1,15 som en vekstfaktor. 1,15 er vekstfaktoren ved 15 prosent stigning, så etter modellen stiger temperaturen med 15 prosent for hver time.
f) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (i mer enn ett døgn)? Begrunn svaret ditt.
Løsning
Vi kan sette x lik for eksempel 24 og 30 timer, og vi finner temperaturen i kjøleskapet:
T(24)=31,63
T(30)=69,21
Ut fra denne modellen vil temperaturen stige sterkt etter ett døgn, noe som er lite sannsynlig. Modellen viser at det etter 30 timer vil være nesten 70 grader i kjøleskapet. Vi forventer at temperaturen i kjøleskapet tilpasser seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk dersom strømbruddet varer over en lengre periode.
g) Lag ei mer troverdig skisse av hvordan du tror temperaturen i kjøleskapet vil utvikle seg.
Løsning
Det er mest sannsynlig at temperaturen stiger mest i starten. Når temperaturen nærmer seg romtemperatur, vil stigningen avta. En mulig graf for temperaturutviklingen er tegnet nedenfor.
3.3.53
Covid-19 er en smittsom sykdom forårsaket av koronaviruset. En liten by, Alubia, brukte en modell laget av anerkjente forskere for å beregne antall smittede per dag.
a) 9. februar 2021 var vekstfaktoren for smitte 1,22. Hva betyr det for utvikling av koronaviruset i Alubia?
Løsning
Spredningen av koronaviruset økte med 22 prosent per dag etter 9. februar.
b) Gå ut ifra at det allerede var 371 smittede før 9. februar. Lag et funksjonsuttrykk, Ax, som viser antall smittede i Alubia x dager etter 9. februar.
Løsning
Ax=371·1,22x
c) Hvor mange smittede var det i Alubia på valentinsdagen 14. februar?
Løsning
Ax=371·1,225≈1002,7
Det var 1 003 smittede i Alubia på valentinsdagen.
d) I nabobyen, Tiblix, hadde de 735 smittede 9. februar. Beregninger viste at antall smittede økte med 8 prosent for hver dag. Lag et funksjonsuttrykk, Tx, som viser antall smittede i Tiblix x dager etter 9. februar.
Løsning
Tx=735·1,08x
e) Tegn grafene Ax og Tx i det samme koordinatsystemet.
Løsning
f) Selv om Tiblix hadde nesten dobbelt så mange smittede som Alubia, ble situasjonen omvendt etter noen dager. Når ble det flere smittede i Alubia enn i Tiblix?
Løsning
Vi velger "Skjæring mellom to objekt" og får punktet (5.61, 1 131.77). Seks hele dager etter 9. februar var det altså flere smittede i Alubia enn i Tiblix.
g) Hvor mange smittede var det i byene Alubia og Tiblix 18. februar 2021? Bruk funksjonsuttrykkene Ax og Tx for å finne svaret.
Løsning
18. februar er ni dager etter 9. februar. Vi skriver x=9 og velger "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktene der linja skjærer grafene. Vi leser av verdien på skjæringspunktene. 18. februar var det 2 221 smittede i Alubia og 1 469 smittede i Tiblix.
3.3.54
Salim får 15 000 kroner i gave fra bestefar. Han setter pengene i banken og får ei årlig rente på 5,3 prosent.
a) Lag et funksjonsuttrykk, Sx, som viser hvor mye penger Salim har i banken etter x år.
Løsning
Sx=15000·1,053x
b) Vennen til Salim, Isak, satte 17 000 kroner i banken samtidig med Salim. Isak brukte en annen bank og fikk ei årlig rente på 2,7 prosent. Lag et funksjonsuttrykk, Ix, som viser hvor mye penger Isak har på sin bankkonto etter x år.
Løsning
Ix=17000·1,027x
c) Tegn grafene til Sx og Ix i det samme koordinatsystemet.
Løsning
d) Etter hvor mange år har Salim for første gang mer penger på sin bankkonto enn Isak?
Løsning
Vi velger "Skjæring mellom to objekt" for å finne punktet der grafene skjærer hverandre. Punktet viser at etter litt over fem år vil Salim ha mer penger på kontoen enn Isak.
Grafisk løsning:
e) Etter hvor mange år vil Salim for først gang ha over 30 000 kroner på bankkontoen sin?
Løsning
Vi lager ei horisontal linje ved å velge y=30000. Vi ser hvor linja skjærer den blå grafen. Etter 14 år vil Salim for første gang ha over 30 000 kroner på kontoen sin.