Bruk formlane for sum og differanse av vinklar og skriv uttrykket ved hjelp av og cosv.
a) sin30°-v
Løysing
sin30°-v = sin30°·cosv-cos30°·sinv= 12·cosv-123sinv= 12cosv-3sinv
b) cos60°-v
Løysing
cos60°-v = cos60°·cosv+sin60°·sinv= 12cosv+123sinv= 12cosv+3sinv
c) sinv+45°
Løysing
sinv+45° = sinv·cos45°+cosv·sin45°= 122sinv+122cosv= 122sinv+cosv
d) cosv+45°
Løysing
cosv+45° = cosv·cos45°-sinv·sin45°= 122cosv-122sinv= 122cosv-sinv
e) 2cosv-π3
Løysing
2cosv-π3 = 2cosv·cosπ3+sinv·sinπ3 = 212cosv+123sinv= cosv+3sinv
f) 3sinx-π
Løysing
3sinx-π = 3sinx·cosπ-cosx·sinπ= 3-1·sinx-cosx·0= -3sinx
g) 3cosπ6-x
Løysing
3cosπ6-x = 3cosπ6·cosx+sinπ6·sinx= 3123cosx+12sinx= 32cosx+32sinx= 123cosx+3sinx
h) 2sinx-π4
Løysing
2sinx-π4 = 2sinx·cosπ4-cosx·sinπ4= 2122·sinx-122·cosx= sinx-cosx
a) Vi har eksakte verdiar for sinus og cosinus til vinklane 30°, 45° og 60°. Kva andre vinklar i første kvadrant kan vi finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til ved hjelp av formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar?
Tips til oppgåva
Prøv med ulike kombinasjonar av summar og differansar av dei tre vinklane.
Løysing
Vi kan finne eksakte verdiar til vinklane
45°-30°=15°
45°+30°=75°
b) Finn eksakte verdiar for sinus og cosinus til dei vinklane du kom fram til i oppgåve a).
Løysing
sin15° = sin45°-30°= sin45°·cos30°-cos45°·sin30°= 122·123-122·12= 6-24
cos15° = cos45°-30°= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°= 122·123+122·12= 6+24
sin75° og cos75° kan vi finne på tilsvarande måte ved å bruke at 45°+30°=75°, men det er enklare å bruke at 75° er komplementvinkelen til 15° fordi 15°+75°=90°. Vi får
sin75°=cos15°=6+24
cos75°=sin15°=6-24
c) Kva vinklar i andre kvadrant kan vi finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til ved hjelp av resultatet i oppgåve b)?
Løysing
Vi kan finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til supplementvinklane til 15° og 75°, nemleg
180°-15° = 165°180°-75° = 105°
a) Finn sin3v uttrykt ved sinv og cosv.
Løysing
sin3v = sin2v+v= sin2v·cosv+cos2v·sinv= 2sinv·cosv·cosv+cos2v-sin2v·sinv= 2sinv·cos2v+sinv·cos2v-sin3v= 3sinv·cos2v-sin3v
b) Finn cos3v uttrykt ved sinv og cosv.
Løysing
cos3v = cos2v+v= cos2v·cosv-sin2v·sinv= cos2v-sin2v·cosv-2sinv·cosv·sinv= cos3v-sin2v·cosv-2sin2v·cosv= cos3v-3sin2v·cosv
c) Finn tan3v uttrykt ved tanv.
Løysing
Vi bruker resultatet frå oppgåvene a) og b).
tan3v = sin3vcos3v= 3sinv·cos2v-sin3vcos3v-3sin2v·cosv= 3sinv·cos2v-sin3vcos3vcos3v-3sin2v·cosvcos3v= 3tanv-tan3v1-3tan2v
Finn formlar for tanu+v og tanu-v uttrykt ved tanu og tanv ved hjelp av formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar.
Løysing
tanu+v = sinu+vcosu+v= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosv-sinu·sinv= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv-sinu·sinvcosu·cosv= tanu+tanv1-tanu·tanv
tanu-v = sinu-vcosu-v= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosv+sinu·sinv= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv+sinu·sinvcosu·cosv= tanu-tanv1+tanu·tanv
a) Bruk einingsformelen til å finne cos2v uttrykt berre ved cosv (ikkje ved sinv).
Løysing
Vi løyser einingsformelen med omsyn på sin2v.
cos2v+sin2v = 1sin2v = 1-cos2v
Då får vi
cos2v = cos2v-sin2v= cos2v-1-cos2v= 2cos2v-1
b) Gjer tilsvarande og finn cos2v uttrykt berre ved sinv.
Løysing
Vi løyser einingsformelen med omsyn på cos2v.
cos2v+sin2v = 1cos2v = 1-sin2v
Då får vi
cos2v = cos2v-sin2v= 1-sin2v-sin2v= 1-2sin2v
a) Bruk formelen for sinus til differansen mellom to vinklar til å bevise at cosv=sinπ2-v.
Løysing
sinπ2-v = sinπ2·cosv-cosπ2·sinv= 1·cosv-0·sinv= cosv
b) Bevis at sinv=cosπ2-v på tilsvarande måte.
Løysing
cosπ2-v = cosπ2·cosv+sinπ2·sinv= 0·cosv+1·sinv= sinv
c) Bevis at supplementvinklar har same sinus på tilsvarande måte.
Løysing
Setninga om supplementvinklar er sinπ-v=sinv. Vi får
sinπ-v = sinπ·cosv-cosπ·sinv= 0·cosv--1·sinv= sinv
d) Bevis formelen cosv=cos-v på tilsvarande måte.
Tips til oppgåva
Set inn ein 0.
Løysing
cos-v = cos0-v= cos0·cosv+sin0·sinv= 1·cosv+0·sinv= cosv
e) Kva andre trigonometriske samanhengar kan du bevise med formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar?
Løysing
Vi kan bevise desse formlane frå teorisida "Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar":
-cosv=cosπ-v , -cosv=cosπ+v , -sinv=sinπ+v , -sinv=sin-v