Hopp til innhald
Oppgåve

Sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar

Øv på å bruke formlar for trigonometriske verdiar til summar og differansar av vinklar her.

2.3.10

Bruk formlane for sum og differanse av vinklar og skriv uttrykket ved hjelp av sinv og cosv.

a) sin30°-v

Løysing

sin30°-v = sin30°·cosv-cos30°·sinv= 12·cosv-123sinv= 12cosv-3sinv

b) cos60°-v

Løysing

cos60°-v = cos60°·cosv+sin60°·sinv= 12cosv+123sinv= 12cosv+3sinv

c) sinv+45°

Løysing

sinv+45° = sinv·cos45°+cosv·sin45°= 122sinv+122cosv= 122sinv+cosv

d) cosv+45°

Løysing

cosv+45° = cosv·cos45°-sinv·sin45°= 122cosv-122sinv= 122cosv-sinv

e) 2cosv-π3

Løysing

2cosv-π3 = 2cosv·cosπ3+sinv·sinπ3 = 212cosv+123sinv= cosv+3sinv

f) 3sinx-π

Løysing

3sinx-π = 3sinx·cosπ-cosx·sinπ= 3-1·sinx-cosx·0= -3sinx

g) 3cosπ6-x

Løysing

3cosπ6-x = 3cosπ6·cosx+sinπ6·sinx= 3123cosx+12sinx= 32cosx+32sinx= 123cosx+3sinx

h) 2sinx-π4

Løysing

2sinx-π4 = 2sinx·cosπ4-cosx·sinπ4= 2122·sinx-122·cosx= sinx-cosx

2.3.11

a) Vi har eksakte verdiar for sinus og cosinus til vinklane 30°, 45° og 60°. Kva andre vinklar i første kvadrant kan vi finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til ved hjelp av formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar?

Tips til oppgåva

Prøv med ulike kombinasjonar av summar og differansar av dei tre vinklane.

Løysing

Vi kan finne eksakte verdiar til vinklane

45°-30°=15°
45°+30°=75°

b) Finn eksakte verdiar for sinus og cosinus til dei vinklane du kom fram til i oppgåve a).

Løysing

sin15° = sin45°-30°= sin45°·cos30°-cos45°·sin30°= 122·123-122·12= 6-24

cos15° = cos45°-30°= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°= 122·123+122·12= 6+24

sin75° og cos75° kan vi finne på tilsvarande måte ved å bruke at 45°+30°=75°, men det er enklare å bruke at 75° er komplementvinkelen til 15° fordi 15°+75°=90°. Vi får

sin75°=cos15°=6+24

cos75°=sin15°=6-24

c) Kva vinklar i andre kvadrant kan vi finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til ved hjelp av resultatet i oppgåve b)?

Løysing

Vi kan finne eksakte verdiar for sinus og cosinus til supplementvinklane til 15° og 75°, nemleg

180°-15° = 165°180°-75° = 105°

2.3.12

a) Finn sin3v uttrykt ved sinv og cosv.

Løysing

sin3v = sin2v+v= sin2v·cosv+cos2v·sinv= 2sinv·cosv·cosv+cos2v-sin2v·sinv= 2sinv·cos2v+sinv·cos2v-sin3v= 3sinv·cos2v-sin3v

b) Finn cos3v uttrykt ved sinv og cosv.

Løysing

cos3v = cos2v+v= cos2v·cosv-sin2v·sinv= cos2v-sin2v·cosv-2sinv·cosv·sinv= cos3v-sin2v·cosv-2sin2v·cosv=  cos3v-3sin2v·cosv

c) Finn tan3v uttrykt ved tanv.

Løysing

Vi bruker resultatet frå oppgåvene a) og b).

tan3v = sin3vcos3v= 3sinv·cos2v-sin3vcos3v-3sin2v·cosv= 3sinv·cos2v-sin3vcos3vcos3v-3sin2v·cosvcos3v= 3tanv-tan3v1-3tan2v

2.3.13

Finn formlar for tanu+v og tanu-v uttrykt ved tanu og tanv ved hjelp av formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar.

Løysing

tanu+v = sinu+vcosu+v= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosv-sinu·sinv= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv-sinu·sinvcosu·cosv= tanu+tanv1-tanu·tanv

tanu-v = sinu-vcosu-v= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosv+sinu·sinv= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv+sinu·sinvcosu·cosv= tanu-tanv1+tanu·tanv

2.3.14

a) Bruk einingsformelen til å finne cos2v uttrykt berre ved cosv (ikkje ved sinv).

Løysing

Vi løyser einingsformelen med omsyn på sin2v.

cos2v+sin2v = 1sin2v = 1-cos2v

Då får vi

cos2v = cos2v-sin2v= cos2v-1-cos2v= 2cos2v-1

b) Gjer tilsvarande og finn cos2v uttrykt berre ved sinv.

Løysing

Vi løyser einingsformelen med omsyn på cos2v.

cos2v+sin2v = 1cos2v = 1-sin2v

Då får vi

cos2v = cos2v-sin2v= 1-sin2v-sin2v= 1-2sin2v

2.3.15

a) Bruk formelen for sinus til differansen mellom to vinklar til å bevise at cosv=sinπ2-v.

Løysing

sinπ2-v = sinπ2·cosv-cosπ2·sinv= 1·cosv-0·sinv= cosv

b) Bevis at sinv=cosπ2-v på tilsvarande måte.

Løysing

cosπ2-v = cosπ2·cosv+sinπ2·sinv= 0·cosv+1·sinv= sinv

c) Bevis at supplementvinklar har same sinus på tilsvarande måte.

Løysing

Setninga om supplementvinklar er sinπ-v=sinv. Vi får

sinπ-v = sinπ·cosv-cosπ·sinv= 0·cosv--1·sinv= sinv

d) Bevis formelen cosv=cos-v på tilsvarande måte.

Tips til oppgåva

Set inn ein 0.

Løysing

cos-v = cos0-v= cos0·cosv+sin0·sinv= 1·cosv+0·sinv= cosv

e) Kva andre trigonometriske samanhengar kan du bevise med formlane for sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar?

Løysing

Vi kan bevise desse formlane frå teorisida "Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar":

-cosv=cosπ-v ,   -cosv=cosπ+v ,    -sinv=sinπ+v ,   -sinv=sin-v