Hopp til innhald
Oppgåve

Samanslåing av trigonometriske funksjonar

Her kan du øve på å løyse meir samansette trigonometriske likningar.

2.3.40

Vi ønsker å skrive funksjonane nedanfor på forma Asinkx+𝜑. I kva kvadrant vil vinkelen 𝜑 ligge for kvar av funksjonane etter at dei er skrivne om?

Tips til oppgåva

Her må vi hugse på at

  • a er talet framfor sinusleddet i funksjonen

  • b er talet framfor cosinusleddet

a) fx=-2sinx+2cosx

Løysing

Vi får at a=-2 og b=2.

Punktet a,b=-2,2 har negativ x-koordinat og positiv y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i andre kvadrant.

b) gx=-2sinx-cosx

Løysing

Punktet a,b=-2,-1 har negativ x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i tredje kvadrant.

c) hx=-2cosx+2sinx

Løysing

Her må vi legge merke til at cosinusleddet er skrive først. Punktet a,b=2,-2 har positiv x-koordinat og negativ y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i fjerde kvadrant.

d) fx=2cosx+3sinx

Løysing

Punktet a,b=3,2 har positiv x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant.

2.3.41

Skriv desse funksjonane på forma Asinkx+𝜑. Kontroller at svara er riktige ved å bruke formelen for sinus til ein sum av vinklar. Rekn mest mogleg for hand.

a) fx=2sinx+2cosx

Tips til oppgåva

Hugs formlane for A og 𝜑:

A=a2+b2 ,    tan𝜑=ba

a er talet framfor sinusleddet, og b er talet framfor cosinusleddet.

Løysing

Vi får

a=b=2

A = a2+b2=22+22=8=22

2,2, og dermed 𝜑, ligg i første kvadrant.

tan𝜑 = 22=1 ,   𝜑=π4

Dette gir

fx=22sinx+π4

Kontroll:

fx = 22sinx+π4= 22sinx·cosπ4+cosx·sinπ4= 22sinx·122+cosx·1222sinx+2cosx

b) gx=3sinπx-cosπx

Løysing

Vi får

a=3 ,   b=-1

A = a2+b2=32+-12=3+1=2

3,-1, og dermed 𝜑, ligg i fjerde kvadrant.

tan𝜑 = -13=-13=-133 ,   𝜑=11π6

Dette gir

gx=2sinπx+11π6

Kontroll:

gx = 2sinπx+11π6= 2sinπx·cos11π6+cosπx·sin11π6= 2sinπx·123+cosπx·-12= 3sinπx-cosπx

c) hx=2cos2x-sin2x

Løysing

Vi får

a=-2 ,   b=2 (Pass på rekkefølga av sinus- og cosinusfunksjonen!)

A = a2+b2=-22+22=4+4=22

-2,2, og dermed 𝜑, ligg i andre kvadrant.

tan𝜑 = -22=-1 ,   𝜑=3π4

Dette gir

hx=22sin2x+3π4

Kontroll:

hx = 22sin2x+3π4= 22sin2x·cos3π4+cos2x·sin3π4= 22sin2x·-122+cos2x·122= 2cos2x-sin2x

d) ix=-3sinπ2x-3cosπ2x

Løysing

Vi får

a=-3 ,   b=-3

A = a2+b2=-32+-32=3+9=23

-3,-3, og dermed 𝜑, ligg i tredje kvadrant.

tan𝜑 = -3-3=3 ,   𝜑=π3+π=4π3

Dette gir

ix=23sinπ2x+4π3

Kontroll:

ix = 23sinπ2x+4π3= 23sinπ2x·cos4π3+cosπ2x·sin4π3= 23sinπ2x·-12+cosπ2x·-123= -3sinπ2x-3cosπ2x

e) jx=-cos3x+3sin3x

Løysing

Vi får

a=3 ,   b=-1

A = a2+b2=32+-12=9+1=10

3,-1, og dermed 𝜑, ligg i fjerde kvadrant.

tan𝜑 = -13=-13

Vi kjem ikkje vidare med rekning for hand og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.

I linje 1 ser vi at GeoGebra lagar eit eksakt uttrykk ved hjelp av den omvende funksjonen til tangens. Men til vårt bruk er det best med ein tilnærma verdi.

Vi får

jx=10sin3x+5,96

Vi kan ikkje kontrollere resultatet manuelt slik vi har gjort i dei andre oppgåvene, men vi kan bruke formelen for sinus til summen av to vinklar i CAS.

Resultatet stemmer.

f) kx=2sinx2+3cosx2

Løysing

Vi får

a=2 ,   b=3

A = a2+b2=22+32=4+9=13

2,3, og dermed 𝜑, ligg i første kvadrant.

tan𝜑 = 32

Vi kjem ikkje vidare med rekning for hand og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.

Vi får

kx=13sinx2+0,98

Kontroll:

Her får vi berre tilnærma riktig svar sidan vi gjer utrekninga med tilnærma verdiar, men det er godt nok for oss akkurat her. Vi kan få meir nøyaktig svar ved å erstatte talet 0,98 med Høgreside($1) dersom vi har utrekninga av 𝜑 i linje 1 i CAS-vindauget.

2.3.42

Løys likningane ved rekning for hand dersom det er mogleg. Kontroller svaret ved å løyse likningane med CAS.

a) 2cos2x+2sin2x=2

Løysing

Vi må slå saman cosinus- og sinusfunksjonen for å løyse likninga.

A=a2+b2=22+22=4=2

Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får

tanφ=ba=22=1  φ=π4

Kommentar: Vi kan bruke ekvivalensteiknet sidan vi har slått fast at 𝜑 skal ligge i første kvadrant.

Vi får

2sin2x+π4 = 2sin2x+π4 = 12x+π4 = π2+k·2π ,   k2x = π4+k·2πx = π8+k·π

L=π8+k·π

b) cosπx-sinπx=1

Løysing

A=a2+b2=-12+12=2

Vinkelen 𝜑 må ligge i andre kvadrant. Vi får

tanφ=ba=1-1=-1  φ=3π4

Vi får

2sinπx+3π4 = 1sinπx+3π4 = 12= 122

πx+3π4 = π4+k·2π      πx+3π4=3π4+k·2ππx = -π2+k·2π      πx=k·2πx = -12+2k      x=2k,

k

L=-12+2k, 2k

c) 3sin2x+cos2x=1 ,   x[0,2π

Løysing

A = a2+b2=32+12=3+1=2

Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får

tan𝜑 = 13=133 ,   𝜑=π6

2sin2x+π6 = 1sin2x+π6 = 12

2x+π6 = π6+k·2π      2x+π6=5π6+k·2π2x = k·2π      2x=4π6+k·2πx = k·π      x=π3+k·π,

k

Vi får løysingar for k=0 og k=1 for begge dei generelle løysingane.

L=0,π3,π,4π3

d) 2sin2x=2sinx-6sinx·cosx ,   0x<2π

Løysing

2sin2x = 2sinx-6sinx·cosx
sinx2sinx+6cosx-2=0

sinx=0      2sinx+6cosx-2=0

Vi startar med den første likninga.

sinx = 0x = 0      x=π

Den andre likninga gir

2sinx+6cosx = 2

Vi må slå saman sinus- og cosinusfunksjonen.


A = a2+b2=22+62=2+6=22

tan𝜑=62=62=3

Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får

𝜑=π3

Likninga blir

22sinx+π3 = 2sinx+π3 =12= 122

x+π3 = π4+k·2π      x+π3=3π4+k·2πx = -π12+k·2π      x=5π12+k·2π

For den første får vi løysing når k=1, for den andre får vi løysing når k=0. Løysingsmengda for den opphavlege likninga blir

L=0,5π12,π,23π12

Merk at vi kunne ha løyst den opphavlege likninga ved å dividere alle ledda i likninga med sinx. Då ville vi berre ha stått igjen med den andre likninga vi løyste over. Men då måtte vi ha sjekka om sinx=0 gir løysing av likninga, og det får vi sidan alle ledda i likninga blir null. Vi hadde derfor komme fram til den same løysinga – rimelegvis.

e) -2sin2x+π4+2cos2x+π4=6 ,   0x2π

Løysing

A = a2+b2=-22+22=4+4=22

Vinkelen 𝜑 må ligge i andre kvadrant. Vi får

tan𝜑 = 2-2=-1 ,   𝜑=3π4

22sin2x+π4+3π4 = 6sin2x+π = 622= 123

2x+π = π3+k·2π      2x+π=2π3+k·2π2x = -2π3+k·2π      2x=-π3+k·2πx = -π3+ k·π      x=-π6+k·π,

k

Vi får løysingar for k=1 og k=2 for begge dei generelle løysingane.

L=2π3,5π6,5π3,11π6

2.3.43

a) Skriv algoritmen til ein funksjon "minFi(a, b)" som ut ifrå konstantane a og b i uttrykka asinkx og bcoskx reknar ut 𝜑 i det samanslåtte sinusuttrykket Asinkx+𝜑.

Til å rekne ut 𝜑 kan du bruke funksjonen "atan(x)" fra Python-biblioteket "Math". Funksjonen reknar ut vinkelen 𝜑 ut ifrå at tan𝜑=x. NB: Funksjonen følger den vedtekne verdimengda for den omvende tangensfunksjonen, arctanx, og gir berre vinklar i området -π2,π2. Funksjonen "atan(x)" må derfor "korrigerast" for at pythonfunksjonen "minFi(a, b)" skal kunne gi vinklar i andre, tredje og fjerde kvadrant i første omløp.

Tips til oppgåva

Første trinn må vere å sjekke at dersom både a og b er større enn null, er 𝜑 i første kvadrant, og funksjonen "atan(x)" treng ikkje korrigerast. Funksjonen "minFi" kan i dette tilfellet returnere atan(b/a). Du må lage tilsvarande testar for dei andre kvadrantane.

Til korrigeringa kan du få bruk for talet π, som du kan hente frå biblioteket "Math" med kommandoen pi.

Forslag til algoritme til minFi(a, b)
  • Dersom a>0 og b>0 (første kvadrant): returner atan(b/a).

  • Viss ikkje: dersom a>0 og b<0 (fjerde kvadrant): returner atan(b/a) + 2π.

  • Viss ikkje: dersom a<0 og b>0 (andre kvadrant): returner atan(b/a) + π.

  • Viss ikkje: (tredje kvadrant): returner atan(b/a) + π.

b) Skriv algoritmen til eit program som kan slå saman uttrykka frå oppgåve a) ved at brukaren av programmet skriv inn konstantane a, b og k. Programmet skal bruke funksjonen "minFi(a, b)" til å rekne ut konstanten 𝜑, og til slutt skal programmet skrive ut det samanslåtte uttrykket Asinkx+𝜑.

Forslag til algoritme
  • Skriv til skjermen: "Dette programmet slår saman uttrykket asinkx+bcoskx til ein enkelt sinusfunksjon."

  • Skriv til skjermen: "Skriv inn a: "

  • Ta imot talet frå brukaren og lagre det i variabelen a.

  • Gjer tilsvarande med b og k.

  • Set variabelen A lik a2+b212.

  • Set variabelen fi lik minFi(a,b)

  • Skriv til skjermen: "Den samanslåtte funksjonen er: <a>sin<k>x + <b>cos<k>x = <A>sin(<k>x + <fi>)"

Bokstavar i vinkelparentesar refererer til innhaldet i variabelen med dette namnet.

c) Skriv koden til funksjonen og resten av programmet, og test at det verkar.

Forslag til kode
python
1import math as m
2
3def minFi(a,b):
4  if a>0 and b>0:
5    return m.atan(b/a)
6  elif a>0 and b<0:
7    return m.atan(b/a) + 2*m.pi
8  elif a<0 and b>0:
9    return m.atan(b/a) + m.pi
10  else:
11    return m.atan(b/a) + m.pi
12
13print("Dette programmet slår saman uttrykket a sin kx + b cos kx til ein enkel sinusfunksjon.")
14
15a = float(input("Skriv inn talet a: "))
16b = float(input("Skriv inn talet b: "))
17k = float(input("Skriv inn talet k: "))
18
19A = (a**2 + b**2)**(1/2)
20fi = minFi(a,b)
21
22print(f"{a}sin{k}x + {b}cos{k}x = {A:.2f}sin({k}x + {fi:.2f})")

d) Finn informasjon om pythonkommandoen "atan2()" på nettet. Lag ein kortare og enklare variant av programmet i c) ved hjelp av denne kommandoen.

e) Har GeoGebra ein tilsvarande kommando?