Her kan du øve på å løyse meir samansette trigonometriske likningar.
2.3.40
Vi ønsker å skrive funksjonane nedanfor på forma . I kva kvadrant vil vinkelen 𝜑 ligge for kvar av funksjonane etter at dei er skrivne om?
Tips til oppgåva
Her må vi hugse på at
a er talet framfor sinusleddet i funksjonen
b er talet framfor cosinusleddet
a) fx=-2sinx+2cosx
Løysing
Vi får at a=-2 og b=2.
Punktet a,b=-2,2 har negativ x-koordinat og positiv y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i andre kvadrant.
b) gx=-2sinx-cosx
Løysing
Punktet a,b=-2,-1 har negativ x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i tredje kvadrant.
c) hx=-2cosx+2sinx
Løysing
Her må vi legge merke til at cosinusleddet er skrive først. Punktet a,b=2,-2 har positiv x-koordinat og negativ y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i fjerde kvadrant.
d) fx=2cosx+3sinx
Løysing
Punktet a,b=3,2 har positiv x-koordinat og y-koordinat, så vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant.
2.3.41
Skriv desse funksjonane på forma Asinkx+𝜑. Kontroller at svara er riktige ved å bruke formelen for sinus til ein sum av vinklar. Rekn mest mogleg for hand.
a) fx=2sinx+2cosx
Tips til oppgåva
Hugs formlane for A og 𝜑:
A=a2+b2,tan𝜑=ba
a er talet framfor sinusleddet, og b er talet framfor cosinusleddet.
Vi kjem ikkje vidare med rekning for hand og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.
I linje 1 ser vi at GeoGebra lagar eit eksakt uttrykk ved hjelp av den omvende funksjonen til tangens. Men til vårt bruk er det best med ein tilnærma verdi.
Vi får
jx=10sin3x+5,96
Vi kan ikkje kontrollere resultatet manuelt slik vi har gjort i dei andre oppgåvene, men vi kan bruke formelen for sinus til summen av to vinklar i CAS.
Resultatet stemmer.
f) kx=2sinx2+3cosx2
Løysing
Vi får
a=2,b=3
A=a2+b2=22+32=4+9=13
2,3, og dermed 𝜑, ligg i første kvadrant.
tan𝜑=32
Vi kjem ikkje vidare med rekning for hand og bruker CAS i GeoGebra til å finne 𝜑.
Vi får
kx=13sinx2+0,98
Kontroll:
Her får vi berre tilnærma riktig svar sidan vi gjer utrekninga med tilnærma verdiar, men det er godt nok for oss akkurat her. Vi kan få meir nøyaktig svar ved å erstatte talet 0,98 med Høgreside($1) dersom vi har utrekninga av 𝜑 i linje 1 i CAS-vindauget.
2.3.42
Løys likningane ved rekning for hand dersom det er mogleg. Kontroller svaret ved å løyse likningane med CAS.
a) 2cos2x+2sin2x=2
Løysing
Vi må slå saman cosinus- og sinusfunksjonen for å løyse likninga.
A=a2+b2=22+22=4=2
Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får
tanφ=ba=22=1⇔φ=π4
Kommentar: Vi kan bruke ekvivalensteiknet sidan vi har slått fast at 𝜑 skal ligge i første kvadrant.
Vi får løysingar for k=0 og k=1 for begge dei generelle løysingane.
L=0,π3,π,4π3
d) 2sin2x=2sinx-6sinx·cosx,0≤x<2π
Løysing
2sin2x=2sinx-6sinx·cosx sinx2sinx+6cosx-2=0
sinx=0∨2sinx+6cosx-2=0
Vi startar med den første likninga.
sinx=0x=0∨x=π
Den andre likninga gir
2sinx+6cosx=2
Vi må slå saman sinus- og cosinusfunksjonen.
A=a2+b2=22+62=2+6=22
tan𝜑=62=62=3
Vinkelen 𝜑 må ligge i første kvadrant. Vi får
𝜑=π3
Likninga blir
22sinx+π3=2sinx+π3=12=122
x+π3=π4+k·2π∨x+π3=3π4+k·2πx=-π12+k·2π∨x=5π12+k·2π
For den første får vi løysing når k=1, for den andre får vi løysing når k=0. Løysingsmengda for den opphavlege likninga blir
L=0,5π12,π,23π12
Merk at vi kunne ha løyst den opphavlege likninga ved å dividere alle ledda i likninga med sinx. Då ville vi berre ha stått igjen med den andre likninga vi løyste over. Men då måtte vi ha sjekka om sinx=0 gir løysing av likninga, og det får vi sidan alle ledda i likninga blir null. Vi hadde derfor komme fram til den same løysinga – rimelegvis.
Vi får løysingar for k=1 og k=2 for begge dei generelle løysingane.
L=2π3,5π6,5π3,11π6
2.3.43
a) Skriv algoritmen til ein funksjon "minFi(a, b)" som ut ifrå konstantane a og b i uttrykka asinkx og bcoskx reknar ut 𝜑 i det samanslåtte sinusuttrykket Asinkx+𝜑.
Til å rekne ut 𝜑 kan du bruke funksjonen "atan(x)" fra Python-biblioteket "Math". Funksjonen reknar ut vinkelen 𝜑 ut ifrå at tan𝜑=x. NB: Funksjonen følger den vedtekne verdimengda for den omvende tangensfunksjonen, arctanx, og gir berre vinklar i området 〈-π2,π2〉. Funksjonen "atan(x)" må derfor "korrigerast" for at pythonfunksjonen "minFi(a, b)" skal kunne gi vinklar i andre, tredje og fjerde kvadrant i første omløp.
Tips til oppgåva
Første trinn må vere å sjekke at dersom både a og b er større enn null, er 𝜑 i første kvadrant, og funksjonen "atan(x)" treng ikkje korrigerast. Funksjonen "minFi" kan i dette tilfellet returnere atan(b/a). Du må lage tilsvarande testar for dei andre kvadrantane.
Til korrigeringa kan du få bruk for talet π, som du kan hente frå biblioteket "Math" med kommandoen pi.
Forslag til algoritme til minFi(a, b)
Dersom a>0 og b>0 (første kvadrant): returner atan(b/a).
Viss ikkje: dersom a>0 og b<0 (fjerde kvadrant): returner atan(b/a) + 2π.
Viss ikkje: dersom a<0 og b>0 (andre kvadrant): returner atan(b/a) + π.
Viss ikkje: (tredje kvadrant): returner atan(b/a) + π.
b) Skriv algoritmen til eit program som kan slå saman uttrykka frå oppgåve a) ved at brukaren av programmet skriv inn konstantane a,b og k. Programmet skal bruke funksjonen "minFi(a, b)" til å rekne ut konstanten 𝜑, og til slutt skal programmet skrive ut det samanslåtte uttrykket Asinkx+𝜑.
Forslag til algoritme
Skriv til skjermen: "Dette programmet slår saman uttrykket asinkx+bcoskx til ein enkelt sinusfunksjon."
Skriv til skjermen: "Skriv inn a: "
Ta imot talet frå brukaren og lagre det i variabelen a.