Hopp til innhald
Oppgåve

Løysing av samansette trigonometriske likningar

Her kan du øve på å løyse meir samansette trigonometriske likningar.

2.3.30

teorisida "Løysing av samansette trigonometriske likningar" viser vi korleis vi løyser likninga

cos2x-3sin2x=-2 når x[0, 2π

ved å forme om cos2x til sin2x ved hjelp av einingsformelen.

Vis at det blir same løysing av likninga ved at ein gjer motsett: formar om sin2x til cos2x.

Løysing

Vi startar med å forme om sinusleddet ved å bruke einingsformelen.

cos2x+sin2x=1  sin2x=1-cos2x

Vi får

cos2x-3sin2x = -2cos2x-31-cos2x=-2cos2x-3+3cos2x=-24cos2x=1cos2x=14

Vi får ei andregradslikning der cosx er variabelen. Vidare får vi

cosx = ±14cosx = 12      cosx=-12

Vi skal leite etter løysingar i første omløp. Den første likninga gir vinklane π3 og 2π-π3=5π3. Løysingane til den andre finn vi ut ifrå dei vinklane som har motsett cosinusverdi: cosv+π=-cosv. Dette gir vinklane π3+π=4π3 og 2π-4π3=2π3. Løysinga blir

L=π3, 2π3, 4π3, 5π3

Vart det den same løysinga som på teorisida?

2.3.31

a) Teikn ei skisse av einingssirkelen og bruk ho til å løyse likninga

sinx=cosx ,  x[0,2π

Løysing

Vi har at vinkelen π4 har same sinus- og cosinusverdi, 122. Den tilsvarande vinkelen i tredje kvadrant, 5π4, har òg same sinus- og cosinusverdi, -122. I andre og fjerde kvadrant har sinus og cosinus motsett forteikn og kan ikkje vere like. Vi får

L=π4,5π4

b) Løys likninga i oppgåve a) ved rekning. Kontroller svaret med CAS.

Tips til oppgåva

Divider på begge sider med cosx.

Løysing

sinx = cosxsinxcosx = cosxcosx ,  cosx0tanx = 1x = π4      x=π4+π

Vi må sjekke om cosx=0 kan vere ei løysing. Når cosx=0, er sinx=±1, og likninga kan ikkje oppfyllast. Resultatet blir

L = π4, 5π4

2.3.32

Løys likningane utan bruk av digitale hjelpemiddel. Kontroller svara med CAS.

a) 2cos2v=-cosv

Løysing

2cos2v = -cosv2cos2v+cosv = 0cosv2cosv+1 = 0cosv = 0      2cosv+1=0

cosv = 0v = π2+k·2π      v=3π2+k·2π

k. Desse to løysingane kan vi slå saman til éi løysing (kvifor?):

v=π2+k·π

2cosv+1 = 02cosv = -1cosv = -12v = 2π3+k·2π      v=2π-2π3+k·2πv = 2π3+k·2π      v=4π3+k·2π

L=π2+k·π,2π3+k·2π,4π3+k·2π

Løysing med CAS i GeoGebra:

Merk måten vi skriv cos2v på i GeoGebra. Merk òg at GeoGebra ikkje alltid tek utgangspunkt i løysingar i første omløp, slik som i den andre løysinga her.

b) tan2x-1=0

Løysing

tan2v-1 = 0tanv-1tanv+1 = 0tanv-1 = 0      tanv+1=0tanv = 1      tanv=-1

tanv = 1v = π4+k·π,  k  

tanv = -1v = 3π4+k·π 

Desse løysingane kan vi slå saman.

L=π4+k·π2

c) 2sin2x+5sinx=-2 ,  x[0°,360°

Løysing

2sin2x+5sinx = -22sin2x+5sinx+2 = 0sinx = -5±52-4·2·22·2= -5±25-164= -5±34

sinx = -12      sinx=-2x = 210°+k·360°      x=180°-210°+k·360°x = 210°+k·360°      x=-30°+k·360°, kL = 210°,330°

d) sinvsinv+2=3 ,  v[0,2π

Løysing

sinvsinv+2 = 3sin2v+2sinv-3 = 0sinv-1sinv+3 = 0sinv-1 = 0      sinv+3=0sinv = 1      sinv=-3v = π2L = {π2}

Her har vi brukt "stiremetoden" i overgangen mellom linje 2 og 3. Alternativt kan vi bruke abc-formelen.

e) 2cosx+1=cosx

Løysing

2cosx+1 = cosx2 = cosxcosx+1= cos2x+cosxcos2x+cosx-2 = 0cosx-1cosx+2 = 0cosx = 1      cosx=-2x = 0+k·2π,  kL = k·2π

Her har vi brukt "stiremetoden" i overgangen mellom linje 4 og 5.

2.3.33

Løys likningane for hand dersom det er mogleg. Bruk CAS for dei likningane som ikkje kan løysast for hand.

a) 3sinπx-3cosπx=0 ,  x[0,2π

Løysing

3sinπx-3cosπx = 03sinπxcosπx-3cosπxcosπx = 0 ,   cosπx03tanπx = 3tanπx = 33πx = π6+k·π,  kx = 16+k

Vi må sjekke om cosπx=0 kan vere ei løysing av likninga. Då er i tilfelle sinπx=±1, og venstresida av likninga kan ikkje bli null. cosπx=0 gir derfor inga løysing av likninga.

L=16,76,136,196,256,316,376

b) cos22x-sin22x=1 ,  x[0,4π

Løysing

Vi eliminerer til dømes sin22x ved hjelp av einingsformelen:

cos2x+sin2x=1  sin2x=1-cos2x

cos22x-sin22x = 1cos22x-1-cos22x = 12cos22x = 2cos22x = 1

cos2x = 1                   cos2x=-12x = 0+k·2π      2x=π+k·2πx = k·π      x=π2+k·π

L=0,π2,π,3π2,2π,5π2,3π,7π2

c) 2sinx-3cosx=0 ,   0x<2π

Løysing

2sinx-3cosx = 02sinxcosx-3cosxcosx = 0 ,   cosx02tanx-3 = 0tanx = 32

Vi kjem ikkje vidare utan hjelpemiddel og løyser likninga med CAS i GeoGebra.

d) sin2x-12sinxcosx+3cos2x=0

Tips til løysing

Bruk ein tilsvarande framgangsmåte som i oppgåve a).

Løysing

sin2x-12sinxcosx+3cos2x = 0sin2xcos2x-12sinxcosxcos2x+3cos2xcos2x = 0 ,  cos2x0tan2x-12tanx+3 = 0

tanx = --12±-122-4·1·32·1= 12±12-122= 4·32= 3x = π3+k·π ,   k

Vi må sjekke om likninga kan ha løysing når cos2x=0, som betyr når cosx=0. Då er sinx=±1, og det første leddet på venstresida er forskjellig frå null. Då har ikkje likninga løysing sidan det står 0 på høgresida. Vi får

L=π3+k·π

e) 12sin2x+sinx=1 ,  x[0,2π

Løysing

12sin2x+sinx = 112sin2x+sinx-1 = 0sinx = -1±12-4·12·-12·12= -1±1+4824= -1±724

sinx = -13      sinx=14

Vi kjem dessverre ikkje vidare manuelt og løyser likninga med CAS i GeoGebra.

f) 4sin22x-233sin2x·cos2x+2cos22x=3

Tips til oppgåva

Erstatt talet 3 på høgre side av likninga med ledd av typen cos22x og sin22x ved hjelp av einingsformelen. Bruk deretter tilsvarande framgangsmåte som i oppgåve c).

Løysing

Frå einingsformelen får vi

sin22x+cos22x = 13sin22x+3cos22x = 3

Vi set dette inn i likninga.

4sin22x-233sin2x·cos2x+2cos22x
=3sin2x+3cos2x

sin22x-233sin2x·cos2x-cos22x = 0sin22xcos22x-233sin2x·cos2xcos22x-cos22xcos22x = 0,cos22x  0tan22x-233tanx-1 = 0

tan2x = --233±-2332-4·1·-12·1= 233±43+42= 233±1632= 233±432= 233±4332= 33±233tan2x = - 33       tan2x=32x = 5π6+k·π      2x= π3+k·π, kx = 5π12+k·π2      x= π6+k·π2

Vi må sjekke om likninga kan ha løysing når cos22x=0, som betyr når cos2x=0. Då er sin2x=±1 og sin22x=1. I likninga får vi då at 4·1=3, så dette gir ikkje fleire løysingar.

L=π6+k·π2, 5π12+k·π2

2.3.34

Løys likningane med og utan hjelpemiddel.

a) arccosx2-π2arccosx = 3π216

Løysing

arccosx2-π2arccosx = 3π216arccosx2-π2arccosx-3π216 = 0

arccosx = --π2±-π22-4·1·-3π2162·1= π2±π24+3π242= π2±π2

arccosx=3π4      arccosx=-π4

Verdimengda til arccosx er 0,π, så den andre likninga har inga løysing. Vi får

cosarccosx = cos3π4x = -122

b) arccosx-2arcsinx=π

Løysing

Vi bruker identiteten arcsinx+arccosx=π2, sjå teorisida "Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar".

arccosx-2arcsinx = ππ2-arcsinx-2arcsinx = π-3arcsinx = π2arcsinx = -π6

-π6 er innanfor verdimengda til arcsinx, så likninga har løysing. Vi får

sinarcsinx = sin-π6x = -12

Merk at GeoGebra ikkje klarer å finne den eksakte løysinga med "Løys". "NLøys" finn heldigvis rett løysing. Merk òg at GeoGebra her har endra skrivemåten til dei omvende funksjonane sjølv om vi skreiv inn arccosx og arcsinx.