Vi får ei andregradslikning der cosx er variabelen. Vidare får vi
cosx=±14cosx=12∨cosx=-12
Vi skal leite etter løysingar i første omløp. Den første likninga gir vinklane π3 og 2π-π3=5π3. Løysingane til den andre finn vi ut ifrå dei vinklane som har motsett cosinusverdi: cosv+π=-cosv. Dette gir vinklane π3+π=4π3 og 2π-4π3=2π3. Løysinga blir
L=π3,2π3,4π3,5π3
Vart det den same løysinga som på teorisida?
2.3.31
a) Teikn ei skisse av einingssirkelen og bruk ho til å løyse likninga
sinx=cosx,x∈[0,2π⟩
Løysing
Vi har at vinkelen π4 har same sinus- og cosinusverdi, 122. Den tilsvarande vinkelen i tredje kvadrant, 5π4, har òg same sinus- og cosinusverdi, -122. I andre og fjerde kvadrant har sinus og cosinus motsett forteikn og kan ikkje vere like. Vi får
L=π4,5π4
b) Løys likninga i oppgåve a) ved rekning. Kontroller svaret med CAS.
Merk måten vi skriv cos2v på i GeoGebra. Merk òg at GeoGebra ikkje alltid tek utgangspunkt i løysingar i første omløp, slik som i den andre løysinga her.
Vi må sjekke om cosπx=0 kan vere ei løysing av likninga. Då er i tilfelle sinπx=±1, og venstresida av likninga kan ikkje bli null. cosπx=0 gir derfor inga løysing av likninga.
L=16,76,136,196,256,316,376
b) cos22x-sin22x=1,x∈[0,4π⟩
Løysing
Vi eliminerer til dømes sin22x ved hjelp av einingsformelen:
Vi må sjekke om likninga kan ha løysing når cos2x=0, som betyr når cosx=0. Då er sinx=±1, og det første leddet på venstresida er forskjellig frå null. Då har ikkje likninga løysing sidan det står 0 på høgresida. Vi får
Vi kjem dessverre ikkje vidare manuelt og løyser likninga med CAS i GeoGebra.
f) 4sin22x-233sin2x·cos2x+2cos22x=3
Tips til oppgåva
Erstatt talet 3 på høgre side av likninga med ledd av typen cos22x og sin22x ved hjelp av einingsformelen. Bruk deretter tilsvarande framgangsmåte som i oppgåve c).
Vi må sjekke om likninga kan ha løysing når cos22x=0, som betyr når cos2x=0. Då er sin2x=±1 og sin22x=1. I likninga får vi då at 4·1=3, så dette gir ikkje fleire løysingar.
-π6 er innanfor verdimengda til arcsinx, så likninga har løysing. Vi får
sinarcsinx=sin-π6x=-12
Merk at GeoGebra ikkje klarer å finne den eksakte løysinga med "Løys". "NLøys" finn heldigvis rett løysing. Merk òg at GeoGebra her har endra skrivemåten til dei omvende funksjonane sjølv om vi skreiv inn arccosx og arcsinx.