Hopp til innhald
Oppgåve

Løysing av enkle trigonometriske likningar

Her kan du øve på å løyse enkle trigonometriske likningar.

2.3.20

Løys likningane utan hjelpemiddel når x[0,2π. Kontroller løysingane med CAS.

a) 4sinx-2=0

Løysing

4sinx-2 = 04sinx = 2sinx = 12x = π6      x=π-π6L = π6,5π6

Kommentar: Vi veit at det berre er desse to vinklane i første omløp som har sinusverdi lik 12. Derfor treng vi ikkje skrive opp den generelle løysinga ved hjelp av konstanten k.

Kontroll med CAS:

b) cosx=123

Løysing

Vi må finne dei vinklane i første omløp som har cosinusverdi lik 123, som vi kjenner igjen som ein av dei eksakte trigonometriske verdiane.

cosx = 123x = π6      x=2π-π6=11π6L = π6,11π6

c) 2cosx=2

Løysing

2cosx = 2cosx = 22x = π4      x=2π-π4L = π4,7π4

d) tan3x=3

Løysing

tan3x = 33x = π3+k·π ,   kx = π9+k·π3L = π9,4π9,7π9,10π9,13π9,16π9

e) 4cos4x=5

Løysing

4cos4x = 5cos4x = 54L = 

Vi får inga løysing sidan cos4x1 for alle x. Dette har vi skrive som at løysingsmengda er den tomme mengda .

f) 2sin4x-π3+3=0

Løysing

2sin4x-π3+3 = 0sin4x-π3 = -123

Dette gir to generelle løysingar. Den eine er

4x-π3 = 4π3+k·2π4x =  5π3+k·2πx =  5π12+k·π2

Den andre er

4x-π3 = π-4π3+k·2π4x =  k·2πx =  k·π2

Begge dei generelle løysingane gir løysningar når k er 0, 1, 2 og 3.

L = 5π12,11π12,17π12,23π12,0,π2,π,3π2= 0,5π2,π2,11π12,π,17π12,3π2,23π12 

... dersom vi skriv løysingane i stigande rekkefølge.

g) 2cosx2+1 = 0

Løysing

2cosx2+1 = 0cosx2 = -12=-22x2 = 3π4+k·2π   x2 = 2π-3π4+k·2π= 5π4+k·2π,k  x = 3π2+k·4π   x = 5π2+k·4π

Den første generelle løysinga gir løysing for k=0. Den andre gir inga løysing i første omløp.

L=3π2

h) 2sinx2+1 = 0

Løysing

2sinx2+1 = 0sinx2 = -12=-22x2 = 5π4+k·2π   x2 = π-5π4+k·2π= -π4+k·2π,k  x = 5π2+k·4π   x = -π2+k·4π

Ingen av dei generelle løysingane gir løysing i første omløp.

L=

2.3.21

a) Gitt likninga sinx=a der a er ein konstant.

For kva verdiar av a vil likninga ha løysing?

Løysing

Vi veit at -1sinx1. Det betyr at likninga berre har løysing når -1a1.

b) Gitt likninga sinx=a,  x[0,2π, der a er ein konstant.

For kva verdiar av a vil likninga ha

  • to løysingar

  • éi løysing

  • ingen løysingar

Løysing

Frå oppgåve a) har vi at -1a1 for at likninga skal ha løysing. Generelt vil det då vere to løysingar av likninga unnateke når a=±1, der vi berre får éi løysing.

Samanfatta får vi

  • to løysingar når -1<a<1

  • éi løysing når a=-1 eller a=1

  • ingen løysingar når a<-1 eller når a>1

c) Gitt likninga tanx=b der b er en konstant.

For kva verdiar av b vil likninga ha løysing?

Løysing

Tangensfunksjonen kan ha alle moglege verdiar, så likninga vil ha løysing for b.

2.3.22

Finn grafisk den generelle løysinga av likninga fx=gx.

Løysing

Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π4. Den generelle løysinga av likninga blir

L=π4+k·π2,  k

Løysing

Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π8. Den generelle løysinga av likninga blir

L=π8+k·π2,  k

Løysing

Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π4. Den generelle løysinga av likninga blir

L=π4+k·π2,  k

2.3.23

Løys likningane med og utan hjelpemiddel.

a) arcsinx=π4

Løysing

Først må vi sjekke om π4 er innanfor verdimengda til arcsinx. Det er det sidan verdimengda er -π2,π2.

arcsinx = π4sinarcsinx = sinπ4x = 122

b) 3arctanx-π=0

Løysing

3arctanx-π = 03arctanx = πarctanx = π3

π3 er innanfor verdimengda til arctanx, så likninga har løysing. Vi får

tanarctanx = tanπ3x = 3

c) 12arccosx-2=0

Løysing

12arccosx-2 = 012arccosx = 2arccosx = 4

Verdimengda til arccosx er 0,π, så likninga har inga løysing.