Her kan du øve på å løyse enkle trigonometriske likningar.
2.3.20
Løys likningane utan hjelpemiddel når . Kontroller løysingane med CAS.
a) 4sinx-2=0
Løysing
4sinx-2=04sinx=2sinx=12x=π6∨x=π-π6L=π6,5π6
Kommentar: Vi veit at det berre er desse to vinklane i første omløp som har sinusverdi lik 12. Derfor treng vi ikkje skrive opp den generelle løysinga ved hjelp av konstanten k.
Kontroll med CAS:
b) cosx=123
Løysing
Vi må finne dei vinklane i første omløp som har cosinusverdi lik 123, som vi kjenner igjen som ein av dei eksakte trigonometriske verdiane.
Ingen av dei generelle løysingane gir løysing i første omløp.
L=∅
2.3.21
a) Gitt likninga sinx=a der a er ein konstant.
For kva verdiar av a vil likninga ha løysing?
Løysing
Vi veit at -1≤sinx≤1. Det betyr at likninga berre har løysing når -1≤a≤1.
b) Gitt likninga sinx=a,x∈[0,2π〉, der a er ein konstant.
For kva verdiar av a vil likninga ha
to løysingar
éi løysing
ingen løysingar
Løysing
Frå oppgåve a) har vi at -1≤a≤1 for at likninga skal ha løysing. Generelt vil det då vere to løysingar av likninga unnateke når a=±1, der vi berre får éi løysing.
Samanfatta får vi
to løysingar når -1<a<1
éi løysing når a=-1 eller a=1
ingen løysingar når a<-1 eller når a>1
c) Gitt likninga tanx=b der b er en konstant.
For kva verdiar av b vil likninga ha løysing?
Løysing
Tangensfunksjonen kan ha alle moglege verdiar, så likninga vil ha løysing for b∈ℝ.
2.3.22
Finn grafisk den generelle løysinga av likninga fx=gx.
Løysing
Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π4. Den generelle løysinga av likninga blir
L=π4+k·π2,k∈ℤ
Løysing
Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π8. Den generelle løysinga av likninga blir
L=π8+k·π2,k∈ℤ
Løysing
Vi ser at vi får periodiske skjeringspunkt med avstand π2 frå skjeringspunkt til skjeringspunkt. Eitt av skjeringspunkta har x-koordinat π4. Den generelle løysinga av likninga blir
L=π4+k·π2,k∈ℤ
2.3.23
Løys likningane med og utan hjelpemiddel.
a) arcsinx=π4
Løysing
Først må vi sjekke om π4 er innanfor verdimengda til arcsinx. Det er det sidan verdimengda er -π2,π2.
arcsinx=π4sinarcsinx=sinπ4x=122
b) 3arctanx-π=0
Løysing
3arctanx-π=03arctanx=πarctanx=π3
π3 er innanfor verdimengda til arctanx, så likninga har løysing. Vi får
tanarctanx=tanπ3x=3
c) 12arccosx-2=0
Løysing
12arccosx-2=012arccosx=2arccosx=4
Verdimengda til arccosx er 0,π, så likninga har inga løysing.