Hopp til innhald
Oppgåve

Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar

Øv på å bruke dei grunnleggande trigonometriske samanhengane her.

2.3.1

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel.

a) Kva er supplementvinkelen til 70°?

Løysing

Supplementvinkelen er 180°-70°=110°.

b) Kva er supplementvinkelen til 23π?

Løysing

Supplementvinkelen er π-23π=13π.

c) Kva er komplementvinkelen til 65°?

Løysing

Komplementvinkelen er 90°-65°=25°.

d) Kva er komplementvinkelen til 1736π?

Løysing

Komplementvinkelen er 12π-1736π=1836-1736π=136π.

e) Kva er supplementvinkelen til 225°?

Løysing

Supplementvinkelen er 180°-225°=-45°.

f) Kva er komplementvinkelen til 74π?

Løysing

Komplementvinkelen er 12π-74π=24-74π=-54π.

2.3.2

Rekn ut utan hjelpemiddel.

a) sin230°+cos230°

Løysing

Svaret får vi direkte av einingsformelen.

sin230°+cos230°=1

b) sin2π6+cos2π6

Løysing

sin2π6+cos2π6=1

c) 4cos210°+4sin210°

Løysing

4cos210°+4sin210° = 4cos210°+sin210°= 4·1= 4

d) sin2110°+cos270°

Tips til oppgåva

Bruk at vinklane er supplementvinklar.

Løysing

Dei to vinklane er supplementvinklar fordi

110°+70°=180°

Vi får

sin2110°+cos270° = sin270°+cos270°= 1

e) sin220°+sin270°

Tips til oppgåva

Bruk at vinklane 20° og 70° er komplementvinklar.

Løysing

sin220°+sin270° = sin220°+cos290°-70°= sin220°+cos220°= 1

f) 3cos2π3+3cos2π6

Løysing

Dei to vinklane er komplementvinklar fordi

π3+π6=2π+π6=3π6=π2

Vi får

3cos2π3+3cos2π6 = 3cos2π3+sin2π2-π6= 3cos2π3+sin2π3= 3·1= 3

2.3.3

a) Du får gitt at cosv=0,6.

Finn sinv og tanv utan hjelpemiddel.

Tips til oppgåva

Bruk einingsformelen.

Løysing

Einingsformelen: cos2v+sin2v=1

Vi får

0,62+sin2v = 1sin2v = 1-0,36= 0,64sinv = ±0,64= ±0,8 sinv = -0,8        sinv=0,8

Vidare får vi frå tanv=sinvcosv at

tanv=-0,80,6=-86=-43        tanv=43

b) Du får gitt at sinv=0,9.

Finn eit eksakt uttrykk for cosv utan hjelpemiddel.

Løysing

Vi bruker einingsformelen og får

cos2v+0,92 = 1cos2v = 1-0,81= 0,19cosv = ±0,19cosv = 0,19        cosv=-0,19

2.3.4

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel.

a) Du får gitt at sin40°=0,643.

Kva veit du då om sin140°?

Løysing

Vinklane 40° og 140° er supplementvinklar sidan summen blir 180°. Då har vinklane same sinusverdi. Vi får

sin140°=sin40°=0,643

b) Du får gitt at sin40°=0,643.

Kva veit du då om cos50°?

Løysing

Vinklane 40° og 50° er komplementvinklar sidan summen blir 90°. Då må

cos50°=sin40°=0,643

c) Du får gitt at sin40°=0,643.

Kva veit du då om sin320°?

Tips til oppgåva

Kva får du dersom du legg saman vinklane?

Løysing

Vi har at 320°+40°=360°. Då har vi tilsvarande situasjon som på biletet nedanfor.

Dei to vinklane har same cosinusverdi og motsett sinusverdi.

Då må

sin320°=-sin40°=-0,643

d) Du får gitt at sin40°=0,643.

Kva veit du då om sin220°?

Tips til oppgåva

Kva får du dersom du trekker vinklane frå kvarandre?

Løysing

Vi har at 220°-40°=180°. Då har vi ein tilsvarande situasjon som på biletet nedanfor.

Det betyr at

sin220°=-sin40°=-0,643

e) Du får gitt at sin40°=0,643.

Kva veit du då om cos230°?

Løysing

Vi har at 230°-180°=50°. Då kan vi igjen bruke figuren nedanfor.

50° er komplementvinkelen til 40° og har derfor cosinusverdi lik sinusverdien til 40°.

Det betyr at

cos230°=-cos50°=-sin40°=-0,643

f) Du får gitt at tan60°=3.

Kva blir då tan240°?

Løysing

Vi har at forskjellen på vinklane er 180°. Då har dei same tangensverdi. Vi får at

tan240°=tan60°=3

g) Du får gitt at tanπ6=133.

Kva blir då tan7π6?

Løysing

Forskjellen på vinklane er

7π6-π6=6π6=π

Då har vinklane same tangensverdi. Altså får vi at

tan7π6=tanπ6=133

h) Du får gitt at tanπ6=133.

Kva blir då tanπ3?

Løysing

Dei to vinklane er komplementvinklar fordi

π3+π6=2π+π6=3π6=π2

Då får vi at

tanπ3=1tanπ6=1133=33=3

2.3.5

a) Vis at arcsinx+arccosx=π2.

Tips 1 til oppgåva

Start med å setje arcsinx=v og finn eit uttrykk for arccosx ved å rekne deg frå arcsinx til arccosx.

Du får òg bruk for identiteten sinv=cosπ2-v.

Tips 2 til oppgåva

Start med å ta sin på begge sider av arcsinx=v.

Løysing

arcsinx = vsinarcsinx = sinvx = sinv = cosπ2-varccosx = arccoscosπ2-v= π2-v

Då får vi

arcsinx+arccosx = v+π2-v= π2

NB: Dette er ikkje eit fullstendig bevis før vi har kontrollert at vinkelen v er innanfor det tillatne område for dei omvende funksjonane. Det gjer vi i oppgåve b).

b) Utfordring!

Vis at vinkelen v er innanfor dei tillatne områda for arcsinx og arccosx i beviset i a).

Tips til oppgåva

Start med å setje opp ein dobbel ulikskap for det tillatne område for v for arcsinx. Vis at omgjeringa frå sinv til cosπ2-v gir akkurat same avgrensing på v.

Løysing

Verdimengda til arcsinx er -π2,π2. Det betyr at vinkelen v må oppfylle den doble ulikskapen

-π2vπ2

I løysinga i a) skriv vi om sinusfunksjonen til ein cosinusfunksjon med argumentet π2-v. I utleiinga tek vi arccos på begge sider. Verdimengda til arccosx er 0,π. Det betyr at vi må krevje at

0  π2-vπ        |-π2-π2   -v π2        |·-1π2     v   -π2     | Snu ulikskapen-π2     v   π2

Dette er det same som verdimengda til arcsinx. Kravet til v er det same heile tida, og vi har dermed bevist at omrekninga i oppgåve a) er grei.

2.3.6

a) Bruk figuren til å forklare at

arcsin-b = -arcsinb

Løysing

v er ein vinkel i første kvadrant. Vinkelen -v ligg då i fjerde kvadrant. Ut frå figuren har vi at dersom sinv=b, så er sin-v=-b.

Vi må hugse at verdimengda til arcsinx er -π2,π2. Dei to likningane gir

b = sinvarcsinb = arcsinv= v

og

-b = sin-varcsin-b = arcsinsin-v= -v= -arcsinb

b) Bruk figuren til å forklare at

arctan-c=-arctanc

Løysing

Ut frå figuren og definisjonen av tangensfunksjonen har vi at tanv=c og tan-v=-c.

Så må vi hugse at verdimengda til arctanx er -π2,π2. Dei to likningane gir

c = tanvarctanc = arctantanv= v

og

-c = tan-varctan-c = arctantan-v= -v= -arctanc

c) Bruk figuren til å finne ein tilsvarande samanhengen mellom

arccos-a og arccosa

Løysing

Ut frå figuren har vi først at

cosv=a og cosπ-v=-a

Vi må hugse at verdimengda til arccosx er 0,π. Dei to likningane gir

a = cosvarccosa = arccoscosv= v

og

-a = cosπ-varccos-a = arccoscosπ-v= π-v