Sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar
Uttrykket over er sinus til ein sum av to vinklar. Vi skal sjå at det går an å skrive dette og tilsvarande uttrykk ved hjelp av og
Formel for cosinus til ein differanse av to vinklar
Vi byrjar med å finne ein formel for
Legg merke til at vi har teikna dei venstre vinkelbeina til
På figuren har punktet
Skriv opp koordinatane til
Resultat
Vektorane får koordinatar lik koordinatane til
Vi skal komme fram til ein formel for
Svar
Vi kan rekne ut skalarproduktet med eller utan bruk av vektorkoordinatane. Vi kan
1) anten bruke at skalarproduktet mellom vektorane er lik lengda av den eine vektoren multiplisert med lengda av den andre multiplisert med cosinus til den mellomliggande vinkelen
2) rekne ut skalarproduktet ved hjelp av vektorkoordinatane
Rekn ut skalarproduktet på den første måten som er beskriven i boksen over.
Resultat
Den mellomliggande vinkelen til dei to vektorane er
Rekn ut skalarproduktet på den andre måten.
Resultat
Hugs at når vi reknar ut eit skalarprodukt ved hjelp av vektorkoordinatane, tek vi produktet av
Resultatet av desse to måtane å rekne på må vere like. Då får vi formelen nedanfor.
Formel for cosinus til ein differanse mellom to vinklar:
I definisjonen til skalarproduktet er det eit krav at den mellomliggande vinkelen skal vere den vinkelen mellom vektorane som er mindre enn (eller lik) π. Vi skal vise at formelen òg gjeld når
Resultat
Vi flyttar punktet
Når
Vis at
Bevis
Vi har vist at vinklane
gjeld dermed alltid.
Formel for cosinus til ein sum av to vinklar
Med formelen for cosinus til ein differanse av to vinklar kan vi no utleie formelen for cosinus til ein sum av to vinklar.
Finn ein formel for cosinus til summen av vinklane
Resultat
Formlar for sinus til summar og differansar av to vinklar
No kan vi vidare komme fram til formlar for sinus til ein sum av to vinklar og sinus til ein differanse av to vinklar med utgangspunkt i formlane for cosinus til ein sum og til ein differanse.
Finn desse formlane ved å bruke at
Sinus til sum av to vinklar
Sinus til differanse av to vinklar
Sinus, cosinus og tangens til den dobbelte vinkelen
Bruk formlane for sinus og cosinus til ein sum av to vinklar til å finne ein formel for
Resultat
Vi bruker resultata over til å finne eit uttrykk for
Oppsummering
Løysing på oppgåva over
I ei av oppgåvene blir du beden om å finne formlar for