Fagartikkel

Sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar

Kva gjer vi med uttrykk som til dømes sin(u + v)? På denne sida skal vi komme fram til formlar for dette uttrykket og tilsvarande uttrykk.

Uttrykket over er sinus til ein sum av to vinklar. Vi skal sjå at det går an å skrive dette og tilsvarande uttrykk ved hjelp av $\cos u, \cos v, \sin u$ og $\sin v$ .

Formel for cosinus til ein differanse av to vinklar

Ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo er teikna i eit koordinatsystem. Vinkelen v i første kvadrant og vinkelen u i andre kvadrant er teikna. Vektoren O P går frå origo langs det venstre vinkelbeinet til u til skjeringspunktet P med einingssirkelen. Vektoren O Q går frå origo langs det venstre vinkelbeinet til v til skjeringspunktet Q med einingssirkelen. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi byrjar med å finne ein formel for $\cos (u - v)$ . På figuren har vi teikna vinklane $u$ (raudt) og $v$ (blått) i einingssirkelen. På figuren har vi òg markert vinkelen $u - v$ med grønt.

Legg merke til at vi har teikna dei venstre vinkelbeina til $u$ og $v$ som vektorar. Det er fordi vi skal bruke vektorrekning for å komme fram til formelen for $\cos (u - v)$ .

På figuren har punktet $P$ koordinatane $(\cos u, \sin u)$ og $Q$ koordinatane $(\cos v, \sin v)$ .
Skriv opp koordinatane til $\vec{O P}$ og $\vec{O Q}$ når $O$ er origo.

Resultat

Vektorane får koordinatar lik koordinatane til $P$ og $Q$ .

$\vec{O P} = [\cos u, \sin u], \vec{O Q} = [\cos v, \sin v]$

Vi skal komme fram til ein formel for $\cos (u - v)$ ved hjelp av dei to måtane vi kan rekne ut skalarproduktet mellom dei to vektorane på. Kva to måtar er det?

Svar

Vi kan rekne ut skalarproduktet med eller utan bruk av vektorkoordinatane. Vi kan

1) anten bruke at skalarproduktet mellom vektorane er lik lengda av den eine vektoren multiplisert med lengda av den andre multiplisert med cosinus til den mellomliggande vinkelen

2) rekne ut skalarproduktet ved hjelp av vektorkoordinatane

Rekn ut skalarproduktet på den første måten som er beskriven i boksen over.

Resultat

Den mellomliggande vinkelen til dei to vektorane er $u - v$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & |\vec{O P}| \cdot |\vec{O Q}| \cdot \cos (u - v) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos (u - v) \\ = & \cos (u - v) \end{array}$

Rekn ut skalarproduktet på den andre måten.

Resultat

Hugs at når vi reknar ut eit skalarprodukt ved hjelp av vektorkoordinatane, tek vi produktet av $x$ -koordinatane og legg til produktet av $y$ -koordinatane.

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] \\ = & \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v \end{array}$

Resultatet av desse to måtane å rekne på må vere like. Då får vi formelen nedanfor.

Formel for cosinus til ein differanse mellom to vinklar:

$\cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v$

I definisjonen til skalarproduktet er det eit krav at den mellomliggande vinkelen skal vere den vinkelen mellom vektorane som er mindre enn (eller lik) π. Vi skal vise at formelen òg gjeld når $u - v > π$ . Start med å teikne ein tilsvarande figur som den over der dette er oppfylt. Kall den minste vinkelen mellom vektorane for $z$ .

Resultat

Vi flyttar punktet $P$ så langt ut i tredje kvadrant at $u - v > π$ . Då er det vinkelen $z$ på figuren som er den minste vinkelen mellom vektorane, ikkje lenger $u - v$ .

Ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo er teikna i eit koordinatsystem. Vinkelen v i første kvadrant og vinkelen u i tredje kvadrant er teikna. Vektoren O P går frå origo langs det venstre vinkelbeinet til u til skjeringspunktet P med einingssirkelen. Vektoren O Q går frå origo langs det venstre vinkelbeinet til v til skjeringspunktet Q med einingssirkelen. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Når $u - v > π$ som på figuren i boksen over, må skalarproduktet skrivast som $\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & |\vec{O P}| \cdot |\vec{O Q}| \cdot \cos z \end{array}$ .

Vis at $\cos z = \cos (u - v)$ .

Bevis

$\begin{array}{rcl} \cos z & = & \cos (2 π - z) \\ = & \cos (u - v) \end{array}$

Vi har vist at vinklane $z$ og $u - v$ har same cosinusverdi fordi summen av dei er 2π, og formelen

$\cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v$

gjeld dermed alltid.

Formel for cosinus til ein sum av to vinklar

Med formelen for cosinus til ein differanse av to vinklar kan vi no utleie formelen for cosinus til ein sum av to vinklar.

Finn ein formel for cosinus til summen av vinklane $u$ og $v$ ved å ta utgangspunkt i den førre formelen og bruke at

$\begin{array}{rcl} \cos (- v) & = & \cos v \\ \sin (- v) & = & - \sin v \end{array}$

Resultat

$\begin{array}{rcl} \cos (u + v) & = & \cos (u - (- v)) \\ = & \cos u \cdot \cos (- v) + \sin u \cdot \sin (- v) \\ = & \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot (- \sin v) \\ = & \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v \end{array}$

Formlar for sinus til summar og differansar av to vinklar

No kan vi vidare komme fram til formlar for sinus til ein sum av to vinklar og sinus til ein differanse av to vinklar med utgangspunkt i formlane for cosinus til ein sum og til ein differanse.

Finn desse formlane ved å bruke at

$\sin v = \cos (\frac{π}{2} - v)$

Sinus til sum av to vinklar

$\begin{array}{rcl} \sin (u + v) & = & \cos (\frac{π}{2} - (u + v)) \\ = & \cos ((\frac{π}{2} - u) - v) \\ = & \cos (\frac{π}{2} - u) \cdot \cos v + \sin (\frac{π}{2} - u) \cdot \sin v \\ = & \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Sinus til differanse av to vinklar

$\begin{array}{rcl} \sin (u - v) & = & \cos (\frac{π}{2} - (u - v)) \\ = & \cos ((\frac{π}{2} - u) + v) \\ = & \cos (\frac{π}{2} - u) \cdot \cos v - \sin (\frac{π}{2} - u) \cdot \sin v \\ = & \sin u \cdot \cos v - \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Sinus, cosinus og tangens til den dobbelte vinkelen

Bruk formlane for sinus og cosinus til ein sum av to vinklar til å finne ein formel for $\sin 2 v$ , $\cos 2 v$ og $\tan 2 v$ uttrykt ved $\cos v$ , $\sin v$ og $\tan v$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} \sin 2 v & = & \sin (v + v) \\ = & \sin v \cdot \cos v + \sin v \cdot \cos v \\ = & 2 \sin v \cdot \cos v \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos 2 v & = & \cos (v + v) \\ = & \cos v \cdot \cos v - \sin v \cdot \sin v \\ = & \cos^{2} v - \sin^{2} v \end{array}$

Vi bruker resultata over til å finne eit uttrykk for $\tan 2 v$ .

$\begin{array}{rcl} \tan 2 v & = & \frac{\sin 2 v}{\cos 2 v} \\ = & \frac{2 \sin v \cdot \cos v}{\cos^{2} v - \sin^{2} v} \\ = & \frac{\frac{2 \sin v \cdot \cos v}{\cos^{2} v}}{\frac{\cos^{2} v - \sin^{2} v}{\cos^{2} v}} \\ = & \frac{2 \tan v}{1 - \tan^{2} v} \end{array}$

Oppsummering

Løysing på oppgåva over

$\begin{array}{l} \sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v \\ \sin (u - v) = \sin u \cdot \cos v - \cos u \cdot \sin v \\ \cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v \\ \cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v \\ \sin 2 u = 2 \sin u \cdot \cos u \\ \cos 2 u = \cos^{2} u - \sin^{2} u \\ \tan 2 u = \frac{2 \tan v}{1 - \tan^{2} v} \end{array}$

I ei av oppgåvene blir du beden om å finne formlar for $\tan (u + v)$ og $\tan (u - v)$ .

Film om cosinus til ein differanse av vinklar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om cosinus til ein sum av vinklar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0