Fagartikkel

Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar

Vi kan finne mange samanhengar mellom dei trigonometriske funksjonane.

Einingsformelen

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen og har koordinatane a og b. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggande samanhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.

Korleis kan vi uttrykke $a$ og $b$ på figuren ved hjelp av vinkelen $v$ ?

Forklaring

Definisjonane av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifrå figuren gir

$\begin{array}{rcl} a & = & \cos v \\ b & = & \sin v \end{array}$

Lengdene $a$ og $b$ dannar ein rettvinkla trekant saman med det venstre vinkelbeinet til vinkelen $v$ . Kva samanheng kan du lage mellom $\cos v$ og $\sin v$ ut ifrå det?

Tips

Bruk pytagorassetninga.

Resultat

Pytagorassetninga gir

$a^{2} + b^{2} = 1^{2}$
${(\cos v)}^{2} + {(\sin v)}^{2} = 1$

Dette kallar vi einingsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadrata til sinus og cosinus til den same vinkelen $v$ alltid er 1.

Matematikarar har blitt einige om å skrive ${(\cos v)}^{2}$ som $\cos^{2} v$ . Derfor skriv vi vanlegvis einingsformelen som nedanfor.

Einingsformelen:

$\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$

Får vi problem med denne formelen dersom vinkelen $v$ ligg i andre, tredje eller fjerde kvadrant?

Forklaring

I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst éin av dei trigonometriske verdiane $\sin v$ og $\cos v$ vere negativ. Det er ikkje noko problem for einingsformelen sidan verdiane blir kvadrert. Sjå dømet på biletet nedanfor når $v$ er i andre kvadrant.

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er eit punkt på sirkelen og har koordinatane cosv og sinv. Illustrasjon. — Einingssirkelen med vinkel v i andre kvadrant. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Supplementvinklar

Ein sirkel med radius 1 er plassert i eit koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. To punkt på sirkelen er markerte, og det går eit linjestykke mellom origo og til kvart av punkta. Punkta har same y-koordinat. Illustrasjon. — Einingssirkel med to vinklar der u + v = 180°. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Du veit kanskje frå før at supplementvinklar er to vinklar der summen blir 180° (eller π målt i radianar)? Matematisk kan vi skrive at $u$ og $v$ er supplementvinklar dersom

$u + v = 180 °$

Kva samanheng kan vi finne mellom sinusverdiane til vinklane $u$ og $v$ ? Bruk figuren til hjelp.

Resultat

Vi observerer at dei to skjeringspunkta (blått og raudt på figuren) mellom vinkelbeina til $u$ og $v$ og einingssirkelen speglar kvarandre om $y$ -aksen. Det betyr at dei to punkta har same $y$ -koordinat og motsett $x$ -koordinat.

Sidan $y$ -koordinatane svarer til sinus til vinkelen, får vi at

$\sin u = \sin v$

Alternativt kan vi skrive dette som

$\sin (180 ° - v) = \sin v$

Skriv den siste formelen i løysinga over når vi måler vinklane i radianar.

Resultat

$\sin (π - v) = \sin v$

Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinklar".

Resultat

Supplementvinklar har same sinusverdi.

Finn tilsvarande formlar for cosinusverdiane til $u$ og $v$ .

Resultat

Sidan skjeringspunkta med einingssirkelen har motsett $x$ -koordinat, vil vinklane $u$ og $v$ ha motsett cosinusverdi. Matematisk skriv vi dette som

$\cos u = - \cos v$

eller

$\cos (180 ° - v) = - \cos v$

eller

$\cos (π - v) = - \cos v$

I ei av oppgåvene skal du utforske og sjå om formlane gjeld dersom vinkelen $v$ blir større enn 180°.

Komplementvinklar

I ein rettvinkla trekant er katetane a og b, mens hypotenusen er c. Kateten b er motståande katet til vinkel v og hosliggande katet til vinkel u. Illustrasjon. — Komplementvinklane u og v i ein rettvinkla trekant. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Studer den rettvinkla trekanten. Kva er samanhengen mellom vinklane $u$ og $v$ ? Skriv samanhengen både når vinklane blir målte i gradar og i radianar.

Resultat

$u = 90 ° - v$

eller

$u = \frac{π}{2} - v$

Når denne samanhengen gjeld, seier vi at $u$ og $v$ er komplementvinklar. Dei to spisse vinklane i ein rettvinkla trekant vil alltid vere komplementvinklar.

Bruk definisjonen av dei tre trigonometriske funksjonane i ein trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til dei to vinklane $u$ og $v$ ved hjelp av $a, b$ og $c$ . Finn deretter $\cos v, \sin v$ og $\tan v$ uttrykt ved vinkel $u$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} \sin v & = & \frac{b}{c}, \cos v = \frac{a}{c}, \tan v = \frac{b}{a} \\ \sin u & = & \frac{a}{c}, \cos u = \frac{b}{c}, \tan u = \frac{a}{b} \end{array}$

Vi får at

$\begin{array}{rcl} \cos v & = & \sin u \\ \sin v & = & \cos u \\ \tan v & = & \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{\tan u} \end{array}$

Skriv om dei tre siste formlane i løysinga over ved å bruke at $u = 90 ° - v$ , og at $u = \frac{π}{2} - v$ . Skriv òg dei tre formlane med ord.

Resultat

Den første formelen blir

$\cos v = \sin (90 ° - v) = \sin (\frac{π}{2} - v)$

Med ord: Cosinus til ein vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.

Tilsvarande får vi at

$\sin v = \cos (90 ° - v) = \cos (\frac{π}{2} - v)$

Med ord: Sinus til ein vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.

$\tan v = \frac{1}{\tan (90 ° - v)} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2} - v)}$

Med ord: Tangens til ein vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.

Merk: Her har vi berre vist at setningane gjeld for vinklar mellom 0° og 90°, men det er mogleg å vise at setninga gjeld for alle vinklar $v$ .

Vis at $\tan (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array}) = - \tan v$ .

Bevis

$\tan (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array}) = \frac{\sin (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array})}{\cos (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array})} = \frac{\sin v}{- \cos v} = - \tan v$

Andre samanhengar

Vi kan bruke einingssirkelen til å finne fleire samanhengar tilsvarande dei som gjeld for komplement- og supplementvinklar.

Bruk figuren nedanfor til å finne formlar for sinus, cosinus og tangens til vinklane $v + 180 °$ og $- v$ uttrykt ved $\sin v, \cos v$ eller $\tan v$ .

To sirklar med radius 1. På den første er det markert ein vinkel i tredje kvadrant og vinkelen v i første kvadrant slik at vinkelen v er ei halv omdreiing mindre enn den første vinkelen. På den andre figuren er vinkelen v i første kvadrant og vinkelen minus v i fjerde kvadrant markerte. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Resultat for v + 180°

I den venstre einingssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligg i tredje kvadrant, er 180 gradar større enn vinkel $v$ . Frå figuren får vi at desse to vinklane har sinus- og cosinusverdiar med motsett forteikn av kvarandre. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \sin (v + 180 °) & = & - \sin v \\ \cos (v + 180 °) & = & - \cos v \end{array}$

Vi får vidare at

$\tan (v + 180 °) = \frac{\sin (v + 180 °)}{\cos (v + 180 °)} = \frac{- \sin v}{- \cos v} = \tan v$

Resultat for –v

I den høgre einingssirkelen over er vinklane $v$ og $- v$ markerte. Figuren gir at vinklane har same cosinusverdi, mens sinusverdiane har motsett forteikn. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \sin (- v) & = & - \sin v \\ \cos (- v) & = & \cos v \\ \tan (- v) & = & \frac{\sin (- v)}{\cos (- v)} = \frac{- \sin v}{\cos v} = \tan v \end{array}$

Oversikt over nokre grunnleggande trigonometriske formlar

Nedanfor kan du lage ei oversikt over grunnleggande trigonometriske formlar. Nokre av dei er ikkje presentert på denne sida.

Fasit til oppgåva over

Grunnleggande trigonometriske formlar:

$\sin v = \cos (\frac{π}{2} - v)$ , $\cos v = \sin (\frac{π}{2} - v)$

$\tan v = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2} - v)}$ , $\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$

$- \cos v = \cos (π - v)$ , $\sin v = \sin (π - v)$ , $- \tan v = \tan (π - v)$

$- \cos v = \cos (π + v)$ , $- \sin v = \sin (π + v)$ , $\tan v = \tan (π + v)$

$\cos v = \cos (- v)$ , $- \sin v = \sin (- v)$ , $- \tan v = \tan (- v)$

Samanhengar mellom omvende trigonometriske funksjonar

I oppgåvene kjem vi nærare inn på nokre samanhengar mellom dei omvende trigonometriske funksjonane. Nedanfor har vi skrive opp nokre av dei.

$\arccos x + \arcsin x = \frac{π}{2}$

$\arcsin (- x) = - \arcsin x$

$\arccos (- x) = π - \arccos x$

$\arctan (- x) = - \arctan x$

Film om einingsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om komplement- og supplementvinklar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0