Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar
Einingsformelen
Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggande samanhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.
Korleis kan vi uttrykke og
Forklaring
Definisjonane av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifrå figuren gir
Lengdene
Tips
Bruk pytagorassetninga.
Resultat
Pytagorassetninga gir
Dette kallar vi einingsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadrata til sinus og cosinus til den same vinkelen
Matematikarar har blitt einige om å skrive
Einingsformelen:
Får vi problem med denne formelen dersom vinkelen
Forklaring
I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst éin av dei trigonometriske verdiane
Supplementvinklar
Du veit kanskje frå før at supplementvinklar er to vinklar der summen blir 180° (eller π målt i radianar)? Matematisk kan vi skrive at
Kva samanheng kan vi finne mellom sinusverdiane til vinklane
Resultat
Vi observerer at dei to skjeringspunkta (blått og raudt på figuren) mellom vinkelbeina til
Sidan
Alternativt kan vi skrive dette som
Skriv den siste formelen i løysinga over når vi måler vinklane i radianar.
Resultat
Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinklar".
Resultat
Supplementvinklar har same sinusverdi.
Finn tilsvarande formlar for cosinusverdiane til
Resultat
Sidan skjeringspunkta med einingssirkelen har motsett
eller
eller
I ei av oppgåvene skal du utforske og sjå om formlane gjeld dersom vinkelen
Komplementvinklar
Studer den rettvinkla trekanten. Kva er samanhengen mellom vinklane
Resultat
eller
Når denne samanhengen gjeld, seier vi at
Bruk definisjonen av dei tre trigonometriske funksjonane i ein trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til dei to vinklane
Resultat
Vi får at
Skriv om dei tre siste formlane i løysinga over ved å bruke at
Resultat
Den første formelen blir
Med ord: Cosinus til ein vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.
Tilsvarande får vi at
Med ord: Sinus til ein vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.
Med ord: Tangens til ein vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.
Merk: Her har vi berre vist at setningane gjeld for vinklar mellom 0° og 90°, men det er mogleg å vise at setninga gjeld for alle vinklar
Vis at
Bevis
Andre samanhengar
Vi kan bruke einingssirkelen til å finne fleire samanhengar tilsvarande dei som gjeld for komplement- og supplementvinklar.
Bruk figuren nedanfor til å finne formlar for sinus, cosinus og tangens til vinklane
Resultat for v + 180°
I den venstre einingssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligg i tredje kvadrant, er 180 gradar større enn vinkel
Vi får vidare at
Resultat for –v
I den høgre einingssirkelen over er vinklane
Oversikt over nokre grunnleggande trigonometriske formlar
Nedanfor kan du lage ei oversikt over grunnleggande trigonometriske formlar. Nokre av dei er ikkje presentert på denne sida.
Fasit til oppgåva over
Grunnleggande trigonometriske formlar:
Samanhengar mellom omvende trigonometriske funksjonar
I oppgåvene kjem vi nærare inn på nokre samanhengar mellom dei omvende trigonometriske funksjonane. Nedanfor har vi skrive opp nokre av dei.