Vi kan finne mange samanhengar mellom dei trigonometriske funksjonane.
Einingsformelen
Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggande samanhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.
Korleis kan vi uttrykke og på figuren ved hjelp av vinkelen ?
Forklaring
Definisjonane av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifrå figuren gir
Lengdene og dannar ein rettvinkla trekant saman med det venstre vinkelbeinet til vinkelen . Kva samanheng kan du lage mellom og ut ifrå det?
Tips
Bruk pytagorassetninga.
Resultat
Pytagorassetninga gir
Dette kallar vi einingsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadrata til sinus og cosinus til den same vinkelen alltid er 1.
Matematikarar har blitt einige om å skrive som . Derfor skriv vi vanlegvis einingsformelen som nedanfor.
Einingsformelen:
Får vi problem med denne formelen dersom vinkelen ligg i andre, tredje eller fjerde kvadrant?
Forklaring
I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst éin av dei trigonometriske verdiane og vere negativ. Det er ikkje noko problem for einingsformelen sidan verdiane blir kvadrert. Sjå dømet på biletet nedanfor når er i andre kvadrant.
Einingssirkelen med vinkel v i andre kvadrant.
Supplementvinklar
Einingssirkel med to vinklar der u + v = 180°.
Du veit kanskje frå før at supplementvinklar er to vinklar der summen blir 180° (eller π målt i radianar)? Matematisk kan vi skrive at og er supplementvinklar dersom
Kva samanheng kan vi finne mellom sinusverdiane til vinklane og ? Bruk figuren til hjelp.
Resultat
Vi observerer at dei to skjeringspunkta (blått og raudt på figuren) mellom vinkelbeina til og og einingssirkelen speglar kvarandre om -aksen. Det betyr at dei to punkta har same -koordinat og motsett -koordinat.
Sidan -koordinatane svarer til sinus til vinkelen, får vi at
Alternativt kan vi skrive dette som
Skriv den siste formelen i løysinga over når vi måler vinklane i radianar.
Resultat
Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinklar".
Resultat
Supplementvinklar har same sinusverdi.
Finn tilsvarande formlar for cosinusverdiane til og .
Resultat
Sidan skjeringspunkta med einingssirkelen har motsett -koordinat, vil vinklane og ha motsett cosinusverdi. Matematisk skriv vi dette som
eller
eller
I ei av oppgåvene skal du utforske og sjå om formlane gjeld dersom vinkelen blir større enn 180°.
Komplementvinklar
Komplementvinklane u og v i ein rettvinkla trekant.
Studer den rettvinkla trekanten. Kva er samanhengen mellom vinklane og ? Skriv samanhengen både når vinklane blir målte i gradar og i radianar.
Resultat
eller
Når denne samanhengen gjeld, seier vi at og er komplementvinklar. Dei to spisse vinklane i ein rettvinkla trekant vil alltid vere komplementvinklar.
Bruk definisjonen av dei tre trigonometriske funksjonane i ein trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til dei to vinklane og ved hjelp av og . Finn deretter og uttrykt ved vinkel .
Resultat
Vi får at
Skriv om dei tre siste formlane i løysinga over ved å bruke at , og at . Skriv òg dei tre formlane med ord.
Resultat
Den første formelen blir
Med ord: Cosinus til ein vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.
Tilsvarande får vi at
Med ord: Sinus til ein vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.
Med ord: Tangens til ein vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.
Merk: Her har vi berre vist at setningane gjeld for vinklar mellom 0° og 90°, men det er mogleg å vise at setninga gjeld for alle vinklar .
Vis at .
Bevis
Andre samanhengar
Vi kan bruke einingssirkelen til å finne fleire samanhengar tilsvarande dei som gjeld for komplement- og supplementvinklar.
Bruk figuren nedanfor til å finne formlar for sinus, cosinus og tangens til vinklane og uttrykt ved eller .
Resultat for v + 180°
I den venstre einingssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligg i tredje kvadrant, er 180 gradar større enn vinkel . Frå figuren får vi at desse to vinklane har sinus- og cosinusverdiar med motsett forteikn av kvarandre. Det betyr at
Vi får vidare at
Resultat for –v
I den høgre einingssirkelen over er vinklane og markerte. Figuren gir at vinklane har same cosinusverdi, mens sinusverdiane har motsett forteikn. Det betyr at
Oversikt over nokre grunnleggande trigonometriske formlar
Nedanfor kan du lage ei oversikt over grunnleggande trigonometriske formlar. Nokre av dei er ikkje presentert på denne sida.
Fasit til oppgåva over
Grunnleggande trigonometriske formlar:
,
,
, ,
, ,
, ,
Samanhengar mellom omvende trigonometriske funksjonar
I oppgåvene kjem vi nærare inn på nokre samanhengar mellom dei omvende trigonometriske funksjonane. Nedanfor har vi skrive opp nokre av dei.
