Samanslåing av trigonometriske funksjonar

Vi ønsker å løyse likninga

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Forklar kvifor vi ikkje kan løyes denne likninga ved å dele på $$ \cos x$$ i alle ledda.

Vi treng ein ny løysingsmetode for denne likninga.

Utforsking av venstre side av likninga

Vi skal utforske venstresida av likninga. Teikn grafen til uttrykket på venstre side. Kva får du, og kva betyr det?

Resultat

Vi set $$ f\left(x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$ og teiknar grafen med GeoGebra.

Vi får at grafen er ei sinuskurve. Det betyr at det må vere mogleg å skrive venstresida av likninga som éin sinusfunksjon. Dersom vi klarer det, endar vi opp med ei enkel likning med berre sinusfunksjonen.

Korleis kan vi finne uttrykket for sinusfunksjonen som er teikna i boksen over, ut ifrå grafen?

Finn uttrykket for $$ f\left(x\right)$$ med metoden som er beskriven over.

Løysing

Utgangspunktet er den generelle sinusfunksjonen

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

Vi får av grafen at

• amplituden er 2, som gir $$ A=2$$

• likevektslinja er $$ y=0$$, som gir $$ d=0$$

• perioden $$ p$$ er $$ 2\pi $$, som gir
  $$ p=\frac{2\pi }{k}\iff k=\frac{2\pi }{p}=\frac{2\pi }{2\pi }=1$$

• faseforskyvinga $$ x_f$$ er $$ -\frac{\pi }{3}$$, som gir $$ 𝜑=-x_f·k=-\left(-\frac{\pi }{3}\right)·1=\frac{\pi }{3}$$

Funksjonsuttrykket blir

$$ f\left(x\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

Resultatet må bety at

$$ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$

Ei slik omforming blir òg kalla sinusomforming.

Vis at samanhengen over er ein identitet.

Løysing av likninga

No kan vi løyse den opphavlege likninga.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x+\sqrt{3}\cos x & =& 1\\ 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& \frac{1}{2}\\ x+\frac{\pi }{3} & =& \frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee x+\frac{\pi }{3} = \pi -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \\ x & =& -\frac{\pi }{6}+k·2\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k·2\pi ,\end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. På løysingsmengdeform får vi

$$ L=\{-\frac{\pi }{6}+k·2\pi , \frac{\pi }{2}+k·2\pi \}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Vi får den same løysinga med CAS i GeoGebra.

Korleis kan vi forme om ein sum av ein sinusfunksjon og ein cosinusfunksjon til éin sinusfunksjon utan å teikne grafen slik vi gjorde over?

Vi ser igjen på den generelle sinusfunksjonen $$ A\sin \left(kx+\phi \right)$$ med $$ d=0$$, og vi bruker formelen for sinus til ein sum av vinklar.

$\begin{array}{rcl}A\sin \left(kx+\phi \right)& = & A\left(\sin kx·\cos \phi +\cos kx·\sin \phi \right)\\ & & \\ & =& \underset{a}{\underbrace{A\cos \phi }}·\sin kx+\underset{b}{\underbrace{A\sin \phi }}·\cos kx\\ & & \\ & =& a\sin kx+b\cos kx\end{array}$

Vi får derfor at vi kan forme om ein sum av ein cosinusfunksjon og ein sinusfunksjon med same $$ k$$ dersom

$A\cos \phi =a$, og $A\sin \phi =b$

Kor mange ukjende storleikar er det i desse to likningane?

Dette likningssettet er ikkje det enklaste å løyse for hand med vanlege metodar som innsetjingsmetoden. Vi finn enklast løysinga ved først å utnytte at $$ {\cos }^2𝜑+{\sin }^2𝜑=1$$:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{a^2+b^2} & =& \sqrt{{\left(A\cos \phi \right)}^2+\left(A\sin \phi \right){}^2}\\ & =& \sqrt{A^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}\\ & =& \sqrt{A^2·1}\\ & =& A\end{array}$$

Då har vi funne $$ A$$. Vi finn $$ 𝜑$$ ved å setje opp uttrykket $$ \frac{b}{a}$$.

$$ \frac{b}{a}=\frac{A\sin 𝜑}{A\cos 𝜑}=\tan 𝜑$$

Ei tangenslikning har mange løysingar. Vi kan halde oss til første omløp, for vi treng berre éi løysing. Likninga har to løysningar i første omløp, men berre éi av dei kan brukast. Forklaringa på det er:

• Vi har at $$ A>0$$ sidan han blir rekna ut frå eit rotuttrykk.

• Sidan $$ a=A\cos 𝜑$$, må derfor $$ \cos 𝜑$$ ha det same forteiknet som $$ a$$.

• Sidan $$ b=A\sin 𝜑$$, må $$ \sin 𝜑$$ òg ha det same forteiknet som $$ b$$.

I kva kvadrant i koordinatsystemet hamnar punktet $$ \left(a,b\right)$$ dersom $$ a<0$$ og $$ b>0$$?

Figuren viser eit døme der punktet $$ \left(a,b\right)$$ blir liggande i andre kvadrant. Det betyr, som vi skreiv over, at $$ a<0$$ og $$ b>0$$. Sidan $$ \cos 𝜑$$ skal ha det same forteiknet som $$ a$$ og $$ \sin 𝜑$$ det same forteiknet som $$ b$$, må vinkelen $$ 𝜑$$ òg ligge i andre kvadrant.

Konklusjonen må bli at vi må velje den vinkelen $$ 𝜑$$ som ligg i same kvadrant som punktet $$ \left(a,b\right)$$. Tilsvarande blir det om punktet $$ \left(a,b\right)$$ ligg i nokon av dei andre kvadrantane.

Tangensfunksjonen eksisterer ikkje for alle vinklar. Kvifor skaper ikkje det problem for oss?

Vi prøver løysingsteknikken på likninga vi studerte øvst på sida. Du bør prøve å løyse likninga på eiga hand før du går vidare.

Likninga vi skal løyse, er

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Vi må slå saman dei to ledda på venstre side. Her har vi at $$ a=1$$ og $$ b=\sqrt{3}$$. Då får vi at

$$ A=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}=2$$

og

$$ \tan 𝜑=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

Kva kvadrant skal vinkelen $$ 𝜑$$ ligge i?

Vi kjenner igjen $$ \sqrt{3}$$ som ein av de eksakte trigonometriske verdiane, og vi får at

$$ 𝜑=\frac{\pi }{3}$$

Då kan vi forme om likninga til ei enkel trigonometrisk likning.

$$ \begin{array}{rcl}\sin x+\sqrt{3}\cos x & =& 1\\ 2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right) & =& 1\end{array}$$

Dette er det same som vi kom fram til grafisk lenger oppe på sida. Resten av framgangsmåten er som ved den grafiske løysinga. Vi får at

$$ L=\{-\frac{\pi }{6}+k·2\pi , \frac{\pi }{2}+k·2\pi \}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Eit lite spørsmål til slutt: Kvifor kan vi ikkje bruke metoden på denne sida til å slå saman $$ \sin 2x+\sqrt{3}\cos x$$ til ein rein sinusfunksjon?

Nedanfor har vi laga eit interaktivt GeoGebra-ark der du kan dra i glidarane $$ k_1$$ og $$ k_2$$ og regulere verdien for $$ k$$ i dei to funksjonane $$ f$$ og $$ g$$, som er ein sinus- og ein cosinusfunksjon. Grafen til $$ f$$ er teikna med blått, og grafen til $$ g$$ er teikna med grønt. Summen av funksjonane er funksjonen $$ h$$ som er teikna med raudt.

Start med å setje $$ k_1=k_2=1$$. Korleis ser grafen til $$ h$$ ut?

Set deretter $$ k_1=2$$. Korleis ser grafen til $$ h$$ ut?

Prøv med ulike verdiar for $$ k_1$$ og $$ k_2$$. Korleis må dei to parametrane vere for at den raude grafen til summen $$ h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$$ skal bli ei rein sinuskurve? Stemmer påstanden i forklaringsboksen over?

Samanslåing av trigonometriske funksjonar med GeoGebra

GeoGebra kan slå saman trigonometriske funksjonar for oss med kommandoen TrigKombiner().

Vi får det same som vi kom fram til ved rekning for hand over. Det er to argument til kommandoen. Det første argumentet er det uttrykket som skal slåast saman. Det andre argumentet er kva funksjon det skal leggast vekt på under samanslåinga. Prøv kommandoen TrigKombiner(sin(x)+sqrt(3)·cos(x),cos(x)) og sjå kva du får!

Du kan òg bruke GeoGebra til å gå motsett veg med kommandoen TrigUtvid().

Samanfatning av metodar vi kan bruke ved løysing av samansette trigonometriske likningar

Kan du skrive opp tre framgangsmåtar som kan brukast til å løyse samansette trigonometriske likningar?