Løysing av enkle trigonometriske likningar

Dersom du har vore gjennom oppgåve 2.1.31 på sida "Eksakte trigonometriske verdiar", har du allereie løyst trigonometriske likningar. I oppgåva blir du beden om å finne kva vinkel i første kvadrant som har sinusverdi lik $$ \frac{1}{2}\sqrt{3}$$.

Korleis kan du setje opp denne oppgåva som ei likning?

Kva blir løysinga av likninga?

Kva løysingar har likninga i første omløp? Bruk figuren til hjelp.

Kva blir løysinga dersom $$ v\in \mathrm{ℝ}$$?

Svar

Likninga har då uendeleg mange løysingar: to vinklar i kvart omløp, der vinklane er samanfallande med vinklane i første omløp. Til dømes vil vinkelen $$ \frac{7\pi }{3} \left(=420°\right)$$ i andre omløp falle saman med vinkelen$$ \frac{\pi }{3}$$ og vere ei løysing, sjå figuren nedanfor.

Vi skriv løysinga ved hjelp av dei to løysingane vi har i første omløp og det heile talet $$ k$$ på same måte som vi skriv opp ekstremal- og nullpunkta til sinusfunksjonen på sida "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen". Vi får

$$ v=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee v=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$ (mengda av dei heile tala). Alternativt kan vi skrive løysinga som

$$ L=\left\{\frac{\pi }{3}+k·2\pi , \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \right\}$$

Vi ser at det er viktig å sjå på i kva område vi skal leite etter løysingar av trigonometriske likningar. Likninga $$ \sin v=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ har i utgangspunktet uendeleg mange løysingar, to for kvart omløp, sidan sinusfunksjonen er periodisk. Dersom det ikkje er gitt noko løysingsområde for $$ v$$, må vi gå ut ifrå at løysingsområdet er alle reelle tal, $$ v\in \mathrm{ℝ}$$.

Løysing med CAS i GeoGebra

Prøv å løyse likninga $$ \sin x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ med CAS i GeoGebra. Kva får du?

Resultat

Her har vi brukt $$ x$$ som variabel. Vi ser at GeoGebra automatisk går ut frå at $$ x\in \mathrm{ℝ}$$ når vi ikkje spesifiserer noko område for $$ x$$.

Vi kan i GeoGebra skrive det aktuelle løysingsområdet for $$ x$$ med ein ulikskap skild frå likninga med eit komma. På biletet har vi gitt at $$ x$$ skal vere i første omløp.

Kva skriv vi dersom vi berre vil ha løysingar i andre omløp?

Svar

Kva skriv vi dersom vi vil ha løysingar i første omløp i gradar i staden for radianar?

Svar

Vi må setje eit gradsymbol etter $$ x$$ i likninga, og vi må hugse å gi løysingsområdet i gradar.

Hugs at gradsymbolet betyr at $$ x$$ blir rekna om til radianar ved å multiplisere med brøken $$ \frac{\pi }{180}$$. Sjå oppgåve 2.1.34 på oppgåvesida "Radianar – absolutte vinkelmål".

Kva med cosinus og tangens?

Korleis trur du framgangsmåten blir dersom du skal løyse likninga$$ \cos x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$ samanlikna med korleis du løyser likninga $$ \sin x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$?

Når vinkelen er $$ \mathbf{2}\mathit{x}$$

Vi skal løyse likninga

$$ \sin 2x=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Vi løyser likninga ved å setje $$ u=2x$$. Då får vi

$$ \sin u=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Løysinga på denne har vi lenger opp på sida. Vi får

$$ u=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee u=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. No kan vi erstatte $$ u$$ med $$ 2x$$. Resultatet blir

$$ 2x=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

Merk at dette resultatet kan vi setje opp direkte utan å gå vegen om $$ u$$. Det er argumentet til sinusfunksjonen (her: $$ 2x$$) som blir ståande på venstresida i uttrykka for løysinga.

Kva manglar no for at vi skal kunne skrive opp løysinga, og kva må vi gjere?

Vi ser på den første løysinga og deler på $$ 2$$ i begge ledda på høgre side.

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+k·\pi \end{array}$$

Ikkje gløym å dele leddet $$ k·2\pi $$ på $$ 2$$. Vi får tilsvarande i den andre løysinga:

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{3}+k·\pi \end{array}$$

Løysingsmengda blir derfor

$$ L=\left\{\frac{\pi }{6}+k·\pi , \frac{\pi }{3}+k·\pi \right\}$$

Vi får den same løysinga med CAS i GeoGebra:

Vi går no ut frå at vi skal løyse likninga med vilkåret $$ x\in [0,2\pi \rangle $$. Forklar kvifor det blir fleire enn to løysingar.

Den første løysinga gir

• $$ x=\frac{\pi }{6}$$ når $$ k=0$$

• $$ x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$$ når $$ k=1$$

Den andre løysinga gir

• $$ x=\frac{\pi }{3}$$ når $$ k=0$$

• $$ x=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$$ når $$ k=1$$

Løysingsmengda blir

$$ L=\left\{\frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{3}, \frac{7\pi }{6}, \frac{4\pi }{3}\right\}$$

Når vinkelen er $$ \mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}$$

Vi skal løyse likninga

$$ \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Sidan argumentet til sinusfunksjonen er $$ 2x-\frac{\pi }{3}$$, får vi

$$ 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k·2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k·2\pi $$

Kva må vi gjere her for å ende opp med berre $$ x$$ på venstre side av løysingane?

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi -\frac{\pi }{3}\\ & =& k·2\pi \\ x & =& k·\pi \end{array}$$

der $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$ og

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \frac{2\pi }{3}+k·2\pi -\frac{\pi }{3}\\ & =& \frac{\pi }{3}+k·2\pi \\ x & =& \frac{\pi }{6}+k·\pi \end{array}$$

og løysingsmengda blir

$$ L=\left\{k·\pi , \frac{\pi }{6}+k·\pi \right\}$$

Dersom området for $$ x$$ er avgrensa, testar vi på vanleg måte kva $$ k$$-verdiar som gir løysingar innanfor området.