Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen. Periodiske funksjonar

Legg inn talet 0 i celle A1. I celle A2 skriv du =A1+0.4 og kopierer denne nedover til du har fått 6,4.

I celle B1 skriv du =sin(A1) og kopierer det nedover i kolonne B. (Hugs at GeoGebra krev parentes rundt argumentet til trigonometriske funksjonar.)

Marker alle tala, høgreklikk og vel "Lag liste med punkt".

Vi får at punkta ligg i eit bølgemønster. (I reknearkdelen på biletet har vi laga overskrifter ved å skrive "x" og "f(x)=sin x" i cellene A1 og B1. Vi har òg fjerna namna på alle punkta i grafikkfeltet.)

Nedanfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

6,4 er litt meir enn 2π. Vi har altså brukt $$ x$$-verdiar som dekker første omløp.

Det er grunn til å tru at sidan sinusverdiane gjentek seg for kvart omløp, må grafen til sinusfunksjonen òg gjenta seg.

Grafen til $$ f$$, som vi berre kallar sinusfunksjonen, passar med punkta, og mønsteret gjentek seg – som vi kunne vente. Vi får eit bølgemønster. Ein slik graf kallar vi òg ei sinuskurve. Vi seier òg at sinusfunksjonen er periodisk fordi mønsteret i grafen gjentek seg.

Resultatet er at vi får skalainndeling på $$ x$$-aksen med brøken $$ \frac{\pi }{4}$$.

Vi kan til dømes måle avstanden mellom to nabotoppunkt på grafen for å finne perioden.

Perioden er

$$ \frac{5\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{2}=2\pi $$

Dette var kanskje ikkje noka overrasking?

Du kan òg bruke nullpunkta til å finne perioden, men då kan du ikkje måle avstanden mellom to nabonullpunkt. (Kvifor kan du ikkje det?)

Med ei skalainndeling på $$ \frac{\pi }{4}$$ langs $$ x$$-aksen er det lettare å lese av koordinatane til toppunkta enn når skalaen er til dømes 1. På biletet her kan vi lese av toppunkta $$ \left(\frac{\pi }{2},1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{2},1\right)$$. Men sidan funksjonen er periodisk, har han uendeleg mange toppunkt. Avstanden mellom to nabotoppunkt er 2π. Derfor skriv vi $$ x$$-koordinatane til toppunkta til $$ f$$ ved hjelp av det heile talet $$ k$$ slik:

$$ \frac{\pi }{2}+k·2\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Du hugsar kanskje at $$ \mathrm{\mathbb{Z}}$$ er mengda med alle heile tal?

$$ \mathrm{\mathbb{Z}}=\{... ,-2,-1,0,1,2,3, ...\}$$

Vi testar formelen over.

$$ \begin{array}{rcl}k & =& 0: \frac{\pi }{2}+0·2\pi =\frac{\pi }{2}\\ k & =& 1: \frac{\pi }{2}+1·2\pi =\frac{\pi }{2}+\frac{4\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}\\ k & =& 2: \frac{\pi }{2}+2·2\pi =\frac{\pi }{2}+\frac{8\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}\end{array}$$

Formelen stemmer.

Toppunkta til $$ f$$ er

$$ \left($ \frac{\pi }{2}+k·2\pi , 1$\right)$$,  $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Nedanfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.

Funksjonen vil òg ha uendeleg mange botnpunkt og nullpunkt. Avstanden mellom to nabobotnpunkt er 2π som for toppunkta. Vi bruker botnpunktet $$ \left(\frac{3\pi }{3},-1\right)$$ i første omløp som utgangspunkt, og vi får at botnpunkta til $$ f$$ er

$$ \left(\frac{3\pi }{2}+k·2\pi ,-1\right), k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Avstanden mellom to nabonullpunkt er π. Sidan eitt av nullpunkta ligg i origo, kan vi skrive nullpunkta som

$$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$

Grafen til cosinusfunksjonen liknar veldig på grafen til sinusfunksjonen ...

Grafen til $$ \cos x$$ har toppunkt for $$ x=0$$.
Grafen til $$ \sin x$$ har toppunkt for $$ x=\frac{\pi }{2}$$.

Det betyr at grafen til $$ \sin x$$ er forskyvd $$ \frac{\pi }{2}$$ til høgre i forhold til grafen til $$ \cos x$$.

Vi kan ta utgangspunkt i at $$ \cos 0=\sin \frac{\pi }{2} (=1)$$. Vi ønsker at eit uttrykk med cosinus skal gi $$ 1$$ som svar når $$ x=\frac{\pi }{2}$$. Då må argumentet til cosinusfunksjonen gå frå $$ \frac{\pi }{2}$$ til $$ 0$$, som betyr at det må trekkast frå $$ \frac{\pi }{2}$$ i argumentet. Det betyr at

$$ \sin x=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$$

og

$$ a=-\frac{\pi }{2}$$