Hopp til innhald
Oppgåve

Omvende trigonometriske funksjonar

Øv på å rekne med dei omvende trigonometriske funksjonane her.

2.2.30

Finn svara i radianar utan å bruke hjelpemiddel.

a) arcsin12

Løysing

Vi må finne vinkelen x som oppfyller sinx=12 innanfor verdimengda til arcsinx som er -π2,π2. 12 er ein av dei eksakte trigonometriske verdiane til sinusfunksjonen, og vi får

arcsin12=π6

b) arcsin-123

Løysing

arcsin-123=-π3

c) arccos12

Løysing

arccos12=π3

d) arccos-123

Løysing

arccos-123=5π6

e) arctan3

Løysing

arctan3=π3

f) arctan-133

Løysing

arctan-133=-π6

2.2.31

Vi skal utforske den omvende funksjonen til fx=cosx, nemleg

f-1x=arccosx

a) Kva krav må vi stille til f for at funksjonen skal ha ein omvend funksjon?

Løysing

Funksjonen f må vere éin-eintydig dersom han skal kunne ha ein omvend funksjon.

b) I oversiktstabellen på teorisida står det at verdimengda til f-1x=arccosx er bestemd å vere 0,π. Forklar kvifor f har ein omvend funksjon med denne bestemminga.

Løysing

Med den bestemde verdimengda til f-1 får vi at

Df=Vf-1=0,π

Funksjonen fx=cosx er søkkande i heile dette området frå f0=cos0=1 til fπ=cosπ=-1, sjå figuren nedanfor.

Då er f éin-eintydig og har dermed ein omvend funksjon.

c) Teikn grafen til f og f-1 i det same koordinatsystemet.

Løysing

d) Finn den deriverte til funksjonen

gx=arccosx

på tilsvarande måte som vi fann den deriverte til den omvende sinusfunksjonen på teorisida.

Tips til oppgåva

Start med at cosarccosx=x, og set v=arccosx

Løysing

cosarccosx = x     |v=arccosxcosv = x cosv' = x'-sinv·v' = 1arccosx' = v'= - 1sinv

Vi skiftar ut sinv med cosv ved hjelp av einingsformelen.

cos2v+sin2v = 1sinv = ±1-cos2v

Sidan v0,π er sinv>0 når 0<v<π, og vi treng ikkje den negative løysinga av likninga over. Vi får

g'x = v'= -11-cos2v= -11-x2

2.2.32

Vi skal utforske den omvende funksjonen til fx=tanx, nemleg

f-1x=arctanx

a) I oversiktstabellen på teorisida står det at verdimengda til f-1x=arctanx er bestemd å vere -π2,π2. Forklar kvifor f har ein omvend funksjon med denne bestemminga.

Løysing

Med den bestemde verdimengda til f-1 får vi at

Df=Vf-1=-π2,π2

Nedanfor har vi teikna grafen til f i eit noko større område.

Området -π2,π2 utgjer den midtarste delen av grafen. I heile dette området er grafen stigande. Då er f éin-eintydig og har dermed ein omvend funksjon dersom dette området blir brukt som definisjonsmengde for tangensfunksjonen.

b) Teikn grafen til f og f-1 i det same koordinatsystemet.

Løysing

c) Finn den deriverte til funksjonen

gx=arctanx

på tilsvarande måte som vi fann den deriverte til den omvende cosinusfunksjonen.

Løysing

Vi byrjar med

tanarctanx = x      | v=arctanxtanv = xtanv' = x'

Frå teorisida "Den deriverte til sinusfunksjonen" har vi at den deriverte til tangensfunksjonen er

1cos2v

Vi må skrive om denne til noko med tanv. Då kan vi setje inn x slik vi har gjort når vi skulle finne den deriverte til arcsinx og til arccosx. Det gjer vi ved hjelp av einingsformelen.

1cos2v = cos2v+sin2vcos2v= cos2vcos2v+sin2vcos2v= 1+tan2v

Dette gir

tanv' = x'1+tan2v·v' = 1g'x = v'= 11+tan2v= 11+x2

2.2.33

Deriver funksjonane.

a) fx=2arcsinx2

Løysing

f'x = 2·11-x22·12= 1144-x2= 1124-x2= 24-x2

b) fx=4arctan22x

Løysing

f'x = 4·2arctan2x·11+2x2·2= 16arctan2x1+4x2

Her har vi brukt kjerneregelen to gonger.

c) fx=2arcsinx22

Løysing

f'x = 211-x222·12·2x= 2x1-x44= 2x124-x4= 4x4-x4

d) fx=2x·arccosx-π4

Løysing

Her må vi bruke produktregelen for derivasjon.

f'x = 2x·-111-x-π42+2·arccosx-π4= 2arccosx-π4-2x1-x-π42

2.2.34

Kva er feil her?

Finn x.

cosx = -12x = arccos-12= 4π3

Løysing

Her er det to feil:

  1. Sidan cosinusfunksjonen er periodisk, vil det vere mange vinklar som har cosinusverdi lik -12, ikkje berre 4π3. Dette lærer du meir om på teorisida "Løysing av enkle trigonometriske likningar".

  2. arccos-124π3. Det er riktig at cos4π3=-12, men verdimengda til arccosx er 0,π. Vinkelen i dette området som har cosinusverdi lik -12, er 2π3, så arccos-12=2π3.