Øv på å rekne med dei omvende trigonometriske funksjonane her.
2.2.30
Finn svara i radianar utan å bruke hjelpemiddel.
a)
Løysing
Vi må finne vinkelen xsom oppfyller sinx=12 innanfor verdimengda til arcsinx som er -π2,π2. 12 er ein av dei eksakte trigonometriske verdiane til sinusfunksjonen, og vi får
arcsin12=π6
b) arcsin-123
Løysing
arcsin-123=-π3
c) arccos12
Løysing
arccos12=π3
d) arccos-123
Løysing
arccos-123=5π6
e) arctan3
Løysing
arctan3=π3
f) arctan-133
Løysing
arctan-133=-π6
2.2.31
Vi skal utforske den omvende funksjonen til fx=cosx, nemleg
f-1x=arccosx
a) Kva krav må vi stille til f for at funksjonen skal ha ein omvend funksjon?
Løysing
Funksjonen f må vere éin-eintydig dersom han skal kunne ha ein omvend funksjon.
b) I oversiktstabellen på teorisida står det at verdimengda til f-1x=arccosx er bestemd å vere 0,π. Forklar kvifor f har ein omvend funksjon med denne bestemminga.
Løysing
Med den bestemde verdimengda til f-1 får vi at
Df=Vf-1=0,π
Funksjonen fx=cosx er søkkande i heile dette området frå f0=cos0=1 til fπ=cosπ=-1, sjå figuren nedanfor.
Då er f éin-eintydig og har dermed ein omvend funksjon.
c) Teikn grafen til f og f-1 i det same koordinatsystemet.
Løysing
d) Finn den deriverte til funksjonen
gx=arccosx
på tilsvarande måte som vi fann den deriverte til den omvende sinusfunksjonen på teorisida.
Vi skiftar ut sinv med cosv ved hjelp av einingsformelen.
cos2v+sin2v=1sinv=±1-cos2v
Sidan v∈0,π er sinv>0 når 0<v<π, og vi treng ikkje den negative løysinga av likninga over. Vi får
g'x=v'=-11-cos2v=-11-x2
2.2.32
Vi skal utforske den omvende funksjonen til fx=tanx, nemleg
f-1x=arctanx
a) I oversiktstabellen på teorisida står det at verdimengda til f-1x=arctanx er bestemd å vere ⟨-π2,π2⟩. Forklar kvifor f har ein omvend funksjon med denne bestemminga.
Løysing
Med den bestemde verdimengda til f-1 får vi at
Df=Vf-1=〈-π2,π2〉
Nedanfor har vi teikna grafen til f i eit noko større område.
Området ⟨-π2,π2⟩ utgjer den midtarste delen av grafen. I heile dette området er grafen stigande. Då er f éin-eintydig og har dermed ein omvend funksjon dersom dette området blir brukt som definisjonsmengde for tangensfunksjonen.
b) Teikn grafen til f og f-1 i det same koordinatsystemet.
Løysing
c) Finn den deriverte til funksjonen
gx=arctanx
på tilsvarande måte som vi fann den deriverte til den omvende cosinusfunksjonen.
Vi må skrive om denne til noko med tanv. Då kan vi setje inn x slik vi har gjort når vi skulle finne den deriverte til arcsinx og til arccosx. Det gjer vi ved hjelp av einingsformelen.
arccos-12≠4π3. Det er riktig at cos4π3=-12, men verdimengda til arccosx er 0,π. Vinkelen i dette området som har cosinusverdi lik -12, er 2π3, så arccos-12=2π3.