Hopp til innhald
Oppgåve

Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving

Desse omgrepa er viktige i samband med sinusfunksjonar og sinuskurver. Bli betre kjend med dei her! Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Lag ei skisse i eit koordinatsystem av grafen til ein faseforskyvd sinusfunksjon. Grafen skal ha eit botnpunkt for x=0, og likevektslinja skal ikkje vere x-aksen. Marker perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvinga på figuren.

Løysing

Hugs at faseforskyvinga går til det skjeringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigande.

Her er faseforskyvinga positiv (som betyr at talet φ i den generelle sinusfunksjonen er negativt).

b) Kva er periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving til funksjonen som er teikna i løysingsboksen over? Finn funksjonsuttrykket som gir denne grafen.

Løysing
  • Perioden kan vi lese av mellom x-verdiane π4 og 5π4. Vi får p=5π4-π4=π.

  • Likevektslinja er y=1.

  • Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden A=3-1=2.

  • Faseforskyvinga er xf=π4.

c) Finn utan hjelpemiddel funksjonsuttrykket som gir denne grafen.

Løysing

Den generelle sinusfunksjonen kan skrivast som

fx=Asin(kx+φ)+d

Vi har frå oppgåve b) at

  • amplituden er 2, som gir A=2

  • likevektslinja er y=1, som gir d=1

  • perioden er π, som gir
    p=2πk=πk=2

  • faseforskyvinga er π4, som girxf = -φk=π4φ = -π4·k=-π4·2=-π2

Funksjonsuttrykket blir

fx=2sin2x-π2+1

Vi skriv den generelle sinusfunksjonen som

fx=Asin(kx+φ)+d

d) Forklar med ord kva storleikane A, k, φ og d i den generelle sinusfunksjonen står for, og kva betydning dei har.

Løysing
  • A står for amplituden til funksjonen og fortel kor langt grafen til funksjonen svingar ut frå likevektslinja.

  • k er eit tal som fortel noko om perioden p til sinusfunksjonen. Samanhengen er at p=2πk. Perioden er avstanden i x-retning frå eit punkt på grafen til neste punkt der grafen er i same svingetilstand. I nokre samanhengar kallar vi k for frekvens fordi han seier noko om talet på svingingar per eining i x-retning.

  • Talet φ fortel noko om kor stor faseforskyvinga til sinusfunksjonen er. Faseforskyvinga xf er gitt ved talet -φk. Det betyr at grafen er forskyvd -φk i x-retning i forhold til grafen til ein funksjon der φ=0.

  • Linja y=d er likevektslinja grafen til funksjonen svingar om.

Oppgåve 2

Finn utan hjelpemiddel funksjonsuttrykket til funksjonane som det er teikna graf til.

a)

Løysing

Vi les først av maksimalverdien fmaks og minimalverdien fmin til funksjonen.

fmaks=1, fmin=-3

Så reknar vi ut amplituden A og talet d, som er y-verdien til likevektslinja:

A=fmaks-fmin2=1--32=2

d=fmaks-A=1-2=-1

Vi les av perioden p som avstanden mellom to av toppunkta. Vi får

p=π

Dette gir

p=2πk  k=2πp=2ππ=2

Vi finn det skjeringspunktet mellom likevektslinja og stigande graf som er nærast y-aksen. Det er punktet -π4,-1. Det betyr at faseforskyvinga xf er

xf=-π4

Dette gir

xf=-φk  φ=-k·xf=-2·-π4=π2

Dermed blir funksjonsuttrykket

fx = Asinkx+φ+d= 2sin2x+π2-1

Hjelpefigur:

b)

Løysing

fmaks=1,5, fmin=-0,5

A=fmaks-fmin2=1,5--0,52=1

d=fmaks-A=1,5-1=0,5

p=8,5π-2,5π=6π

k=2πp=2π6π=13

xf=π

φ=-k·xf=-π·13=-π3

Dermed blir funksjonsuttrykket

fx = Asinkx+φ+d= sinx3-π3+0,5

c)

Løysing

fmaks=0, fmin=-3

A=fmaks-fmin2=0--32=32

d=fmaks-A=0-32=-32

p=3π4-π4=2π4=π2

k=2πp=2ππ2=4

xf=π8

φ=-k·xf=-4·π8=-π2

Dermed blir funksjonsuttrykket

fx = Asinkx+φ+d= 32sin4x-π2-32

d)

Løysing

fmaks=1,2, fmin=0,8

A=fmaks-fmin2=1,2-0,82=0,2=15

d=fmaks-A=1,2-0,2=1

Vi ser at grafen er i same svingetilstand når x=6π som når x=18π. Perioden blir

p=18π-6π=12π

k=2πp=2π12π=16

xf=-3π2

φ=-k·xf=-16·-3π2=π4

Dermed blir funksjonsuttrykket

fx = Asinkx+φ+d= 15sinx6+π4+1

e) I oppgåve d) brukte vi skjeringspunktet mellom likevektslinja og grafen der x=-3π2 når vi skulle bestemme faseforskyvinga.
Vis at dersom vi i staden vel skjeringspunktet der x=21π2, kjem vi fram til funksjonsuttrykket gx=15sinx6-7π4+1.

Løysing

Løysinga blir som i oppgåve d) til vi kjem til faseforskyvinga, der vi no får

xf=21π2

Dette gir

φ=-k·xf=-16·21π2=-7π4

Funksjonsuttrykket blir

gx=15sinx6-7π4+1

f) Forklar kvifor funksjonen g i e) er same funksjon som f i oppgåve d).

Tips til oppgåva

Stikkordet er periode.

Løysing

Alt er likt i dei to funksjonsuttrykka bortsett frå φ. Vi har at perioden til funksjonane er 12π. Det betyr at dersom vi til dømes trekker 12π frå x-verdiane i f, har ikkje det noka betydning for utrekninga av funksjonsverdiane. Vi får

fx-12π = 15sinx-12π6+π4-1= 15sinx6-2π+π4-1= 15sinx6-8π4+π4-1= 15sinx6-7π4-1= gx

g) Kunne du ha valt andre skjeringspunkt mellom likevektslinja og grafen når du skal finne faseforskyvinga enn dei to i oppgåve d) og e)? Forklar.

Løysing

Dei to skjeringspunkta har x-verdiar som gjer at grafen er i same svingetilstand. Det er derfor det ikkje spelte noka rolle for funksjonen kva for eit av desse punkta vi brukte. Av same årsak kan vi eigentleg bruke eit kva som helst skjeringspunkt der grafen er i same svingetilstand, det vil seie at grafen er stigande, når vi skal bestemme funksjonsuttrykket.

Vi bruker i praksis eitt av dei to skjeringspunkta nærast y-aksen, for det gir ikkje meining å operere med ei faseforskyving som er større enn perioden til funksjonen.

Oppgåve 3

Bestem storleikane A, k, φ og d i sinusfunksjonane nedanfor. Finn perioden og faseforskyvinga òg, og teikn til slutt ei skisse på papir av grafen til funksjonane. Skissa av grafen må minimum innehalde to toppunkt og to botnpunkt.

I løysingsboksane har vi teikna funksjonane med GeoGebra. Skissene dine bør likne på desse grafane.

Tips til oppgåva

Sjå forslag til framgangsmåte for skissa under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjonar" nedst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving.

a) fx=2sinx+π4-1

Løysing

Direkte frå funksjonsuttrykket får vi

A=2, k=1, φ=π4, d=-1

Det betyr videre at perioden er

p=2πk=2π1=2π

og faseforskyvinga er

xf=-φk=-π41=-π4

Likevektslinja er y=-1.

Funksjonen har maksimalverdi -1+2=1 og minimalverdi -1-2=-3.

Ein passande skala på y-aksen kan vere 1.

Faseforskyvinga betyr at grafen er forskyvd med π4 til venstre, og vi teiknar ei pil mellom punkta 0,-1 og -π4,-1 for å markere faseforskyvinga.

Ein passande skala på x-aksen kan vere π4.

Første punkt på grafen til høgre for -π4,-1 som er i same svingetilstand, ligg éin periode bort, det vil seie at x=-π4+2π=-π4+8π4=7π4. Vi kan òg markere punktet som ligg ein halv periode bort, det vil seie for x=3π4, for der vil grafen krysse likevektslinja på veg nedover.

Vi får toppunkt med y-koordinat 1. Eitt av toppunkta har x-koordinat midt mellom -π4 og 3π4, det vil seie π4. Vi får eit nytt toppunkt i ein avstand 1 periode frå det første, det vil seie for x=π4+2π=π4+8π4=9π4.

Vi får botnpunkt med y-koordinat -3. Eitt av botnpunkta har x-koordinat midt mellom 3π4 og 7π4, det vil seie 5π4. Vi får eit nytt botnpunkt til dømes for x=5π4-2π=5π4-8π4=-3π4.

No kan vi teikne skissa av grafen.

b) fx=3sin4x+π3-2

Løysing

A=3, k=4, φ=π3, d=-2

p=2πk=2π4=π2

xf=-φk=-π34=-π12

Likevektslinje: y=-2

Maksimalverdi: 1

Minimalverdi: -5

Skala på x-aksen: π12

Skala på y-aksen: 1 eller 2

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: -π12,-2 og 5π12,-2

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :π6,-2

Toppunkt: for x=π24 og x=13π24

Botnpunkt: for x=7π24 og x=-5π24

No kan vi teikne skissa av grafen:

c) fx=12sinx-π6

Løysing

A=12, k=1, φ=-π6, d=0

p=2πk=2π1=2π

xf=-φk=--π61=π6

Likevektslinje: y=0 (x-aksen)

Maksimalverdi: 12

Minimalverdi: -12

Skala på x-aksen: π6

Skala på y-aksen: 0,1 eller 0,2

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf :π6,0 og 13π6,0

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :7π6,0

Toppunkt: for x=2π3 og x=8π3

Botnpunkt: for x=5π3 og x=-π3

No kan vi teikne skissa av grafen:

d) fx=0,05sinx8-3π4+0,02

Løysing

A=0,05, k=18, φ=-3π4, d=0,02

p=2πk=2π18=16π

xf=-φk=--3π418=-8·-3π4=6π

Likevektslinje: y=0,02

Maksimalverdi: 0,07

Minimalverdi: -0,03

Skala på x-aksen: 2π

Skala på y-aksen: 0,01 eller 0,02

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: 6π,0.02 og 22π,0.02

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :14π,0.02 og -2π,0.02

Toppunkt: for x=10π og x=-6π

Botnpunkt: for x=2π og x=18π

No kan vi teikne skissa av grafen:

e) fx=15sin2πx+π-5

Løysing

A=15, k=2π, φ=π, d=-5

p=2π2π=1

xf=-φk=-π2π=-12

Likevektslinja er y=-5

Maksimalverdi: 10

Minimalverdi: -20

Skala på x-aksen: 12

Skala på y-aksen: 5

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: -12,-5 og 12,-5

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf: 0,-5.

Toppunkt: for x=-14 og x=34

Botnpunkt: for x=14 og x=-34

No kan vi teikne skissa av grafen:

f) Finn på ein sinusfunksjon sjølv og lag ei skisse av han på same måte som over. Kontroller skissa ved å teikne funksjonen med GeoGebra.

g) Forklar korleis du vil gå fram dersom funksjonen du skal skissere, er på forma

fx=Asinbx+c+d

Forklar òg kva talet c eigentleg står for.

Løysing

Vi skriv om funksjosnuttrykket.

fx = Asinbx+c+d= Asinbx+bc+d

Det betyr at b er det same som k i dei førre oppgåvene. Vidare må bc vere det same som φ. Resten av framgangsmåten blir som før.

Samanhengen mellom φ og bc gir

xf=-φb=-bcb=-c

c er altså det same som faseforskyvinga, men med motsett forteikn. Måten funksjonsuttrykket til f er skrive på her, gjer at vi kan lese av faseforskyvinga direkte.

h) Skriv om funksjonen g nedanfor slik at han kjem på same form som funksjonen f i oppgåve g), og bruk dette til å lage ei skisse av funksjonen.

gx=sinx3-π3+12

Løysing

Omskriving:

gx = sinx3-π3+12= sin13x-π+12

A=1, k=13, xf=π, d=12

p=2π13=6π

Likevektslinje: y=12

Maksimalverdi: 1,5

Minimalverdi: -0,5

Skala på x-aksen: π

Skala på y-aksen: 0,25

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf: π,12, 7π,12 og -5π,12

Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf: -2π,12 og 4π,12.

Toppunkt: for x=-7π2 og x=3π2

Botnpunkt: for x=-π2 og x=-11π2

No kan vi teikne skissa av grafen.

Du kan sjå grafen teikna i oppgåve 2.2.11 b).

Oppgåve 4

Kva for nokre av funksjonane f, g og h du ser grafen til på biletet nedanfor, er i fase?

Løysing

Grafane til f og g har topp- og botnpunkt for dei same x-verdiane, så f og g er i fase.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.