Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving
Oppgåve 1
a) Lag ei skisse i eit koordinatsystem av grafen til ein faseforskyvd sinusfunksjon. Grafen skal ha eit botnpunkt for , og likevektslinja skal ikkje vere
Løysing
Hugs at faseforskyvinga går til det skjeringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigande.
Her er faseforskyvinga positiv (som betyr at talet
b) Kva er periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving til funksjonen som er teikna i løysingsboksen over? Finn funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løysing
Perioden kan vi lese av mellom
-verdianex ogπ 4 . Vi får5 π 4 .p = 5 π 4 - π 4 = π Likevektslinja er
.y = 1 Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden
.A = 3 - 1 = 2 Faseforskyvinga er
.x f = π 4
c) Finn utan hjelpemiddel funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løysing
Den generelle sinusfunksjonen kan skrivast som
Vi har frå oppgåve b) at
amplituden er 2, som gir
A = 2 likevektslinja er
, som giry = 1 d = 1 perioden er
, som girπ
p = 2 π k = π ⇔ k = 2 faseforskyvinga er
, som girπ 4 x f = - φ k = π 4 φ = - π 4 · k = - π 4 · 2 = - π 2
Funksjonsuttrykket blir
Vi skriv den generelle sinusfunksjonen som
d) Forklar med ord kva storleikane
Løysing
står for amplituden til funksjonen og fortel kor langt grafen til funksjonen svingar ut frå likevektslinja.A er eit tal som fortel noko om periodenk til sinusfunksjonen. Samanhengen er atp . Perioden er avstanden ip = 2 π k -retning frå eit punkt på grafen til neste punkt der grafen er i same svingetilstand. I nokre samanhengar kallar vix for frekvens fordi han seier noko om talet på svingingar per eining ik -retning.x Talet
fortel noko om kor stor faseforskyvinga til sinusfunksjonen er. Faseforskyvingaφ er gitt ved taletx f . Det betyr at grafen er forskyvd- φ k i- φ k -retning i forhold til grafen til ein funksjon derx .φ = 0 Linja
er likevektslinja grafen til funksjonen svingar om.y = d
Oppgåve 2
Finn utan hjelpemiddel funksjonsuttrykket til funksjonane som det er teikna graf til.
a)
Løysing
Vi les først av maksimalverdien
Så reknar vi ut amplituden
Vi les av perioden
Dette gir
Vi finn det skjeringspunktet mellom likevektslinja og stigande graf som er nærast
Dette gir
Dermed blir funksjonsuttrykket
Hjelpefigur:
b)
Løysing
Dermed blir funksjonsuttrykket
c)
Løysing
Dermed blir funksjonsuttrykket
d)
Løysing
Vi ser at grafen er i same svingetilstand når
Dermed blir funksjonsuttrykket
e) I oppgåve d) brukte vi skjeringspunktet mellom likevektslinja og grafen der
Vis at dersom vi i staden vel skjeringspunktet der
Løysing
Løysinga blir som i oppgåve d) til vi kjem til faseforskyvinga, der vi no får
Dette gir
Funksjonsuttrykket blir
f) Forklar kvifor funksjonen
Tips til oppgåva
Stikkordet er periode.
Løysing
Alt er likt i dei to funksjonsuttrykka bortsett frå
g) Kunne du ha valt andre skjeringspunkt mellom likevektslinja og grafen når du skal finne faseforskyvinga enn dei to i oppgåve d) og e)? Forklar.
Løysing
Dei to skjeringspunkta har
Vi bruker i praksis eitt av dei to skjeringspunkta nærast
Oppgåve 3
Bestem storleikane
I løysingsboksane har vi teikna funksjonane med GeoGebra. Skissene dine bør likne på desse grafane.
Tips til oppgåva
Sjå forslag til framgangsmåte for skissa under overskrifta "Skissering av trigonometriske funksjonar" nedst i teoriartikkelen om periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving.
a)
Løysing
Direkte frå funksjonsuttrykket får vi
Det betyr videre at perioden er
og faseforskyvinga er
Likevektslinja er
Funksjonen har maksimalverdi
Ein passande skala på
Faseforskyvinga betyr at grafen er forskyvd med
Ein passande skala på
Første punkt på grafen til høgre for
Vi får toppunkt med
Vi får botnpunkt med
No kan vi teikne skissa av grafen.
b)
Løysing
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf:
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :
Toppunkt: for
Botnpunkt: for
No kan vi teikne skissa av grafen:
c)
Løysing
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf :
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :
Toppunkt: for
Botnpunkt: for
No kan vi teikne skissa av grafen:
d)
Løysing
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf:
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf :
Toppunkt: for
Botnpunkt: for
No kan vi teikne skissa av grafen:
e)
Løysing
Likevektslinja er
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf:
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf:
Toppunkt: for
Botnpunkt: for
No kan vi teikne skissa av grafen:
f) Finn på ein sinusfunksjon sjølv og lag ei skisse av han på same måte som over. Kontroller skissa ved å teikne funksjonen med GeoGebra.
g) Forklar korleis du vil gå fram dersom funksjonen du skal skissere, er på forma
Forklar òg kva talet
Løysing
Vi skriv om funksjosnuttrykket.
Det betyr at
Samanhengen mellom
h) Skriv om funksjonen
Løysing
Omskriving:
Likevektslinje:
Maksimalverdi:
Minimalverdi:
Skala på
Skala på
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og stigande graf:
Skjeringspunkt mellom likevektslinja og søkkande graf:
Toppunkt: for
Botnpunkt: for
No kan vi teikne skissa av grafen.
Du kan sjå grafen teikna i oppgåve 2.2.11 b).
Oppgåve 4
Kva for nokre av funksjonane
Løysing
Grafane til
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgåvene som word- og pdf-dokument.