Grafen til trigonometriske funksjonar

Sidan definisjonsmengda til funksjonen er alle reelle tal, vil funksjonen ha uendeleg mange topp-, botn- og nullpunkt. Desse skriv vi ved hjelp av det heile talet $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Sjå teorisida "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen".

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $$ \left(0,1\right)$$, og eitt av botnpunkta er $$ \left(\pi ,-1\right)$$. Det betyr at

• toppunkta til $$ f$$ er $$ \left(k·2\pi ,1\right)$$

• botnpunkta til $$ f$$ er $$ \left(\pi +k·2\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er den same avstanden, π, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $$ x=\frac{\pi }{2}$$. Det betyr at

• nullpunkta til $$ f$$ er $$ \frac{\pi }{2}+k·\pi $$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• eitt toppunkt $$ \left(0,1\right)$$

• eitt botnpunkt $$ \left(\pi ,-1\right)$$

• to nullpunkt for $$ x=\frac{\pi }{2}$$ og $$ x=\frac{3\pi }{2}$$

Merk at toppunktet $$ \left(2\pi ,1\right)$$ er utanfor definisjonsmengda til $$ f$$ her.

Vi ser av grafen at mønsteret gjentek seg til dømes for kvart toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π. Dette er det same som perioden til $$ g\left(x\right)=\sin x$$.

Dersom vi samanliknar grafen til $$ f$$ med grafen til $$ g\left(x\right)=\sin x$$, ser vi at grafen til $$ f$$ er forskyvd $$ \frac{\pi }{4}$$ til venstre i forhold til grafen til $$ g$$.

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$, og eitt av botnpunkta er $$ \left(\frac{5\pi }{4},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{4}+k·2\pi ,1\right)$$

• botnpunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{5\pi }{4}+k·2\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er den same avstanden, π, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $$ x=\frac{3\pi }{4}$$. Det betyr at

• nullpunkta til $$ f$$ er $$ \frac{3\pi }{4}+k·\pi $$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• to toppunkt, $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$ og $$ \left(\frac{9\pi }{4},1\right)$$

• to botnpunkt, $$ \left(\frac{5\pi }{4},-1\right)$$ og $$ \left(\frac{13\pi }{4},-1\right)$$

• fire nullpunkt, $$ \frac{3\pi }{4}, \frac{7\pi }{4}, \frac{11\pi }{4}$$ og $$ \frac{15\pi }{4}$$

Vi ser av grafen at mønsteret gjentek seg til dømes for kvart toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π.

Merk at dette er det same som perioden til $$ g\left(x\right)=\sin x$$. Det ser altså ikkje ut til at eit tillegg til argumentet $$ x$$ til sinusfunksjonen påverkar perioden.

Skilnaden på grafen til $$ f$$ og grafen til $$ g$$ er at for kvart toppunkt grafen til $$ f$$ har, har grafen til $$ g$$ to. Det blir tilsvarande når det gjeld botnpunkt og nullpunkt. Vi kan òg seie at grafen til $$ f$$ går dobbelt så raskt opp og ned som grafen til $$ g$$.

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er 2π. Eitt av toppunkta er $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$, og eitt av botnpunkta er $$ \left(\frac{3\pi }{4},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{4}+k·\pi ,1\right)$$

• botnpunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{3\pi }{4}+k·\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er den same avstanden, $$ \frac{\pi }{2}$$, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $$ x=0$$. Det betyr at

• nullpunkta til $$ f$$ er $$ k·\frac{\pi }{2}$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• to toppunkt, $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{4},1\right)$$

• to botnpunkt, $$ \left(\frac{3\pi }{4},-1\right)$$ og $$ \left(\frac{7\pi }{4},-1\right)$$

• fire nullpunkt, $$ 0, \frac{\pi }{2}, \pi $$ og $$ \frac{3\pi }{2}$$

Merk at nullpunktet $$ 2\pi $$ er utanfor definisjonsmengda til $$ f$$.

Sidan avstanden mellom to nabotoppunkt er π, er perioden for funksjonen π. Dette såg vi òg i oppgåve a).

Merk at ruteavstanden i $$ x$$-retning er $$ \frac{\pi }{6}$$ på biletet over. Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt og mellom to nabobotnpunkt er $$ \frac{2\pi }{3}$$. Eitt av toppunkta er $$ \left(0,1\right)$$, og eitt av botnpunkta er $$ \left(\frac{\pi }{3},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunkta til $$ f$$ er $$ \left(k·\frac{2\pi }{3},1\right)$$

• botnpunkta til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{3}+k·\frac{2\pi }{3},-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er den same avstanden, $$ \frac{\pi }{3}$$, mellom to nabonullpunkt. Vi har eit nullpunkt for $$ x=\frac{\pi }{6}$$. Det betyr at

• nullpunkta til $$ f$$ er $$ \frac{\pi }{6}+k·\frac{\pi }{3}$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• tre toppunkt, $$ \left(0,1\right), \left(\frac{2\pi }{3},1\right)$$ og $$ \left(\frac{4\pi }{3},1\right)$$

• tre botnpunkt, $$ \left(\frac{\pi }{3},-1\right), \left(\pi ,-1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{3},-1\right)$$

• seks nullpunkt, $$ \frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{6}$$, $$ \frac{7\pi }{6}, \frac{3\pi }{2}$$ og $$ \frac{11\pi }{6}$$

Sidan avstanden mellom to nabotoppunkt er $$ \frac{2\pi }{3}$$, er perioden for funksjonen $$ \frac{2\pi }{3}$$. Dette er ein tredjedel av perioden til $$ g\left(x\right)=\cos x$$, som vi veit har periode lik 2π (sjå oppgåve 2.2.1 c)). Vi kan òg seie at grafen til $$ f$$ går tre gonger så raskt opp og ned som grafen til $$ g$$.

Set opp ei oversikt over perioden til funksjonane du har sett på i desse oppgåvene.

Ut ifrå det vi har sett i oppgåvene over, ser det ut som om funksjonen $$ h$$ har perioden $$ \frac{2\pi }{a}$$ dersom vi følger mønsteret. Ut ifrå kva vi har sett, kan vi gå ut frå at $$ \sin kx$$ har den same perioden som $$ \cos kx$$.

Sidan $$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ og vi veit at sinus- og cosinusfunksjonane er periodiske, må tangensfunksjonen òg vere periodisk. Her ser det ut som om mønsteret til grafen i intervallet $$ [0,\pi ⟩$$ gjentek seg. Perioden til funksjonen er altså π.

Det ser ikkje ut som om grafen har nokon topp- eller botnpunkt. Det har samanheng med at funksjonen ikkje kan eksistere der $$ \cos x=0$$. Når $$ \cos x$$ nærmar seg 0, veks $$ \tan x$$ over alle grenser. Når du har lært å derivere tangensfunksjonen, kan du vise at den deriverte alltid er positiv.

Avstanden mellom to nabonullpunkt er π. Sidan funksjonen har eit nullpunkt for $$ x=0$$, kan vi skrive nullpunkta som $$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.