Den deriverte til sinusfunksjonen
Utforsk stigingstalet til tangenten til grafen til sinusfunksjonen
Den deriverte
Hugsar du tre måtar å beskrive den deriverte på?
Den deriverte
Den deriverte kan beskrivast som
stigingstalet til tangenten til grafen til funksjonen
den momentane vekstfarten til funksjonen
Den deriverte til sin x grafisk
I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor har vi teikna grafen til
Filer
Bruk GeoGebra-arket til å finne verdiar for den deriverte til
0 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Resultat
Dei verdiane vi les av som stigingstalet til tangenten, er verdiar for den deriverte til
0 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Vi skal no prøve å tenke oss fram til kva den deriverte funksjonen til
Kvifor må
Forklaring
Sidan
Kva periodisk funksjon er det som passar til tala i verditabellen?
Svar
Når vi samanliknar verdiane frå tabellen med dei tilsvarande verdiane for cosinus, ser vi at dei er like. Det ser derfor ut som at
Den deriverte til sin x med CAS
Skriv inn funksjonen f'(x)
på neste linje. Kva får du?
Resultat
Derivasjon med CAS gir oss òg at
Definisjonen av den deriverte brukt på sinusfunksjonen
Vi prøver å setje
For å komme vidare treng vi ein trigonometrisk samanheng for sinus til ein sum av vinklar:
Denne og andre tilsvarande formlar kan du lese meir om på teorisida "Sinus og cosinus til summar og differansar av vinklar".
Prøv å bruke formelen over på uttrykket
Resultat
Då får vi
Vi har delt opp uttrykket for å gjere behandlinga vidare enklare. I siste overgang har vi sett faktorane
For å komme vidare må vi finne dei to grenseverdiane i boksen over. Vi startar med den andre grenseverdien.
Den andre grenseverdien
Den andre grenseverdien kan skrivast som
Vi skal komme fram til svaret ved å samanlikne areala av trekanten
Kva for ein av dei tre figurane har størst areal, og kva for ein av dei har minst areal?
Forklaring
Ut ifrå figuren har trekanten
Dei tre areala kan berre vere like dersom
Kva blir areala til dei tre figurane?
Svar
Arealet av sirkelsektoren er arealet av ein sirkel med radius 1 multiplisert med den brøkdelen bogelengda
I den siste overgangen har vi brukt definisjonen på ein vinkel målt i radianar, som seier at vinkelen er bogelengda delt på radiusen,
Bruker vi resultatet i boksen over, kan vi forme om den doble ulikskapen til
Sidan vi har gått ut frå over at
Uttrykket i midten er no den inverterte av brøkuttrykket som vi skal finne grenseverdien til. Vi inverterer derfor ulikskapen. Det betyr at vi ser på kvar side av ulikskapsteikna som brøkar og snur dei. Kva får vi då?
Resultat
Vi må snu alle ulikskapsteikna ved inverteringa. Hugs at 7 er større enn 6, men
Vi hadde opphavleg ein grenseverdi der
Forklaring
Vi lar no
Sidan uttrykket
Den første grenseverdien
Den første grenseverdien inneheld uttrykket
Gjer følgande:
Multipliser teljar og nemnar i uttrykket med
.cos v + 1 Bruk samanhengen
, som vi viser på teorisida "Einingsformelen, supplement- og komplementvinklar", til å fjernecos 2 v + sin 2 v = 1 frå teljaren. (NB:cos 2 v betyrcos 2 v .)cos v 2
Resultat
Vi får
Vi finn grenseverdien ved å skilje ut faktoren
utan å sjå på innhaldet i boksen nedanfor.
Bevis
Kva blir til slutt
Resultat
Dette stemmer med dei undersøkingane vi gjorde øvst på sida.
Vi har eigentleg berre vist at dette gjeld for vinklar
Konklusjon
Vinkelen
I oppgåvene blir du beden om å vise at
og