Hopp til innhald
Oppgåve

Derivasjon av trigonometriske funksjonar

Øv på å derivere trigonometriske funksjonar her.

2.2.20

På teorisida "Den deriverte til sinusfunksjonen" viser vi at når fx=sinx, er f'x=cosx.

a) Bruk samanhengane cosx=sinπ2-x og sinx=cosπ2-x til å finne den deriverte funksjonen til gx=cosx.

Tips til oppgåva

Du treng kjerneregelen.

Løysing

g'x = cosx'= sinπ2-x'= cosπ2-x·-1= -sinx

Her må vi bruke kjerneregelen i tredje linje.

b) Finn den deriverte funksjonen til hx=tanx.

Tips til oppgåva

Bruk at tanx=sinxcosx og regelen for derivasjon av ein brøkfunksjon. I forenklinga av resultatet treng du samanhengen cos2v+sin2v=1.

(Merk at cos2x betyr cosx2.)

Løysing

g'x = tanx'= sinxcosx'= cosx·sinx'-sinx·cosx'cosx2= cosx·cosx-sinx·-sinxcos2x= cos2x+sin2xcos2x= 1cos2x

2.2.21

Deriver funksjonane ved hjelp av derivasjonsreglar.

a) fx=2sinx

Løysing

f'x=2cosx

b) fx=12sinπ6-x

Løysing

f'x=12cosπ6-x·-1=-12cosπ6-x

c) fx=13cos3x

Løysing

f'x=13-sin3x·3=-sin3x

d) fx=12sin2x

Løysing

f'x=12·2sinx·cosx=sinx·cosx

e) fx=2sin2x

Løysing

Vi skriv om funksjonen litt.

fx=2sin2x=2sin2x-1

f'x = 2·-1sin2x-2·cos2x·2= -4cos2xsin22x

f) fx=2sinx·cos2x

Løysing

f'x = 2sinx·-sin2x·2+cosx·cos2x= 2cosx·cos2x-2sinx·sin2x

g) fx=-sin2x+2sinx+1

Løysing

f'x=-2sinx·cosx+2cosx

h) fx=12tan2x

Løysing

f'x=12·1cos22x·2=1cos22x

i) fx=2x·sinx

Løysing

f'x = 22x·sinx+2x·cosx= sinxx+2x·cosx

j) fx=2x3cosx

Løysing

f'x = 2·3cosx-2x·-3sinx3cosx2= 6cosx+6xsinx9cos2x= 2cosx+xsinx3cos2x

k) fx=excos2x

Løysing

f'x = ex·cos2x+ex·-sin2x·2= excos2x-2sin2x

l) fx=lnx·tanπx

Løysing

f'x = 1x·tanπx+lnx·1cos2πx·π= tanπxx+π·lnxcos2πx

2.2.22

Når vi skal derivere trigonometriske funksjonar, er ein føresetnad at vinkelen x er målt i radianar.

Korleis deriverer vi funksjonen fv=sinv dersom v er målt i gradar?

Løysing

Vi reknar om frå v målt i gradar til x målt i radianar. Det betyr at

x=v·180π

Då kan vi skrive funksjonen som

fx=sinπ180x

Vidare får vi

f'x = cosπ180x·π180f'v = π180cosv