Omvende trigonometriske funksjonar

Du har brukt omvende trigonometriske funksjonar i matematikk 1T når du til dømes skulle gå frå ein sinusverdi til ein vinkel. Her skal vi ta dette eit steg vidare.

Du kan lese meir om omvende funksjonar på sidene for dette under hovudemnet "Funksjonsanalyse og modellering" i matematikk R1.

Den omvende funksjonen $$ f^{-1}$$ til ein funksjon $$ f$$ er slik at

$$ f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$$

Kva står det eigentleg i denne likninga? Prøv å forklare med eigne ord.

Til dømes vil den omvende funksjonen $$ f^{-1}$$ til funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$ vere $$ f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$$ fordi at for å oppheve effekten av å multiplisere med 2 må vi dividere med 2.

Éin-eintydnad

Ikkje alle funksjonar har omvende funksjonar. Forklar kvifor funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2, D_f=\mathrm{ℝ}$$ ikkje har ein omvend funksjon.

Ein omvend funksjon kan berre peike tilbake på éin $$ x$$-verdi, elles er det ikkje ein funksjon.

Kva kan vi gjere med funksjonen $$ f$$ i dette dømes for at han skal ha ein omvend funksjon?

Kva blir den omvende funksjonen $$ f^{-1}$$ til $$ f\left(x\right)=x^2, D_f=[0,\to \rangle $$?

I dette tilfellet seier vi at funksjonen $$ f$$ er éin-eintydig sidan det til kvar $$ y$$-verdi svarer til berre éin $$ x$$-verdi (i tillegg til at det til kvar $$ x$$-verdi svarer til berre éin $$ y$$-verdi, som det må vere for at $$ f$$ skal vere ein funksjon).

I oppgåve 2.1.4 a) blir du beden om finne to vinklar som er slik at $$ \sin v=\frac{1}{2}$$. Frå einingssirkelen på figuren har vi at dette er oppfylt for vinklane $$ \frac{\pi }{6}$$ og $$ \frac{5\pi }{6}$$ målte i radianar. Då bruker vi den omvende funksjonen til sinusfunksjonen når vi går tilbake frå ein sinusverdi til ein vinkel. Sinusfunksjonen gjer det motsette: tek oss frå ein vinkel til ein sinusverdi.

Den omvende funksjonen $$ f^{-1}$$ kan ikkje returnere to vinklar. Kva må vi gjere med $$ f$$ for at han skal ha ein omvend funksjon?

Vi må avgrense definisjonsområdet til $$ f\left(x\right)=\sin x$$ slik at funksjonen blir éin-eintydig dersom den omvende funksjonen skal eksistere. På figuren har vi teikna grafen til $$ f$$. Forklar kvifor vi ikkje kan bruke første omløp som definisjonsmengde.

Kan du foreslå ei definisjonsmengde for $$ f$$ som gjer at funksjonen blir éin-eintydig?

For å lette arbeidet med omvende trigonometriske funksjonar er det bestemt internasjonalt at når $$ f\left(x\right)=\sin x$$, $$ D_f=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$, skriv vi den omvende funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)$$ som

$$ f^{-1}\left(x\right)=\arcsin x$$

målt i radianar. (Ein tilsvarande definisjon finst dersom vinklane blir oppgitte i gradar.)

Er grafen til $$ f$$ éin-eintydig i dette området?

Kva blir verdimengda og definisjonsmengda til $$ f^{-1}, V_{f^{-1}}$$ og $$ D_{f^{-1}}$$?

Den omvende funksjonen $$ f^{-1}$$ kan skrivast på to måtar:

$$ f^{-1}\left(x\right)=\arcsin x={\sin }^{-1}x$$

På sidene våre vil vi bruke den første varianten.

På figuren har vi teikna grafen til $$ f$$ og $$ f^{-1}$$ i det same koordinatsystemet. Merk at vi må avgrense grafen til $$ f$$ ved hjelp av til dømes kommandoen "Funksjon". Det treng vi ikkje gjere med grafen til $$ f^{-1}$$

Ut frå den førehandsbestemde verdimengda til $$ \arcsin x$$ får vi at

$$ f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$$

Kva blir $$ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$$?

Resultat

Vi kan lese av på figuren litt lenger opp på sida at

$$ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$$

Nedanfor har vi funne verdien grafisk med GeoGebra ved å teikne $$ f\left(x\right)=\sin x$$ og linja $$ y=-\frac{1}{2}$$ og bruke verktøyet "Skjering mellom to objekt".

Det eksisterer tilsvarande omvende funksjonar for cosinusfunksjonen og for tangensfunksjonen. Nedanfor er ei oversikt over dei.

Du blir betre kjend med dei omvende funksjonane til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgåvene.

Omvende trigonometriske funksjonar med GeoGebra

GeoGebra forstår begge skrivemåtane for dei omvende funksjonane. Biletet viser bruk av den omvende funksjonen til sinus.

Vi set no $$ f^{-1}\left(x\right)=g\left(x\right)$$ for å sleppe å ha både $$ -1$$ og derivertteiknet samtidig på same stad. Frå matematikk R1 har vi resultatet

$$ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$

Det betyr at vi kan rekne ut verdiar for den deriverte til ein omvend funksjon $$ g$$ ut ifrå den deriverte til den opphavlege funksjonen $$ f$$.

Frå R1 har vi at ein funksjon ikkje er deriverbar i endepunkta i eit intervall. $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x$$ vil derfor berre eksistere i det opne intervallet $$ \langle -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle $$. Tilsvarande vil den deriverte funksjonen $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$ berre vere definert i det opne intervallet $$ \langle -1,1\rangle $$.

Døme

Rekn ut $$ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)$$ når $$ f\left(x\right)=\sin x$$.

Vi har ut ifrå verdimengda til $$ g\left(x\right)=\arcsin x$$ (og definisjonsmengda til $$ f$$) at

$$ f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Vi har òg at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x$$

Då får vi at

$$ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}=\frac{1}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$$

Kan vi finne eit eksplisitt uttrykk for den deriverte til $$ \mathbf{arcsin}\mathit{x}$$?

Svaret på det er ja. Nedanfor viser vi at

$$ g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Det er vanskeleg å bruke definisjonen til den deriverte for å finne $$ g^{\text{'}}$$. Vi går heller fram slik:

Vi har at

$$ \sin \left(\arcsin x\right)=x$$

Vi set $$ \arcsin x=v$$ og deriverer (med omsyn på $$ x$$) på begge sider og får med bruk av kjerneregelen at

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\sin v\right)}^{\text{'}} & =& {\left(x\right)}^{\text{'}}\\ \cos v·v^{\text{'}} & =& 1\\ v^{\text{'}} & =& \frac{1}{\cos v}\end{array}$$

Kva er $$ v^{\text{'}}$$ det same som?

Vi kjem vidare ved å erstatte $$ \cos v$$ med $$ \sin v$$ sidan $$ \sin v=\sin \left(\arcsin x\right)=x$$. Det får vi til ved hjelp av einingsformelen $$ {\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$$, som gir

$$ \begin{array}{rcl}{\cos }^{2}v & =& 1-{\sin }^{2}v\\ \cos v & =& \sqrt{1-{\sin }^{2}v}\end{array}$$

Vi får til slutt

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right) & =& v^{\text{'}}\\ & =& \frac{1}{\cos v}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}v}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

Vi kan finne tilsvarande uttrykk for den deriverte av dei andre omvende trigonometriske funksjonane.

Eit spørsmål til slutt: Kvifor treng vi ikkje ta med (eller bry oss om) løysinga $$ \cos v=-\sqrt{1-{\sin }^{2}v}$$ , som vi òg får ut ifrå einingsformelen?

Nedanfor er ei oversikt over den deriverte til dei omvende trigonometriske funksjonane.

Du blir betre kjend med den deriverte til dei omvende funksjonane til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgåvene.