Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving

Den generelle sinusfunksjonen kan skrivast som

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

I det interaktive GeoGebra-arket nedanfor kan du endre på parametrane $$ A, k, \phi $$ og $$ d$$ ved å dra i glidarane.

Beskriv med ord kva som skjer når du endrar på kvar av dei fire parametrane.

Vi går no vidare ut frå at både $$ A$$ og $$ k$$ er positive storleikar. Vi skal bruke den generelle sinusfunksjonen til å definere storleikane periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving.

Den enklaste sinusfunksjonen,$$ \sin x$$, har ein periode $$ p=2\pi $$, som vi til dømes kan måle på grafen til funksjonen som avstanden mellom to nabotoppunkt. Det er fordi at etter at vinkelen $x$ har sprunge frå $$ \frac{\pi }{2}$$ til $$ \frac{5\pi }{2}$$, har $$ x$$ endra verdi med $$ 2\pi $$. $$ 2\pi $$ svarer til éin runde på einingssirkelen. Etter det byrjar funksjonsverdiane å gjenta seg. Dette er òg diskutert på teorisida om grafen til sinus- og cosinusfunksjonen.

I faga naturfag og fysikk, der vi ikkje koplar sinusfunksjonar til einingssirkelen på den same måten, kallar vi ofte perioden for bølgelengde fordi han beskriv avstanden mellom to bølgetoppar. I det elektromagnetiske spekteret er dei ulike typane stråling sorterte etter bølgelengde.

På den tilhøyrande oppgåvesida om grafen til trigonometriske funksjonar finn vi at funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin 2x$$ har halvparten så lang periode, nemleg $$ \pi $$. Vi resonnerer oss fram til at formelen for perioden til funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin kx$$ må vere

$$ p=\frac{2\pi }{k}$$

Bevis for formelen

Vi ser på den generelle sinusfunksjonen $$ f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$$. Vi går ut frå at vi ikkje kjenner formelen for perioden frå før.

Finn $$ f\left(0\right)$$ og $$ f\left(p\right)$$. $$ f\left(p\right)$$ betyr at vi set $$ x=p$$, perioden, til funksjonen. (Perioden er ukjend førebels.)

Når $$ x$$ går ein periode frå 0 til $$ p$$, må vi krevje at argumentet til sinusfunksjonen har auka med $2\pi$, det vil seie frå $$ \phi $$ til $$ \phi +2\pi $$. Det betyr at

$$ \begin{array}{rcl}\phi +2\pi & =& kp+\phi \\ kp & =& 2\pi \\ p & =& \frac{2\pi }{k}\end{array}$$

Kontroller at formelen gir rett svar når vi veit frå før at funksjonen $$ g\left(x\right)=\sin 2x$$ har periode $$ p=\pi $$.

Legg merke til at perioden til den generelle sinusfunksjonen berre er avhengig av talet $$ k$$. Eit konstant tillegg $$ \phi $$ i argumentet til sinusfunksjonen påverkar ikkje perioden.

I mange samanhengar blir talet kalla $$ k$$ for frekvensen til funksjonen. Dette kjem vi tilbake til i kapittelet om funksjonsanalyse og modellering.

Ein sinusfunksjon har periode $$ p=\frac{\pi }{3}$$. Kva blir talet $$ k$$ i sinusfunksjonen då?

Frå tidlegare har vi at toppunkta til $$ g\left(x\right)=\sin x$$ har $$ y$$-koordinat $$ 1$$ og botnpunkta har $$ y$$-koordinat $$ -1$$. Det betyr at grafen til funksjonen er like mykje over som under $$ x$$-aksen, sjå biletet øvst på sida. Vi seier at grafen til $$ \sin x$$ svingar rundt $x$-aksen. For denne funksjonen er det derfor $$ x$$-aksen som er likevektslinje.

Vi definerer likevektslinje slik: Ei likevektslinje er ei vassrett linje som er plassert slik at grafen svingar like mykje over og under denne linja. Likevektslinja ligg derfor midt mellom topp- og botnpunkta.

Den generelle sinusfunksjonen $$ f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$$ treng ikkje ha $$ x$$-aksen som likevektslinje. Nedanfor kan du dra i fire glidarar i det interaktive GeoGebra-arket og endre dei ulike storleikane i den generelle sinusfunksjonen.

Kva for ein av glidarane er det som gjer at likevektslinja flyttar seg?

Kva blir formelen for likevektslinja?

Likevektslinja ligg midt mellom ein maksimalverdi og ein minimalverdi for den generelle sinusfunksjonen. Skriv opp eit uttrykk for likevektslinja dersom vi kjenner maksimalverdien $$ f_{maks}$$ og minimalverdien $$ f_{min}$$ til sinusfunksjonen.

Likevektslinje og periode

Du kan finne perioden $$ p$$ til ein sinusfunksjon ved å lese av langs likevektslinja. Då må du lese av avstanden mellom to etterfølgande skjeringspunkt med veksande graf og likevektslinja eller to etterfølgande skjeringspunkt med minkande graf og likevektslinja, sjå biletet.

Kva er perioden til den ukjende sinusfunksjonen på biletet? Vis utrekning både ut frå skjeringspunkt mellom likevektslinja og veksande graf, og mellom likevektslinja og minkande graf.

Kva blir avstanden mellom to naboskjeringspunkt mellom grafen og likevektslinja?

Avstanden frå likevektslinja til eit topp- eller botnpunkt på grafen kallar vi amplituden til funksjonen. Amplituden fortel kor stort utslaget til sinusfunksjonen er frå likevektslinja, sjå biletet nedanfor.

Kva er amplituden $$ A$$ til funksjonen på biletet?

Bruk det interaktive GeoGebra-arket nedanfor til å finne kva for nokre av dei fire glidarane som påverkar amplituden til sinusfunksjonen.

Kva er samanhengen mellom amplituden og verdien til glidaren $$ A$$?

Vi kan finne amplituden til ein ukjend sinusfunksjon ut frå grafen på fleire måtar.

Skriv opp ein formel for amplituden ut frå

• maksimalverdien $$ f_{maks}$$ til sinusfunksjonen og verdien $$ d$$ til likevektslinja $$ y=d$$

• $$ f_{min}$$ og $$ d$$

• $$ f_{min}$$ og $$ f_{maks}$$

Bevis den siste formelen i resultatboksen over ut frå dei to første.

Kva funksjon $$ g$$ har vi teikna grafen til på biletet?

På teorisida om grafen til sinusfunksjonen har vi at grafen til $$ \sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$ er lik grafen til $$ \sin x$$, men forskyvd ei lengde $$ \frac{\pi }{2}$$ til venstre. Vi seier at grafen til $$ \sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$ er faseforskyvd i forhold til grafen til ein tilsvarande sinusfunksjon utan eit tillegg i argumentet.

Det er vanleg å regne faseforskyving til høgre som positiv. I det interaktive GeoGebra-arket kan du dra i glidaren for $$ \phi $$ og observere faseforskyvinga til den blå, heiltrekte grafen i forhold til den grå, stipla grafen der $\phi =0$.

Den grå, stipla grafen er grafen til $$ f_0\left(x\right)=A\sin \left(kx+0\right)+d$$. For denne grafen er $\phi =0$. Alle sinusfunksjonar der $\phi =0$, skjer $y$-aksen der likevektslinja skjer $y$-aksen, for $$ x=0$$. I dette punktet vil funksjonen alltid vere veksande fordi leddet $$ A\sin \left(kx+0\right)=0$$ når $x=0$, og når $x$-verdiane aukar frå null, aukar òg sinusverdiane og dermed funksjonsverdiane. Vi får at $f_0\left(0\right)=d$. (Funksjonsverdien er òg lik $$ d$$ når $$ kx=\pi $$, men då er funksjonen minkande.)

Nullstill det interaktive GeoGebra-arket med knappen med det runde pilsymbolet øvst til høgre før du går vidare. Kvar har vi tilsvarande skjeringspunkt med likevektslinja for den andre grafen på biletet, den blå grafen til $$ f\left(x\right)=A\sin \left(kx+\phi \right)+d$$?

Grafen til funksjonen $$ f$$ er parallellforskyvd ein avstand $$ -\frac{\phi }{k}$$ langs $$ x$$-aksen i forhold til grafen til $f_0$.

Vi seier at $$ f\left(x\right)$$ har faseforskyvinga $$ x_f=-\frac{\phi }{k}$$. Faseforskyvinga er anten ein negativ $$ x$$-verdi til venstre for $$ y$$-aksen der grafen til $$ f\left(x\right)$$ skjer likevektslinja for veksande funksjonsverdiar, eller ein positiv $$ x$$-verdi til høgre for $$ y$$-aksen der grafen til $$ f\left(x\right)$$ skjer likevektslinja for veksande funksjonsverdiar.

Rekn ut faseforskyvinga når $\phi =-\frac{\pi }{2}$ og $k=0,5$. Kontroller svaret ved hjelp av det interaktive GeoGebra-arket.

Sinusfunksjonar i fase med kvarandre

To sinusfunksjonar med same periode (same $$ k$$ og derfor same frekvens) og same faseforskyving (same $$ 𝜑$$), seier vi er i fase sidan dei har toppunkt og botnpunkt for dei same $$ x$$-verdiane. Dette er tilfellet med dei to funksjonane $$ f$$ og $$ g$$ på biletet nedanfor.

Det kan vere nyttig å kunne lage ei skisse av grafen til ein sinusfunksjon. Dersom vi skal lage ei skisse av grafen til funksjonen $$ f\left(x\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)+1$$ utan hjelpemiddel, vil vi ha god nytte av å finne dei fire storleikane periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyving først.

Finn desse storleikane for funksjonen $$ f$$.

Tenk gjennom korleis du vil bruke desse storleikane når du skal lage skissa. Skriv ein framgangsmåte for korleis du lagar skissa.

På biletet har vi følgt framgangsmåten i forslaget over bortsett frå at vi ikkje har gjort det som står i det siste punktet. Kva veit vi om grafen i punkta $$ F, P$$ og $$ Q$$?

Til slutt kan vi skissere sjølve grafen.