Vektorar i tre dimensjonar

Dei fleste reknereglane for vektorar er like uansett om vektorane er i to eller tre dimensjonar. Sjå gjerne på vektorkapittelet i matematikk R1 dersom du treng repetisjon før du set i gang.

I to dimensjonar

Hugsar du korleis ein finn koordinatane til vektoren mellom to punkt, til dømes punkta $$ A(2,4)$$ og $$ B(7,1)$$? Finn koordinatane til $$ \overrightarrow{AB}$$, og sjekk med framgangsmåten nedanfor.

Utrekning av vektorkoordinatar i to dimensjonar

Vi tek koordinatane til $$ B$$ og trekker frå koordinatane til $$ A$$.

$$ \overrightarrow{AB}=\left[7-2,1-4\right]=\left[5,-3\right]$$

Det betyr at for å komme frå $$ A$$ til $$ B$$, må vi gå 5 einingar i positiv $$ x$$-retning og 3 einingar i negativ $$ y$$-retning. Du kan lese meir om dette i faget R1 på teorisida "Posisjonsvektor og vektor mellom punkt" dersom du vil.

I tre dimensjonar

Vi tenker på same måte når vi skal finne vektoren mellom to punkt i tre dimensjonar. Prøv å finne koordinatane til $$ \overrightarrow{AB}$$ når punkta er$$ A(4,2,1)$$ og $$ B(-1,4,3)$$.

Teikning av vektorar i tre dimensjonar

Bruk GeoGebra. Teikn punkta $$ A$$ og $$ B$$ frå det førre avsnittet. Teikn $$ \overrightarrow{AB}$$ ved å bruke kommandoen Vektor(A,B) i algebrafeltet.

Teikning av vektorar i 3D-grafikkfeltet

Vi skriv først inn punkta i algebrafeltet før vi bruker vektorkommandoen. Resultatet kan sjå slik ut, her har vi skrive inn namnet på vektoren og koordinatane manuelt i koordinatsystemet:

Roter på koordinatsystemet ditt for å sjå korleis vektoren ser ut frå fleire kantar.

Prøv kommandoen v=(-5,2,2) og kommandoen P=(-5,2,2) i algebrafeltet. Kva får du?

Punkt og vektor i GeoGebra

Den første kommandoen lagar den same vektoren som $$ \overrightarrow{AB}$$, men no teikna ut frå origo. Vektorpila endar i punktet $$ P$$. Dersom vi kallar origo for $$ O$$, vil vektoren vi har teikna, kallast $$ \overrightarrow{OP}$$ og vere posisjonsvektoren til punktet $$ P$$.

Merk at når vi bruker ein liten bokstav på namnet slik som i den første av dei to kommandoane, lagar GeoGebra automatisk ein vektor. Bruker vi stor bokstav, lagar GeoGebra eit punkt.

I R1 uttrykker vi vektorar i to dimensjonar ved hjelp av einingsvektorane slik:

$$ \overrightarrow{a}=\left[2,3\right]=2·\overrightarrow{e_x}+3·\overrightarrow{e_y}$$

Her er $$ \overrightarrow{e_x}=\left[1,0\right]$$ og $$ \overrightarrow{e_y}=\left[0,1\right]$$ einingsvektorane i høvesvis $$ x$$- og $$ y$$-retning.

Einingsvektorar i tre dimensjonar

I et tredimensjonalt koordinatsystem må einingsvektorane ha 3 koordinatar. I tillegg må vi ha ein tredje einingsvektor for $$ z$$-retninga. Lengda på vektorane skal framleis vere 1.

Skriv opp namn og koordinatar til dei tre einingsvektorane i tre dimensjonar.

Hugsar du definisjonen på skalarproduktet mellom to vektorar $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ når vinkelen mellom vektorane er $$ \alpha $$?

Skalarproduktet på koordinatform i to dimensjonar

Skalarproduktet mellom vektorane $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x_1,y_1\right]$$$ og $$ $ \overrightarrow{b}=\left[x_2,y_2\right]$$$ på koordinatform er

$$ $ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left[x_1,y_1\right]$·\left[x_2,y_2\right]=x_1·x_2+y_1·y_2$$

Skalarproduktet på koordinatform i tre dimensjonar

Kva trur du skalarproduktet mellom vektorane $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x_1,y_1,z_1\right]$$$ og $$ $ \overrightarrow{b}=\left[x_2,y_2,z_2\right]$$$ på koordinatform blir? Gå til oppgåve 4.1.16 for å utforske dette.

Lengda av $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x,y\right]$$$, $$ \left|\overrightarrow{a}\right|$$, er

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Kva trur du formelen for lengda av $$ $ \overrightarrow{a}=\left[x,y,z\right]$$$ er? Gå til oppgåve 4.1.17 a), b) og c) for å utforske dette før du ser på fasiten nedanfor.

Tenk over

Kvifor kallar vi vektorane $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y} \end{array}$$og $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{e_z}\end{array}$$ einingsvektorar?