Oppgåve

Vektorproduktet. Koordinatformel

Her kan du øve på å finne koordinatane til vektorproduktet.

4.1.40

Rekn ut vektorprodukta utan hjelpemiddel. Kontroller alle svara til slutt med CAS.

a) $[2, 5, 1] \times [1, 2, 3]$

Løysing

Vi set opp ein tabell for at det skal vere lettare å setje opp reknestykket. (NB: Du må ikkje gjere det dersom du ikkje treng det.)

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [2, 5, 1] \times [1, 2, 3] & = & [5 \cdot 3 - 2 \cdot 1, - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1,2 \cdot 2 - 1 \cdot 5] \\ = & [13, -5, -1] \end{array}$

b) $[1, 2, 3] \times [2, 5, 1]$

Løysing

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 5 & 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 2, 3] \times [2, 5, 1] & = & [2 \cdot 1 - 5 \cdot 3, 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1,1 \cdot 5 - 2 \cdot 2] \\ = & [- 13, 5, 1] \end{array}$

Dette svaret kan vi finne utan å rekne når vi veit svaret i oppgåve a) fordi det er dei same vektorane, berre i motsett rekkefølge.

c) $[- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2]$

Løysing

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ - 4 & 0 & - 2 & - 4 & 0 & - 2 \\ 3 & - 1 & 2 & 3 & - 1 & 2 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2] \\ = & [0 \cdot 2 - (- 1) \cdot (- 2), - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (- 4), (- 4) \cdot (- 1) - 3 \cdot 0] \\ = & [- 2, 2, 4] \end{array}$

d) $[3, - 2, 0] \times [- 4, 5, 0]$ . Forklar kvifor svaret blir som det blir.

Løysing

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 3 & - 2 & 0 & 3 & - 2 & 0 \\ - 4 & 5 & 0 & - 4 & 5 & 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [3, - 2, 0] \times [- 4, 5, 0] \\ = & [- 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0, 0 \cdot (- 4) - 0 \cdot 3, 3 \cdot 5 - (- 4) \cdot (- 2)] \\ = & [0, 0, 7] \end{array}$

Resultatet av kryssproduktet er ein vektor som peiker rett oppover, det vil seie parallelt med $z$ -aksen. Det er fordi dei to vektorane som blir kryssmultipliserte, begge har 0 som $z$ -koordinat. Då ligg dei i $x y$ -planet.

e) $[- \frac{1}{2}, 2, 3] \times [3, - \frac{2}{3}, 6]$

Løysing

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ - \frac{1}{2} & 2 & 3 & - \frac{1}{2} & 2 & 3 \\ 3 & - \frac{2}{3} & 6 & 3 & - \frac{2}{3} & 6 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [- 4, 0, - 2] \times [3, - 1, 2] \\ = & [2 \cdot 6 - (- \frac{2}{3}) \cdot 3, 3 \cdot 3 - 6 \cdot (- \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{2}{3}) - 3 \cdot 2] \\ = & [12 + 2, 9 + 3, \frac{1}{3} - 6] \\ = & [14, 12, - \frac{17}{3}] \end{array}$

f) $[1, - \frac{3}{2}, 2] \times [- 2, 3, - 4]$ Kommenter svaret.

Løysing

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & - \frac{3}{2} & 2 & 1 & - \frac{3}{2} & 2 \\ - 2 & 3 & - 4 & - 2 & 3 & - 4 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1 - \frac{3}{2}, 2] \times [- 2, 3, - 4] \\ = & [- \frac{3}{2} \cdot (- 4) - 3 \cdot 2, 2 \cdot (- 2) - (- 4) \cdot 1, 1 \cdot 3 - (- 2) \cdot (- \frac{3}{2})] \\ = & [6 - 6, - 4 + 4, 3 - 3] \\ = & [0, 0, 0] \end{array}$

Når kryssproduktet mellom to vektorar blir nullvektoren, betyr det at dei to vektorane er parallelle.

Kontroll av svara med CAS

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektoren med koordinatane 2, 5 og 1 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatane 1, 2 og 3. Resultatet er vektoren med koordinatane 13, minus 5 og minus 1. På linje 2 er vektoren med koordinatane 1, 2 og 3 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatane 2, 5 og 1. Resultatet er vektoren med koordinatane minus 13, 5 og 1. På linje 3 er vektoren med koordinatane minus 4, 0 og minus 2 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatane 3, minus 1 og 2. Resultatet er vektoren med koordinatane minus 2, 2 og 4. På linje 4 er vektoren med koordinatane 3, minus 2 og 0 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatane minus 4, 5 og 0. Resultatet er vektoren med koordinatane 0, 0 og 7. På linje 5 er vektoren med koordinatane minus 1 halv, 2 og 3 kryssmultiplisert med vektoren med koordinatane 3, minus 2 tredjedelar og 6. Resultatet er vektoren med koordinatane 14, 12 og minus 17 tredjedelar. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

g) Lag eit program som kryssmultipliserer to vektorar som brukaren av programmet skriv inn. Programmet skal skrive ut resultatet.

Tips til oppgåva

I staden for å rekne ut vektorkoordinatane til kryssproduktet slik vi har gjort i deloppgåvene over, kan vi bruke numpyfunksjonen "cross". Dersom a og b er lister eller tabellar med vektorkoordinatane til $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , vil kommandoen cross(a,b) gi ein numpytabell med vektorkoordinatane til $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Løysing

Vi lar brukaren av programmet skrive inn kvar vektor i éi inputsetning, og vi gjer om dette til ei liste ved å bruke kommandoen "split".

python

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finn vektorproduktet mellom to vektorar a og b.")
4a = input("Skriv inn koordinatane til vektor a på forma \"x,y,z\": ")
5b = input("Skriv inn koordinatane til vektor b på forma \"x,y,z\": ")
6
7a = a.split(",")
8for i in range(len(a)):
9  a[i] = float(a[i])
10
11b = b.split(",")
12for i in range(len(b)):
13  b[i] = float(b[i])
14
15axb = np.cross(a,b)
16print(f"Kryssproduktet av vektor a og vektor b blir {list(axb)}.")

I siste linje konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for då blir det skrive ut eit komma mellom kvart listeelement (kvar koordinat). Dersom vi vil, kan vi bruke "list comprehension" på for-lykkjene. Linje 8 og 9 kan då erstattast med kodelinja nedanfor.

python

1a = [float(k) for k in a]

4.1.41

a) Vis utan hjelpemiddel at $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$ ved å bruke vektorkoordinatar.

Løysing

Vi har at $\vec{e_{x}} = [1, 0, 0]$ og $\vec{e_{y}} = [0, 1, 0]$ .

Vi set opp tilsvarande tabell som i dei førre oppgåvene.

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 0, 0] \times [0, 1, 0] & = & [0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1,1 \cdot 1 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, 0, 1] \\ = & \vec{e_{z}} \end{array}$

b) Vis at $\vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}} = - \vec{e_{y}}$ ved å bruke vektorkoordinatar.

Løysing

Vi har at $\vec{e_{x}} = [1, 0, 0]$ og $\vec{e_{z}} = [0, 0, 1]$ .

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [1, 0, 0] \times [0, 0, 1] & = & [0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,1 \cdot 0 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, - 1, 0] \\ = & - \vec{e_{y}} \end{array}$

4.1.42

a) Set $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ og vis at

$\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$

Løysing

Dersom vektorane $\vec{a}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ står normalt på kvarandre, er skalarproduktet mellom vektorane lik 0.

$\vec{a} \times \vec{b} = [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}]$

Vi reknar ut skalarproduktet:

$\begin{array}{l} \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \\ = [x_{1}, y_{1}, z_{1}] . [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] \\ = x_{1} y_{1} z_{2} - x_{1} y_{2} z_{1} + x_{2} y_{1} z_{1} - x_{1} y_{1} z_{2} + x_{1} y_{2} z_{1} - x_{2} y_{1} z_{1} \\ = 0 \end{array}$

Resultatet blir 0 fordi vi har to og to like ledd med motsette forteikn. Vi har dermed vist at $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ .

b) Vis at $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ når $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ved å rekne ut vektorproduktet med koordinatformelen.

Tips til oppgåva

Dersom vi set $\vec{a} = [x, y, z]$ , vil $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$ vere ein vilkårleg vektor som er parallell med $\vec{a}$ .

Løysing

Vi startar med å finne koordinatane til $\vec{b}$ .

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = k [x, y, z] = [k x, k y, k z]$

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ x & y & z & x & y & z \\ k x & k y & k z & k x & k y & k z \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} [x, y, z] \times [k x, k y, k z] \\ = & [y \cdot k z - k y \cdot z, z \cdot k x - k z \cdot x, x \cdot k y - k y \cdot x] \\ = & [0, 0, 0] \end{array}$

4.1.40

4.1.41

4.1.42

Reglar for bruk av teksten "Vektorproduktet. Koordinatformel"