Vektorar i tre dimensjonar

Ein vektor har både ei lengde og ei retning, mens ein skalar er berre eitt tal.

Farten til ein bil er ein vektor.
Tyngdekrafta er ein vektor.
Forflytting er ein vektor.

Temperatur er ein skalar.
Volum er ein skalar.
100 kroner er ein skalar.

$$ \overrightarrow{OA}$$ får dei same koordinatane som $$ A$$:

$$ \overrightarrow{OA}=\left[-2,3,4\right]$$

$$ \overrightarrow{AB}=\left[5-\left(-2\right),-1-3,2-4\right]=\left[7,-4,-2\right]$$

Vi set $$ Q=\left(x,y,z\right)$$. Dette gir

$$ \overrightarrow{AQ}=\left[x-\left(-2\right),y-3,z-4\right]=\left[x+2,y-3,z-4\right]$$

Vidare får vi at

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AQ} & =& \left[0,3,-4\right]\\ \left[x+2,y-3,z-4\right] & =& \left[0,3,-4\right]\end{array}$$

Ut frå dette får vi desse tre likningane:

$$ \begin{array}{rcl}x+2 & =& 0 \wedge y-3=3 \wedge z-4=-4\\ x & =& -2 \wedge y=6 \wedge z=0\end{array}$$

Vi får at $$ Q=\left(-2,6,0\right)$$.

Vi set $$ S=\left(x,y,z\right)$$. Dette gir

$$ \overrightarrow{SB}=\left[5-x,-1-y,2-z\right]$$

Vidare får vi at

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{SB} & =& \left[0,3,-4\right]\\ \left[5-x,-1-y,2-z\right] & =& \left[0,3,-4\right]\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}5-x & =& 0 \wedge -1-y=3 \wedge 2-z=-4\\ x & =& 5 \wedge y=-4 \wedge z=6\end{array}$$

Vi får at $$ S=\left(5,-4,6\right)$$.

Vi set $$ M=\left(x,y,z\right)$$. Det betyr at

$$ \overrightarrow{AM}=\left[x-\left(-2\right),y-3,z-4\right]=\left[x+2,y-3,z-4\right]$$

Vi har dessutan at når $$ M$$ er midtpunktet på $$ AB$$, er

$$ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left[7,-4,-2\right]=\left[\frac{7}{2},-2,-1\right]$$

Desse to uttrykka for $$ \overrightarrow{AM}$$ må vere like. Då får vi

$$ \begin{array}{rcl}x+2 & =& \frac{7}{2} \wedge y-3=-2 \wedge z-4=-1\\ x & =& \frac{3}{2} \wedge y=1 \wedge z=3\end{array}$$

Vi får at $$ M=\left(\frac{3}{2},1,3\right)$$.

Løysing med CAS:

Éi løysing er at $$ C=A$$. Den andre løysinga er at $$ B$$ blir midtpunktet på $$ AC$$. Sjå figuren nedanfor.

For å finne den andre løysinga kan vi bruke den same framgangsmåten som i den førre oppgåva.

Vi set $$ C=\left(x,y,z\right)$$. Det betyr at

$$ \overrightarrow{AC}=\left[x-\left(-2\right),y-3,z-4\right]=\left[x+2,y-3,z-4\right]$$

Vi har dessutan at når $$ B$$ er midtpunktet på $$ AC$$, er

$$ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}=2\left[7,-4,-2\right]=\left[14,-8,-4\right]$$

Desse to uttrykka for $$ \overrightarrow{AC}$$ må vere like. Då får vi

$$ \begin{array}{rcl}x+2 & =& 14 \wedge y-3=-8 \wedge z-4=-4\\ x & =& 12 \wedge y=-5 \wedge z=0\end{array}$$

Vi får at $$ C=A=\left(-2,3,4\right) \vee C=\left(12,-5,0\right)$$.

Den andre løysinga kan kontrollerast med CAS på den same måten som i den førre oppgåva.

$$ 3\overrightarrow{a}=3\left[1,2,-3\right]=\left[3·1,3·2,3·\left(-3\right)\right]=\left[3,6,-9\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} & =& \left[1,2,-3\right]+\left[-3,2,4\right]\\ & =& \left[1+\left(-3\right),2+2,-3+4\right]\\ & =& \left[-2,4,1\right]\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} & =& \left[1,2,-3\right]-\left[-3,2,4\right]\\ & =& \left[1-\left(-3\right),2-2,-3-4\right]\\ & =& \left[4,0,-7\right]\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} & =& \left[1,2,-3\right]-3\left[-3,2,4\right]\\ & =& \left[1-3·\left(-3\right),2-3·2,-3-3·4\right]\\ & & \left[1+9,2-6,-3-12\right]\\ & =& \left[10,-4,-15\right]\end{array}$$

Vi set $$ \overrightarrow{c}=\left[x,y,z\right]$$. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c} & =& \left[1,2,-3\right]-2\left[x,y,z\right]\\ \left[0,\frac{4}{3},-7\right] & =& \left[1-2x,2-2y,-3-2z\right]\\ 0 & =& 1-2x \wedge \frac{4}{3}=2-2y \wedge -7=-3-2z\\ 2x & =& 1 \wedge 2y=\frac{2}{3} \wedge 2z=4\\ x & =& \frac{1}{2} \wedge y=\frac{1}{3} \wedge z=2\end{array}$$

Vi får $$ \overrightarrow{c}=\left[\frac{1}{2},\frac{1}{3},2\right]$$.

$$ \left[2,5,-1\right]= 2\overrightarrow{e_x}+5\overrightarrow{e_y}-\overrightarrow{e_z}$$

$$ \left[-3,2,\frac{1}{2}\right]=-3\overrightarrow{e_x}+2\overrightarrow{e_y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{e_z}$$

$$ \left[-\frac{3}{4},0,\frac{2}{3}\right]=-\frac{3}{4}\overrightarrow{e_x}+\frac{2}{3}\overrightarrow{e_y}$$

$$ \overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_y}=\left|\overrightarrow{e_x}\right|·\left|\overrightarrow{e_y}\right|·\cos 90°=1·1·0=0$$

$$ \overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_z}=\left|\overrightarrow{e_x}\right|·\left|\overrightarrow{e_z}\right|·\cos 90°=1·1·0=0$$

$$ \overrightarrow{e_y}·\overrightarrow{e_z}=\left|\overrightarrow{e_y}\right|·\left|\overrightarrow{e_z}\right|·\cos 90°=1·1·0=0$$

$$ \overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_x}=\left|\overrightarrow{e_x}\right|·\left|\overrightarrow{e_x}\right|·\cos 0°=1·1·1=1$$

$$ \overrightarrow{e_y}·\overrightarrow{e_y}=\left|\overrightarrow{e_y}\right|·\left|\overrightarrow{e_y}\right|·\cos 0°=1·1·1=1$$

$$ \overrightarrow{e_z}·\overrightarrow{e_z}=\left|\overrightarrow{e_z}\right|·\left|\overrightarrow{e_z}\right|·\cos 0°=1·1·1=1$$

$$ $ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& = & \left(x_1\overrightarrow{e_x}+y_1\overrightarrow{e_y}+z_1\overrightarrow{e_z}\right)·\left(x_2\overrightarrow{e_x}+y_2\overrightarrow{e_y}+z_2\overrightarrow{e_z}\right)\\ & & \\ & =& x_1\overrightarrow{e_x}·x_2\overrightarrow{e_x}+x_1\overrightarrow{e_x}·y_2\overrightarrow{e_y}+x_1\overrightarrow{e_x}·z_2\overrightarrow{e_z}\\ & & +y_1\overrightarrow{e_y}·x_2\overrightarrow{e_x}+y_1\overrightarrow{e_y}·y_2\overrightarrow{e_y}+y_1\overrightarrow{e_y}·z_2\overrightarrow{e_z}\\ & & +z_1\overrightarrow{e_z}·x_2\overrightarrow{e_x}+z_1\overrightarrow{e_z}·y_2\overrightarrow{e_y}+z_1\overrightarrow{e_z}·z_2\overrightarrow{e_z}\\ & & \\ & =& x_1·x_2·\overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_x}+x_1·y_2·\overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_y}+x_1·z_2·\overrightarrow{e_x}·\overrightarrow{e_z}\\ & & +y_1·x_2·\overrightarrow{e_y}·\overrightarrow{e_x}+y_1·y_2·\overrightarrow{e_y}·\overrightarrow{e_y}+y_1·z_2·\overrightarrow{e_y}·\overrightarrow{e_z}\\ & & +z_1·x_2·\overrightarrow{e_z}·\overrightarrow{e_x}+z_1·y_2·\overrightarrow{e_z}·\overrightarrow{e_y}+z_1·z_2·\overrightarrow{e_z}·\overrightarrow{e_z}\\ & & \\ & =& x_1·x_2·1+x_1·y_2·0+x_1·z_2·0\\ & & +y_1·x_2·0+y_1·y_2·1+y_1·z_2·0\\ & & +z_1·x_2·0+z_1·y_2·0+z_1·z_2·1\\ & & \\ & =& x_1·x_2+y_1·y_2+z_1·z_2\end{array}$$$

$$ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{a}\right|·\cos 0={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 \Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}}$$

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{a}\right| & =& \sqrt{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}}\\ & =& \sqrt{\left[x,y,z\right]·\left[x,y,z\right]}\\ & =& \sqrt{x·x+y·y+z·z}\\ & =& \sqrt{x^2+y^2+z^2}\end{array}$$

Sidan $$ C$$ ligg i $$ xy$$-planet rett under $$ P$$, vil $$ C$$ ha koordinatane $$ \left(x,y,0\right)$$. Trekanten $$ OCD$$ er rettvinkla. Det betyr at koordinatane til $$ D$$ er $$ \left(x,0,0\right)$$. Ved å bruke pytagorassetninga får vi at

$$ OC=\sqrt{O{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$

Ved å gjere tilsvarande med den rettvinkla trekanten $$ OPC$$ får vi at

$$ \left|\overrightarrow{OP}\right|=OP=\sqrt{O{C}^2+C{P}^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b} & =& \left[1,2,-3\right]·\left[-3,2,4\right]\\ & =& 1·\left(-3\right)+2·2,+\left(-3\right)·4\\ & =& -3+4-12\\ & =& -11\end{array}$$

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$$

$$ \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2+4^2}=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}$$

I staden for å bruke kommandoen Lengde(a), kan vi skrive |a|.

Frå skalarproduktet $$ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$$ og resultata i oppgåvene a) og b) får vi at

$$ \begin{array}{rcl}\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right) & =& \frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|}\\ & =& \frac{-11}{\sqrt{14}·\sqrt{29}}\end{array}$$

Det er mange måtar å gjere dette på. Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Vinkel".

I linje 4 har vi delt på gradsymbolet for å få vinkelen i gradar. Alternativt kan vi dele på π og multiplisere med 180°.

Vinkelen mellom $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ er 123,1°.

Vi reknar ut skalarproduktet og set det lik 0.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v} & =& 0\\ \left[1,2,3\right]·\left[2,-4,t\right] & =& 0\\ 2-8+3t & =& 0\\ 3t-6 & =& 0\\ t & =& 2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} & =& \left[3,-2,4\right]\\ \left[1,2,3\right]+\left[2,-4,t\right] & =& \left[3,-2,4\right]\\ \left[1+2,2-4,3+t\right]& =& \left[3,-2,4\right]\\ \left[3,-2,3+t\right] & =& \left[3,-2,4\right]\end{array}$$

$$ x$$- og $$ y$$-koordinatane er like på venstre og høgre side. $$ z$$-koordinatane må òg vere like for at likninga skal vere oppfylt. Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}3+t & =& 4\\ t & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{v}\right| & =& 6\\ \left|\left[2,-4,t\right]\right| & =& 6\\ \sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2+t^2} & =& 6\\ 4+16+t^2 & =& 36\\ t^2 & =& 36-20\\ & =& 16\\ t & =& -4 \vee t=4\end{array}$$

Dersom $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ skal vere parallelle, må det finst ein $$ k$$ slik at

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u} & =& k·\overrightarrow{v}\\ \left[1,2,3\right] & =& k\left[2,-4,t\right]\end{array}$$

Dette gir tre likningar, éi for kvar av koordinatane.

$$ 1=2k \wedge 2=-4k \wedge 3=kt$$

Dei to første likningane gir ulik løysing for $$ k$$. Då finst det ikkje nokon verdi for $$ t$$ som gjer at vektorane $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ er parallelle.

Dersom $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{w}$$ skal vere parallelle, må det finst ein $$ k$$ slik at

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u} & =& k·\overrightarrow{w}\\ \left[1,2,3\right] & =& k\left[2,s,t\right]\end{array}$$

Dette gir tre likningar, éi for kvar av koordinatane.

$$ 1=2k \wedge 2=ks \wedge 3=kt$$

Den første likninga gir $$ k=\frac{1}{2}$$. Den andre likninga gir

$$ s=\frac{2}{k}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=4$$

Den tredje likninga gir

$$ t=\frac{3}{k}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=6$$

Vektorane $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{w}$$ er parallelle dersom $$ s=4$$ og $$ t=6$$.

Merk at vi òg kan finne skalarproduktet mellom $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ med kommandoen Skalarprodukt(u,v). Lengda av $$ \overrightarrow{v}$$ kan vi òg finne med kommandoen Lengde(v).

Vi kan skrive inn alle koordinatane éin og éin, men ved hjelp av metoden "split" kan vi skrive inn éin og éin vektor.

Idéen er å få lagra koordinatane til kvart punkt som ei liste og gjere om listene til ein numpy-array slik at vi kan trekke den eine frå den andre i éin operasjon. Brukaren av programmet kan skrive inn eitt og eitt punkt som vi gjer om til ei liste ved hjelp av metoden "split".

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finn vektoren mellom to punkt A og B.")
4A = input("Skriv inn koordinatane til startpunktet A på forma \"x,y,z\": ")
5B = input("Skriv inn koordinatane til endepunktet B på forma \"x,y,z\": ")
6
7A = A.split(",")
8for i in range(len(A)):
9  A[i] = float(A[i])
10A = np.array(A)
11
12B = B.split(",")
13for i in range(len(B)):
14  B[i] = float(B[i])
15B = np.array(B)
16
17vektor = B - A
18print(f"Vektoren mellom A og B blir {list(vektor)}.")

Legg merke til at for å få skrive ut apostrofane i inputsetningane, skriv vi "\" (omvend skråstrek) framfor dei. I den siste linja konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for då blir det skrive ut eit komma mellom kvart listeelement (kvar koordinat).

Det er mogleg å lage kortare kode enn dette dømet. Ved å bruke såkalla "list comprehension" kan vi til dømes slå saman linje 8 til 10 og linje 13 til 15. Koden nedanfor gjer det same som linje 8 til 10:

1A = np.array([float(k) for k in A])

Vi kan vidare slå saman denne linja med linje 7 slik at linjene 7 til 10 kan skrivast som

1A = np.array([float(k) for k in A.split(",")])