Fagartikkel

Areal og volum med vektorproduktet

Vi kan gjere geometriske utrekningar med vektorproduktet.

Arealutrekningar med vektorproduktet

Arealsetninga for trekantar

Illustrasjon av trekanten A B C der sida liten a er motståande side til hjørnet stor A. Det er tilsvarande for dei andre hjørna. Høgda h frå hjørnet B ned på sida A C er teikna inn. Vinkel C er markert. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Hugsar du arealsetninga for trekantar? Vi bruker ho når vi kjenner to av sidene i trekanten og den mellomliggande vinkelen.

Studer figuren. Arealsetninga, som gir oss arealet $A_{△}$ av trekanten $A B C$ , er gitt ved

$A_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

Arealsetninga for trekantar med vektorproduktet

Illustrasjon av ein trekant som er spend ut av vektorane a-vektor og b-vektor. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

No tenker vi oss den same trekanten, men spend ut av vektorane $\vec{a}$ og $\vec{b}$ , sjå figuren. Vi kallar vinkelen mellom vektorane for $θ$ . Kan du forme om arealsetninga ved å bruke dei nye namna på sidene?

Arealet med vektorar

Forskjellen blir berre at vi erstattar $a$ med $| \vec{a} |$ , $b$ med $| \vec{b} |$ og vinkelen $C$ med vinkelen $θ$ . Vi får

$A_{△} = \frac{1}{2} | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Tenk over

Uttrykket i boksen over er svært likt lengda av vektorproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Kva er forskjellen?

Forklaring

Forskjellen er berre faktoren $\frac{1}{2}$ .

Sidan $|\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$ , får vi derfor følgande formel for arealet $A_{△}$ ut ifrå $|\vec{a} \times \vec{b}|$ :

Arealet av ein trekant spend ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Arealsetninga for parallellogram

Illustrasjon av parallellogram spent ut av vektorane a-vektor og b-vektor. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Figuren viser eit parallellogram spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Tenk over

Forklar kvifor figuren er eit parallellogram.

Forklaring

Sidan to av sidene er $\vec{a}$ og de to andre er $\vec{b}$ , er to og to sider parvis parallelle og like lange. Da er figuren et parallellogram.

Tenk over

Kva er forskjellen på arealet $A_{▱}$ av parallellogrammet og arealet $A_{△}$ av trekanten lenger opp på sida?

Forklaring

Parallellogrammet spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er dobbelt så stort som den tilsvarande trekanten som er spend ut av dei same vektorane. Det gir

$A_{▱} = 2 A_{△} = 2 \cdot \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Då kan vi skrive opp formelen for arealet $A_{▱}$ av parallellogrammet spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ :

Arealet av eit parallellogram spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{▱} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Tenk over

Gjeld formelen i boksen over for rektangel?

Forklaring

Sidan eit rektangel òg er eit parallellogram, må formelen òg gjelde for rektangel. Dette er bevis godt nok, men vi kan forklare det slik:

For eit rektangel spent ut av vektoren $\vec{a}$ og $\vec{b}$ vil arealet $A_{▭}$ vere gitt som $A_{▭} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ . Vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er lik 90°. Frå formelen for arealet av eit parallellogram får vi då

$A_{▭} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin 90 ° = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$

Arealformelen for parallellogram gjeld derfor òg for rektangel.

Volumutrekningar med vektorproduktet

Volumet av eit parallellepiped

Eit parallellepiped er ein sekskanta lekam der to og to sideflater er like og parallelle. Du kjenner det kanskje som "skrått prisme" frå tidlegare.

Nedanfor har vi teikna eit parallellepiped spent ut av dei tre vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ på tilsvarande måte som vektorane $\vec{a}$ og $\vec{b}$ spenner ut eit parallellogram i to dimensjonar. Figuren er interaktiv, så du kan dra i han for å studere han frå fleire sider.

Vi ønsker å finne volumet av parallellepipedet uttrykt ved vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ . Formelen for volumet av eit parallellepiped er den same som for eit firkanta prisme:

$V = G \cdot h$

der $G$ er arealet av den flata vi vel som grunnflate, og $h$ er avstanden mellom grunnflata og det som blir toppflata.

No vel vi flata som er spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som grunnflate. Då er det $h$ på figuren som blir høgda eller avstanden mellom grunnflate og toppflate.

Arealet $G$ av grunnflata, som har form som eit parallellogram, blir

$G = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Tenk over

Vi treng vidare å finne eit uttrykk for høgda $h$ . Kva blir uttrykket for $h$ gitt ut ifrå $\vec{c}$ og vinkelen $α$ ?

Uttrykket for høgda

$\vec{c}$ er hypotenusen i ein rettvinkla trekant der $h$ er hosliggande katet til vinkel $α$ . Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \cos α & = & \frac{h}{|\vec{c}|} \\ h & = & |\vec{c}| \cdot \cos α \end{array}$

No kan vi lage ein formel for volumet av parallellepipedet:

$\begin{array}{rcl} V & = & G \cdot h \\ = & |\vec{a} \times \vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos α \end{array}$

Dette er det same som skalarproduktet mellom vektorane $\vec{c}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ sidan $α$ er vinkelen mellom desse. Resultatet blir at volumet kan skrivast som ein kombinasjon av eit vektorprodukt og eit skalarprodukt!

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Sidan vi kan ha tilfelle der $α > 90 °$ , som gjer at skalarproduktet blir negativt, må vi ta absoluttverdien av skalarproduktet.

Tenk over

Speler rekkefølga av dei tre vektorane noka rolle for resultatet av utrekninga av volumet?

Forklaring

Som vi ymta om over, speler det inga rolle kva for ei av flatene vi vel som grunnflate. Då kan heller ikkje rekkefølga av dei tre vektorane bety noko.

Volumet av pyramidar

Figuren nedanfor viser ein trekanta og ein firkanta pyramide spend ut av vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Illustrasjon som viser to pyramidar, ein trekanta og ein firkanta pyramide. Begge pyramidane er spende ut av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, men grunnflata i den firkanta pyramiden er eit parallellogram spent ut av a-vektor og b-vektor, mens grunnflata i den trekanta pyramiden er ein trekant spent ut av a-vektor og b-vektor. — Trekanta og firkanta pyramide spende ut av tre vektorar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Gå til oppgåve 4.1.52 på oppgåvesida "Areal og volum med vektorproduktet" for å komme fram til formlane for volumet.

Nedanfor har vi samanfatta formlane på denne sida.

Areal- og volumformlar samanfatta

Arealet av ein trekant spend ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$

Arealet av eit parallellogram spent ut av $\vec{a}$ og $\vec{b}$

$A_{▱} = |\vec{a} \times \vec{b}| = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \sin θ$

Volumet av eit parallellepiped spent ut av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumet av ein firkanta pyramide spend ut av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V_{▱} = \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumet av ein trekanta pyramide (tetraeder) spend ut av $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$

$V_{△} = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Video om arealet av trekantar spende ut av tre vektorar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om arealet av parallellogram spende ut av tre vektorar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om volumet av eit parallellepiped spent ut av tre vektorar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om volumet av pyramidar spende ut av vektorar

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0