Vi kan gjere geometriske utrekningar med vektorproduktet.
Arealutrekningar med vektorproduktet
Arealsetninga for trekantar
Hugsar du arealsetninga for trekantar? Vi bruker ho når vi kjenner to av sidene i trekanten og den mellomliggande vinkelen.
Studer figuren. Arealsetninga, som gir oss arealet av trekanten , er gitt ved
Arealsetninga for trekantar med vektorproduktet
No tenker vi oss den same trekanten, men spend ut av vektorane og , sjå figuren. Vi kallar vinkelen mellom vektorane for . Kan du forme om arealsetninga ved å bruke dei nye namna på sidene?
Arealet med vektorar
Forskjellen blir berre at vi erstattar med , med og vinkelen med vinkelen . Vi får
Tenk over
Uttrykket i boksen over er svært likt lengda av vektorproduktet mellom og . Kva er forskjellen?
Forklaring
Forskjellen er berre faktoren .
Sidan , får vi derfor følgande formel for arealet ut ifrå :
Arealet av ein trekant spend ut av og
Arealsetninga for parallellogram
Figuren viser eit parallellogram spent ut av og .
Tenk over
Forklar kvifor figuren er eit parallellogram.
Forklaring
Sidan to av sidene er og de to andre er , er to og to sider parvis parallelle og like lange. Da er figuren et parallellogram.
Tenk over
Kva er forskjellen på arealet ▱ av parallellogrammet og arealet av trekanten lenger opp på sida?
Forklaring
Parallellogrammet spent ut av og er dobbelt så stort som den tilsvarande trekanten som er spend ut av dei same vektorane. Det gir
▱
Då kan vi skrive opp formelen for arealet ▱ av parallellogrammet spent ut av og :
Arealet av eit parallellogram spent ut av og
▱
Tenk over
Gjeld formelen i boksen over for rektangel?
Forklaring
Sidan eit rektangel òg er eit parallellogram, må formelen òg gjelde for rektangel. Dette er bevis godt nok, men vi kan forklare det slik:
For eit rektangel spent ut av vektoren og vil arealet ▭ vere gitt som ▭. Vinkelen mellom og er lik 90°. Frå formelen for arealet av eit parallellogram får vi då
▭
Arealformelen for parallellogram gjeld derfor òg for rektangel.
Volumutrekningar med vektorproduktet
Volumet av eit parallellepiped
Eit parallellepiped er ein sekskanta lekam der to og to sideflater er like og parallelle. Du kjenner det kanskje som "skrått prisme" frå tidlegare.
Nedanfor har vi teikna eit parallellepiped spent ut av dei tre vektorane og på tilsvarande måte som vektorane og spenner ut eit parallellogram i to dimensjonar. Figuren er interaktiv, så du kan dra i han for å studere han frå fleire sider.
Vi ønsker å finne volumet av parallellepipedet uttrykt ved vektorane og . Formelen for volumet av eit parallellepiped er den same som for eit firkanta prisme:
der er arealet av den flata vi vel som grunnflate, og er avstanden mellom grunnflata og det som blir toppflata.
No vel vi flata som er spent ut av og som grunnflate. Då er det på figuren som blir høgda eller avstanden mellom grunnflate og toppflate.
Arealet av grunnflata, som har form som eit parallellogram, blir
Tenk over
Vi treng vidare å finne eit uttrykk for høgda . Kva blir uttrykket for gitt ut ifrå og vinkelen ?
Uttrykket for høgda
er hypotenusen i ein rettvinkla trekant der er hosliggande katet til vinkel . Det betyr at
No kan vi lage ein formel for volumet av parallellepipedet:
Dette er det same som skalarproduktet mellom vektorane og sidan er vinkelen mellom desse. Resultatet blir at volumet kan skrivast som ein kombinasjon av eit vektorprodukt og eit skalarprodukt!
Sidan vi kan ha tilfelle der , som gjer at skalarproduktet blir negativt, må vi ta absoluttverdien av skalarproduktet.
Tenk over
Speler rekkefølga av dei tre vektorane noka rolle for resultatet av utrekninga av volumet?
Forklaring
Som vi ymta om over, speler det inga rolle kva for ei av flatene vi vel som grunnflate. Då kan heller ikkje rekkefølga av dei tre vektorane bety noko.
Volumet av pyramidar
Figuren nedanfor viser ein trekanta og ein firkanta pyramide spend ut av vektorane og .
Trekanta og firkanta pyramide spende ut av tre vektorar.
