Oppgåve

Interaktivt innhald

Koordinatsystem i tre dimensjonar. Avstand mellom punkt

Her kan du jobbe med oppgåver om punkt i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

a) Teikn ei skisse for hand av eit koordinatsystem med tre aksar, $x$ , $y$ og $z$ . Skriv på tal på aksane.

Løysing

Skissa kan til dømes sjå ut som på biletet.

Tredimensjonalt koordinatsystem som er teikna for x-verdiar mellom minus 2 og 7, y-verdier mellom minus 4 og 5 og z-verdiar mellom minus 2 og 5. Illustrasjon. — Tredimensjonalt koordinatsystem

b) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg på kvar av dei tre aksane.

Teikn punkta inn på skissa frå oppgåve a).

Teikn punkta i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dei inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepeikaren for å sjå punkta frå fleire sider.

Løysing

Punkt som ligg på $x$ -aksen, må ha $y$ - og $z$ -koordinat lik 0. Vi vel $(5, 0, 0)$ og $(- 2, 0, 0)$ .

Punkt som ligg på $y$ -aksen, må ha $x$ - og $z$ -koordinat lik 0. Vi vel $(0, 4, 0)$ og $(0, - 3, 0)$ .

Punkt som ligg på $z$ -aksen, må ha $x$ - og $y$ -koordinat lik 0. Vi vel $(0, 0, 3)$ og $(0, 0, - 2)$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem. Totalt 6 punkt, 2 på kvar av dei tre koordinataksane, er teikna inn. Koordinatane til punkta er beskrivne i teksten på sida. Illustrasjon. — Punkt på x-, y- og z-aksen

c) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg i

$x y$ -planet
$x z$ -planet
$y z$ -planet

Teikn punkta inn for hand på ei ny skisse av eit tredimensjonalt koordinatsystem.

Teikn punkta i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dei inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepeikaren for å sjå punkta frå fleire sider.

Løysing

I $x y$ -planet må $z$ -koordinaten vere lik 0. Vi vel punkta $(5, 2, 0)$ og $(0, 4, 0)$ .

I $x z$ -planet må $y$ -koordinaten vere lik 0. Vi vel punkta $(- 1, 0, - 2)$ og $(- 2, 0, 1)$ .

I $y z$ -planet må $x$ -koordinaten vere lik 0. Vi vel punkta $(0, 2, - 2)$ og $(0, - 3, 1)$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem der totalt 6 punkt, 2 i kvart av dei tre koordinatplana, er teikna inn. Koordinatane til punkta er beskrivne i teksten på sida. Illustrasjon. — Punkt i xy-, xz- og yz-planet

Oppgåve 2

a) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg i både $x y$ -planet og i $x z$ -planet.

Løysing

$x y$ -planet og $x z$ -planet skjer kvarandre i ei linje – $x$ -aksen. Vi vel punkta $(5, 0, 0)$ og $(- 2, 0, 0)$ frå oppgåve 1 b) over.

b) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg i både $x y$ -planet og i $y z$ -planet.

Løysing

$x y$ -planet og $y z$ -planet skjer kvarandre i ei linje – $y$ -aksen. Vi vel punkta $(0, 4, 0)$ og $(0, - 3, 0)$ frå oppgåve 1 b) over.

c) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg i både $x z$ -planet og i $y z$ -planet.

Løysing

$x z$ -planet og $y z$ -planet skjer kvarandre i ei linje – $z$ -aksen. Vi vel punkta $(0, 0, 3)$ og $(0, 0, - 2)$ frå oppgåve 1 b) over.

d) Skriv opp koordinatane til 2 vilkårlege punkt som ligg i både $x y$ -planet, $x z$ -planet og i $y z$ -planet.

Løysing

Dei tre koordinatplana møtest i eitt punkt: origo. Det finst derfor ikkje to punkt som oppfyller kriteria, berre eitt.

Oppgåve 3

Teikn punkta $A (1, 1, 0)$ og $B (5, 4, 0)$ i GeoGebra.

a) Kva for eit koordinatplan ligg punkta i?

Løysing

Sidan $z$ -koordinatane er 0, vil begge punkta ligge i $x y$ -planet.

b) Finn utan hjelpemiddel eit nytt punkt $C$ i $x y$ -planet slik at punktet dannar ein rettvinkla trekant med $A$ og $B$ . Kontroller at resultatet stemmer, ved å teikne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løysing

Punktet $C$ kan til dømes ha $x$ -koordinaten til $B$ og $y$ -koordinaten til $A$ , det vil seie at $C = (5, 1, 0)$ .

Finn du fleire løysingar?

c) Finn utan hjelpemiddel eit nytt punkt $D$ utanfor $x y$ -planet slik at punktet dannar ein rettvinkla trekant med $A$ og $B$ . Kontroller at resultatet stemmer, ved å teikne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løysing

Dersom punktet $D$ ligg rett over anten $A$ eller $B$ , vil dei tre punkta utgjere ein rettvinkla trekant. Dersom $D$ ligg til dømes rett over $A$ med avstand 2, betyr det at koordinatane til $D$ er lik koordinatane til $A$ med unntak av at $z$ -koordinaten til $D$ må vere 2. Vi får at $D = (1, 1, 2)$ .

Oppgåve 4

Finn koordinatane til punktet i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor.

Tips til oppgåva

Du kan snu på koordinatsystemet ved å dra i det.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist.(GGB)

Løysing

Punktet har koordinatane $(- 2, 3, 1)$ .

Oppgåve 5

Vi skal komme fram til eit uttrykk eller ein formel for avstanden $O P$ frå origo til punktet $P (x, y, z)$ . I den interaktive figuren nedanfor kan du rotere på koordinatsystemet.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist.(GGB)

a) Skriv opp koordinatane til punkta $C$ og $D$ , og finn lengda av linjestykka $O D$ og $C D$ .

Tips til oppgåva

Ta utgangspunkt i at $P = (x, y, z)$ .

Løysing

Sidan $C$ ligg i $x y$ -planet rett under punktet $P$ , må $z$ -koordinaten til $C$ vere lik 0, mens dei to andre koordinatane må vere lik tilsvarande koordinatar i $P$ . Derfor får vi

$C = (x, y, 0)$

Sidan $D$ ligg på $x$ -aksen, må $y$ - og $z$ -koordinaten til punktet vere 0. Linjestykket $C D$ står normalt (vinkelrett) på $x$ -aksen. Då må dei to punkta $C$ og $D$ ha same $x$ -koordinat. Derfor får vi

$D = (x, 0, 0)$

$O D$ har derfor lengde lik $| x |$ . Sidan $C D$ er parallell med $y$ -aksen, må lengda av linjestykket vere lik forskjellen i $y$ -koordinatar mellom $C$ og $D$ , altså $| y |$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} O D & = & | x | \\ C D & = & | y | \end{array}$

b) Finn eit uttrykk for avstanden $O C$ frå origo til punktet $C$ .

Løysing

Vi kan bruke pytagorassetninga på linjestykka $O C$ , $O D$ og $C D$ sidan dei utgjer ein rettvinkla trekant. Då får vi

$O C = \sqrt{O D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{{|x|}^{2} + {|y|}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

c) Finn eit uttrykk for avstanden $O P$ frå origo til punktet $P$ ved å bruke resultatet i oppgåve b).

Løysing

Vi kan igjen bruke pytagorassetninga på linjestykka $O P, O C$ og $C P$ . Sidan $C P$ er parallell med $z$ -aksen, må lengda av linjestykket vere lik forskjellen i $z$ -koordinatar mellom $C$ og $P$ , altså $| z |$ . Vi får

$O P = \sqrt{O C^{2} + C P^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} + {|z|}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Oppgåve 6

Vi skal komme fram til eit uttrykk eller ein formel for avstanden mellom to punkt $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . I den interaktive figuren nedanfor kan du rotere på koordinatsystemet.

Last ned simuleringa her om ho ikkje blir vist.(GGB)

Finn ein slik formel.

Tips til oppgåva

Vi kan bruke den same framgangsmåten som i den førre oppgåva.

Løysing

Linjestykket $A D$ er parallelt med $x$ -aksen og vil derfor ha lengde lik absoluttverdien av forskjellen i $x$ -koordinatar. Tilsvarande får vi for linjestykket $C D$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} A D & = & |x_{2} - x_{1}| \\ C D & = & |y_{2} - y_{1}| \end{array}$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} \\ = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \end{array}$

Tilsvarande får vi at $B C = |z_{2} - z_{1}|$ . Dersom vi bruker pytagorassetninga på nytt, får vi

$\begin{array}{rcl} A B & = & \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} \\ = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

Oppgåve 7

a) Kva er avstanden frå punktet $A (- 5, 4, 3)$ til kvart av dei tre koordinatplana?

Løysing

Med avstand meiner vi alltid den kortaste moglege avstanden. Avstanden frå $A$ til $x y$ -planet er lik avstanden frå punktet $A$ til punktet $B$ på figuren nedanfor. Vi kan bruke formelen vi fann i den førre oppgåva, men sidan $B$ ligg i $x y$ -planet rett under $A$ , blir avstanden lik absoluttverdien av $z$ -koordinaten til $A$ . Sjå figuren nedanfor.

Tredimensjonalt koordinatsystem der punktet A med koordinatane minus 5, 4 og 3 er teikna inn. Punktet B ligg i xy-planet rett under punktet A og har koordinatane minus 5, 4 og 0. Linjene frå B vinkelrett på x-aksen og y-aksen er markert. Illustrasjon. — Avstand mellom eit punkt og xy-planet

Ved å gjere tilsvarande betraktning med dei to andre koordinatplana får vi at avstanden frå $A$ til $x z$ -planet blir lik absoluttverdien av $y$ -koordinaten til $A$ , og avstanden frå $A$ til $y z$ -planet blir lik absoluttverdien til $z$ -koordinaten til $A$ . Dette gir desse resultata:

Avstand frå $A$ til $x y$ -planet: $|z| = 3$
Avstand frå $A$ til $x z$ -planet: $|y| = 4$
Avstand frå $A$ til $y z$ -planet: $|x| = 5$

b) Kva er avstanden frå punktet $A$ til kvar av dei tre koordinataksane?

Løysing

Vi byrjar med avstanden til $x$ -aksen. Den kortaste moglege avstanden til $x$ -aksen blir lengda av linjestykket $A P_{x}$ på figuren nedanfor.

Tredimensjonalt koordinatsystem der punktet A med koordinatane minus 5, 4 og 3, punktet B med koordinatane minus 5, 4 og 0, punktet P X med koordinatane minus 5, 0 og 0 og punktet P Y med koordinatane minus 5, 4 og 0 er teikna inn. Fleire av linjestykka mellom punkta er teikna inn, og rette vinklar er markerte. Illustrasjon. — Avstand frå punktet A til x- og y-koordinaten

Saman med punktet $B$ dannar punkta $A$ og $P_{x}$ ein rettvinkla trekant der katetane har lengde lik $|y|$ og $|z|$ . Det betyr at avstanden frå $A$ til $x$ -aksen blir

$\sqrt{y^{2} + z^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Tilsvarande blir avstanden frå $A$ til $y$ -aksen lik lengda av linjestykket $A P_{y}$ :

$\sqrt{x^{2} + z^{2}} = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$

Vi kan tilsvarande tenke oss eit punkt $P_{z}$ på $z$ -aksen slik at linjestykket $A P_{z}$ står vinkelrett på $z$ -aksen. Avstanden frå $A$ til $z$ -aksen blir derfor

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{41}$

c) Kva er avstanden frå punktet $A$ til origo?

Løysing

Her kan vi bruke formelen for avstand mellom eit punkt og origo. Avstanden blir

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{{(- 5)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} \\ = & \sqrt{50} \\ = & \sqrt{2 \cdot 25} \\ = & 5 \sqrt{2} \end{array}$

Oppgåve 8

Vi har gitt punkta $A (3, 2, 1), B (- 1, 3, \frac{1}{2})$ og $C (4, - 2, - 1)$ .

a) Finn avstanden til origo frå kvart punkt.

Løysing

Her bruker vi avstandsformelen $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ . Vi kallar origo $O$ .

Punkt $A$ :

$O A = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

Punkt $B$ :

$O B = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{1 + 9 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{41}$

Punkt $C$ :

$O A = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$

b) Finn lengda av linjestykka $A B, A C$ og $B C$ .

Løysing

Her bruker vi avstandsformelen $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

$\begin{array}{rcl} A B & = & \sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}} \\ = & \sqrt{16 + 1 + \frac{1}{4}} \\ = & \sqrt{\frac{69}{4}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{69} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{{(4 - 3)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} \\ = & \sqrt{1 + 16 + 4} \\ = & \sqrt{21} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} B C & = & \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {(- 2 - 3)}^{2} + {(- 1 - \frac{1}{2})}^{2}} \\ = & \sqrt{25 + 25 + \frac{9}{4}} \\ = & \sqrt{\frac{209}{4}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{209} \end{array}$

c) Kontroller svara i a) og b) med CAS.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linjene 1, 2, 3 og 4 er dei fire punkta O, A, B og C i oppgåva definerte. O har koordinatane 0, 0 og 0, A har koordinatane 3, 2 og 1, B har koordinatane minus 1, 3 og z-koordinat ein halv. C har koordinatane 4, minus 2 og minus 1. På linje 5 er det skrive inn ei liste med kommandoane Avstand parentes O komma, A parentes slutt, Avstand parentes O komma, B parentes slutt og Avstand parentes O komma, C parentes slutt. Svara er ei liste med rot 14, ei halv rot 41 og rot 21. På linje 6 er det skrive inn ei liste med kommandoane Avstand parentes A komma, B parentes slutt, Avstand parentes A komma, C parentes slutt og Avstand parentes B komma, C parentes slutt. Svara er ei liste med ei halv rot 69, rot 21 og ei halv rot 209.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Vektorar i rommet