Vektorar i tre dimensjonar - Matematikk R2 - NDLA

Hopp til innhald
Bokmål
Oppgåve

Vektorar i tre dimensjonar

Her repeterer vi ein del omgrep frå vektorkapittelet i R1. I tillegg får du øvd på å rekne med vektorar i tre dimensjonar.

Dei fleste reknereglane for vektorar er like uansett om vektorane er i to eller tre dimensjonar. Hugs at du kan gå til vektorkapittelet i matematikk R1 for å repetere.

Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel om ikkje anna er gitt.

4.1.10

Kva er forskjellen på ein skalar og ein vektor? Gi døme på tre vektorstorleikar og tre skalare storleikar.

Løysing

Ein vektor har både ei lengde og ei retning, mens ein skalar er berre eitt tal.

Farten til ein bil er ein vektor.
Tyngdekrafta er ein vektor.
Forflytting er ein vektor.

Temperatur er ein skalar.
Volum er ein skalar.
100 kroner er ein skalar.

4.1.11

Hugsar du dei grunnleggande reknereglane for vektorar?

4.1.12

Vi har gitt punkta og .

a) Finn posisjonsvektoren til punktet .

Løysing

får dei same koordinatane som :

b) Finn koordinatane til .

Løysing

c) Bestem koordinatane til punktet når .

Løysing

Vi set . Dette gir

Vidare får vi at

Ut frå dette får vi desse tre likningane:

Vi får at .

d) Bestem koordinatane til punktet når .

Løysing

Vi set . Dette gir

Vidare får vi at

Vi får at .

e) Finn koordinatane til midtpunktet på . Kontroller svaret med CAS.

Løysing

Vi set . Det betyr at

Vi har dessutan at når er midtpunktet på , er

Desse to uttrykka for må vere like. Då får vi

Vi får at .

Løysing med CAS:

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er punktet A definert med koordinatane minus 2, 3 og 4. På linje 2 er punktet B definert med koordinatane 5, minus 1 og 2. På linje 3 er punktet M definert med koordinatane x, y og z. På linje 4 er A B definert som Vektor parentes A komma, B parentes slutt. Resultatet er A B kolon er lik parentes 7 komma, minus 4 komma, minus 2 parentes slutt. På linje 5 er A M definert som Vektor parentes A komma, M parentes slutt. Resultatet er A M kolon er lik parentes x pluss 2 komma, y minus 3 komma, z minus 4 parentes slutt. På linje 6 er A M sett lik ein halv A B. Resultatet med Løys er x er lik 3 halve, y er lik 1, og z er lik 3.

f) Eit punkt ligg på linja gjennom slik at . Finn koordinatane til .

Løysing

Éi løysing er at . Den andre løysinga er at blir midtpunktet på . Sjå figuren nedanfor.

Illustrasjon som viser to linjestykke. Det eine linjestykket går frå A og C, som er det same punktet, til punktet B. Det andre går frå A gjennom B til C slik at A C er dobbelt så lang som A B.

For å finne den andre løysinga kan vi bruke den same framgangsmåten som i den førre oppgåva.

Vi set . Det betyr at

Vi har dessutan at når er midtpunktet på , er

Desse to uttrykka for må vere like. Då får vi

Vi får at .

Den andre løysinga kan kontrollerast med CAS på den same måten som i den førre oppgåva.

4.1.13

Gitt og .

a) Finn koordinatane til .

Løysing

b) Finn koordinatane til .

Løysing

c) Finn koordinatane til .

Løysing

d) Finn koordinatane til .

Løysing

e) Finn koordinatane til når .

Løysing

Vi set . Dette gir

Vi får .

4.1.14

Skriv vektorane uttrykte ved einingsvektorane og .

a)

Løysing

b)

Løysing

c)

Løysing

4.1.15

I denne oppgåva repeterer vi nokre av reknereglane for skalarproduktet mellom to vektorar. Reglane gjeld både for vektorar i to og tre dimensjonar.

4.1.16

Her skal vi utleie, det vil seie rekne oss fram til, formelen for skalarproduktet mellom to vektorar i tre dimensjonar ved hjelp av dei tre einingsvektorane og i høvesvis -, - og -retning.

a) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn og .

Løysing

b) Bruk definisjonen på skalarproduktet og finn og .

Løysing

c) Vi har gitt dei generelle vektorane og . Set , bruk reknereglar for skalarproduktet, og finn ein formel for skalarproduktet uttrykt ved koordinatane til og .

Løysing

4.1.17

a) Vis ut ifrå definisjonen av skalarproduktet at

utan å bruke vektorkoordinatar.

Løysing

b) Vis ved å bruke skalarproduktet på koordinatform og setje at

Løysing

c) Vi skal finne lengda av på figuren nedanfor ved å sjå på geometrien. Figuren er interaktiv, så du kan rotere på koordinatsystemet.

Bruk pytagorassetninga 2 gonger til å vise at .

Løysing

Sidan ligg i -planet rett under , vil ha koordinatane . Trekanten er rettvinkla. Det betyr at koordinatane til er . Ved å bruke pytagorassetninga får vi at

Ved å gjere tilsvarande med den rettvinkla trekanten får vi at

4.1.18

Gitt og .

a) Rekn ut utan hjelpemiddel. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 er vektoren a med koordinatane 1, 2 og minus 3 skriven inn. På linje 2 er vektoren b med koordinatane minus 3, 2 og 4 skriven inn. På linje 4 er a multiplisert med b rekna ut til å bli minus 11.
Skalarproduktet mellom a-vektor og b-vektor med GeoGebra.

b) Rekn ut og utan hjelpemiddel. Kontroller svaret ved å bruke CAS.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 4 er det skrive sløyfeparentes Lengde parentes a parentes slutt komma, Lengde parentes b parentes slutt sløyfeparentes slutt. Svaret er sløyfeparentes rot 14 komma, rot 29 sløyfeparentes slutt.
Lengda av vektorane a og b med CAS i GeoGebra.

I staden for å bruke kommandoen Lengde(a), kan vi skrive |a|.

c) Finn eit eksakt uttrykk for cosinus til vinkelen mellom og utan hjelpemiddel.

Løysing

Frå skalarproduktet og resultata i oppgåvene a) og b) får vi at

d) Finn vinkelen mellom og .

Løysing

Det er mange måtar å gjere dette på. Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Vinkel".

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 5 er kommandoen Vinkel parentes a komma, b parentes slutt skriven inn. Svaret er eit eksakt uttrykk med pi som vi reknar ut i gradar på neste linje. På linje 6 er det skrive dollarteikn 3 delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er 123,09.
Vinkelen mellom a- og b-vektor med CAS.

I linje 4 har vi delt på gradsymbolet for å få vinkelen i gradar. Alternativt kan vi dele på π og multiplisere med 180°.

Vinkelen mellom og er 123,1°.

4.1.19

Løys oppgåvene utan hjelpemiddel. Kontroller svara med CAS til slutt.

Gitt vektorane og .

a) Bestem slik at .

Løysing

Vi reknar ut skalarproduktet og set det lik 0.

b) Bestem slik at .

Løysing

- og -koordinatane er like på venstre og høgre side. -koordinatane må òg vere like for at likninga skal vere oppfylt. Dette gir

c) Bestem slik at .

Løysing

d) Undersøk om og er parallelle for nokon verdiar av . Finn i så fall desse verdiane.

Løysing

Dersom og skal vere parallelle, må det finst ein slik at

Dette gir tre likningar, éi for kvar av koordinatane.

Dei to første likningane gir ulik løysing for . Då finst det ikkje nokon verdi for som gjer at vektorane og er parallelle.

e) Gitt . Undersøk om og er parallelle for nokon verdiar av og . Finn i så fall desse verdiane.

Løysing

Dersom og skal vere parallelle, må det finst ein slik at

Dette gir tre likningar, éi for kvar av koordinatane.

Den første likninga gir . Den andre likninga gir

Den tredje likninga gir

Vektorane og er parallelle dersom og .

Løysing av oppgåvene med CAS
Skjermutklipp frå CAS-vindauget i GeoGebra. På linje 1 og 2 er vektorane u med koordinatane 1, 2 og 3 og v med koordinatane 2, minus 4 og t skrivne inn. På linje 3 er det skrive u multiplisert med v er lik 0. Svaret med Løys er t er lik 2. På linje 4 er det skrive u pluss v er lik parentes 3 komma, minus 2 komma, 4 parentes slutt. Svaret med Løys er t er lik 1. På linje 5 er det skrive absoluttverdien av v er lik 6. Svaret med Løys er t er lik minus 4 eller t er lik 4. På linje 6 er det skrive u er lik k multiplisert med v. Svaret med Løys er ingenting. På linje 7 er vektoren w med koordinatane 2, s og t skriven inn. På linje 8 er det skrive u er lik k multiplisert med w. Svaret med Løys er k er lik 1 halv, s er lik 4, og t er lik 6.
Løysing av ulike vektoroppgåver med CAS.

Merk at vi òg kan finne skalarproduktet mellom og med kommandoen Skalarprodukt(u,v). Lengda av kan vi òg finne med kommandoen Lengde(v).

4.1.20

Lag eit program som reknar ut vektorkoordinatane til vektoren mellom to punkt og som brukaren av programmet skriv inn.

Tips til oppgåva

Vi kan skrive inn alle koordinatane éin og éin, men ved hjelp av metoden "split" kan vi skrive inn éin og éin vektor.

Løysing

Idéen er å få lagra koordinatane til kvart punkt som ei liste og gjere om listene til ein numpy-array slik at vi kan trekke den eine frå den andre i éin operasjon. Brukaren av programmet kan skrive inn eitt og eitt punkt som vi gjer om til ei liste ved hjelp av metoden "split".

python
1import numpy as np
2
3print("Dette programmet finn vektoren mellom to punkt A og B.")
4A = input("Skriv inn koordinatane til startpunktet A på forma \"x,y,z\": ")
5B = input("Skriv inn koordinatane til endepunktet B på forma \"x,y,z\": ")
6
7A = A.split(",")
8for i in range(len(A)):
9  A[i] = float(A[i])
10A = np.array(A)
11
12B = B.split(",")
13for i in range(len(B)):
14  B[i] = float(B[i])
15B = np.array(B)
16
17vektor = B - A
18print(f"Vektoren mellom A og B blir {list(vektor)}.")

Legg merke til at for å få skrive ut apostrofane i inputsetningane, skriv vi "\" (omvend skråstrek) framfor dei. I den siste linja konverterer vi vektoren tilbake til ei liste, for då blir det skrive ut eit komma mellom kvart listeelement (kvar koordinat).

Det er mogleg å lage kortare kode enn dette dømet. Ved å bruke såkalla "list comprehension" kan vi til dømes slå saman linje 8 til 10 og linje 13 til 15. Koden nedanfor gjer det same som linje 8 til 10:

python
1A = np.array([float(k) for k in A])

Vi kan vidare slå saman denne linja med linje 7 slik at linjene 7 til 10 kan skrivast som

python
1A = np.array([float(k) for k in A.split(",")])