Fagartikkel

Vektorproduktet. Koordinatformel

Vi kan utleie ein formel for vektorproduktet der vi bruker vektorkoordinatane.

Koordinatformel for vektorproduktet

Det er vanskeleg å komme fram til koordinatane til eit vektorprodukt mellom to vektorar ved å bruke definisjonen på vektorproduktet. Det har du sett om du har prøvd deg på oppgåve 4.1.34. Vi vil finne ein måte å rekne ut koordinatane på ved hjelp av koordinatane til vektorane i vektorproduktet.

Vi set $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ . Vi startar slik vi gjer for å komme fram til ein formel til skalarproduktet: Vi uttrykker vektorane ved hjelp av einingsvektorane. I tillegg treng vi fleire av reknereglane for vektorproduktet, som du finn nedst på teorisida "Vektorproduktet. Høgrehandsregelen".

I utrekningane nedanfor har vi brukt raud farge på det som har med $x$ å gjere, blå farge på det som har med $y$ å gjere, og grøn farge på det som har med $z$ å gjere. Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [x_{1}, y_{1}, z_{1}] \times [x_{2}, y_{2}, z_{2}] \\ = & (x_{1} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}}) \times (x_{2} \vec{e_{x}} + y_{2} \vec{e_{y}} + z_{2} \vec{e_{z}}) \\ = & x_{1} \vec{e_{x}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + x_{1} \vec{e_{x}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + x_{1} \vec{e_{x}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \\ + y_{1} \vec{e_{y}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + y_{1} \vec{e_{y}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + y_{1} \vec{e_{y}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \\ + z_{1} \vec{e_{z}} \times x_{2} \vec{e_{x}} + z_{1} \vec{e_{z}} \times y_{2} \vec{e_{y}} + z_{1} \vec{e_{z}} \times z_{2} \vec{e_{z}} \end{array}$

Tenk over

I den vidare utrekninga bruker vi definisjonen av vektorproduktet til å rekne ut vektorproduktet mellom alle moglege kombinasjonar av einingsvektorane.

Skriv opp desse kombinasjonane og resultatet av dei.

Vektorproduktet av einingsvektorar

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}} = \vec{0}$ fordi ein vektor kryssmultiplisert med seg sjølv alltid gir nullvektoren. (Kvifor?) Nullvektoren har lengde lik 0.

$\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}$ fordi einingsvektorane dannar eit høgrehandssystem når dei står i alfabetisk rekkefølge.

Samanfatta får vi

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}} & = & \vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}} = \vec{e_{z}} \times \vec{e_{z}} = \vec{0} \\ \vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}} & = & \vec{e_{z}} \\ \vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}} & = & \vec{e_{x}} \\ \vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}} & = & \vec{e_{y}} \\ \vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}} & = & - \vec{e_{y}} \\ \vec{e_{y}} \times \vec{e_{x}} & = & - \vec{e_{z}} \\ \vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}} & = & - \vec{e_{x}} \end{array}$

Utfordring

Klarer du å halde fram med utrekninga over på eiga hand? Prøv før du ser på løysinga nedanfor. Utrekninga er òg gått gjennom i den første videoen nedst på sida.

Vidare utrekning

I utrekninga vidare har vi kutta ut fargane på dei skalare storleikane $x_{1}, y_{2}$ og så vidare. Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & x_{1} x_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{x}}) + x_{1} y_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{y}}) + x_{1} z_{2} (\vec{e_{x}} \times \vec{e_{z}}) \\ + y_{1} x_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{x}}) + y_{1} y_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{y}}) + y_{1} z_{2} (\vec{e_{y}} \times \vec{e_{z}}) \\ + z_{1} x_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{x}}) + z_{1} y_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{y}}) + z_{1} z_{2} (\vec{e_{z}} \times \vec{e_{z}}) \\ = & \vec{0} + x_{1} y_{2} \vec{e_{z}} + x_{1} z_{2} (- \vec{e_{y}}) \\ + y_{1} x_{2} (- \vec{e_{z}}) + \vec{0} + y_{1} z_{2} \vec{e_{x}} \\ + z_{1} x_{2} \vec{e_{y}} + z_{1} y_{2} (- \vec{e_{x}}) + \vec{0} \\ = & x_{1} y_{2} \vec{e_{z}} - x_{1} z_{2} \vec{e_{y}} - y_{1} x_{2} \vec{e_{z}} \\ + y_{1} z_{2} \vec{e_{x}} + z_{1} x_{2} \vec{e_{y}} - z_{1} y_{2} \vec{e_{x}} \\ = & (y_{1} z_{2} - z_{1} y_{2}) \vec{e_{x}} + (z_{1} x_{2} - x_{1} z_{2}) \vec{e_{y}} + (x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2}) \vec{e_{z}} \\ = & [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}] \end{array}$

I siste linje i boksen over har vi skrive resultatet på koordinatform.

Koordinatformel for vektorproduktet

Vi har gitt $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ . Då er

$\vec{a} \times \vec{b} = [y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}, x_{2} z_{1} - x_{1} z_{2}, x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}]$

Det er ikkje noko problem å hugse dette resultatet, eller …?

Praktisk framgangsmåte ved utrekning av vektorproduktet

Du treng eigentleg ikkje å pugge resultatet over. Det er enklare å bruke ein tabell som den nedanfor når du skal rekne ut eit vektorprodukt med koordinatar.

Tabell med 3 rader og 6 kolonnar der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av x 1, y 1, z 1, x 1, y 1 og z 1. Tredje rad består av x 2, y 2, z 2, x 2, y 2 og z 2. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I tabellen er det sett opp ei rekke med einingsvektorane og koordinatane to gonger. Nedanfor har vi vist korleis vi bruker tabellen:

Tabell med 3 rader og 6 kolonnar der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av x 1, y 1, z 1, x 1, y 1 og z 1. Tredje rad består av x 2, y 2, z 2, x 2, y 2 og z 2. Det er teikna piler for å vise rekkefølga i framgangsmåten. Dette er forklart i teksten i artikkelen. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Skriv ein framgangsmåte for korleis tabellen kan brukast. Forklar kva pilene betyr.

Framgangsmåte og forklaring

$x$ -koordinaten til kryssproduktet er $y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}$ . Denne får vi ved å følge pila på skrå nedover frå $\vec{e_{x}}$ til $y_{1}$ . Vi held fram på skrå nedover i pilretninga og multipliserer $y_{1}$ og $z_{2}$ . Vi følger den stipla pila frå $z_{2}$ til $y_{2}$ , held fram på skrå opp til høgre til $z_{1}$ og trekker frå produktet $y_{2} z_{1}$ .

Vi kan skrive ein tilsvarande framgangsmåte for $y$ -koordinaten ved å starte ved $\vec{e_{y}}$ .

Pilene betyr derfor dette:

Stipla piler viser retning.
Pil på skrå nedover (raud) viser eit produkt som skal leggast til.
Pil på skrå oppover (blå) viser eit produkt som skal trekkast frå.

Nedst på sida kan du sjå ein video som viser dette meir i detalj.

Vi håper du skjønner systemet! Vi skal sjå på eit døme.

Døme

Prøv å lage ein slik tabell som over når du skal finne vektorproduktet nedanfor.

Gitt $\vec{a} = [2, 3, 4], \vec{b} = [5, 6, 7]$ . Finn $\vec{a} \times \vec{b}$ .

Tabell og løysing

Tabellen blir sjåande ut som nedanfor.

Tabell med 3 rader og 6 kolonnar der første rad består av e x vektor, e y vektor, e z vektor, e x vektor, e y vektor og e z vektor. Andre rad består av tala 2, 3, 4, 2, 3 og 4. Tredje rad består av tala 5, 6, 7, 5 og 6. Det er teikna piler for å vise rekkefølga i framgangsmåten. Bruken av tabellen er forklart i teksten i artikkelen. — Døme på bruk av tabelloppsett for vektorproduktet. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} & = & [3 \cdot 7 - 6 \cdot 4, 4 \cdot 5 - 7 \cdot 2, 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3] \\ = & [21 - 24, 20 - 14, 12 - 15] \\ = & [- 3, 6, - 3] \end{array}$

Tenk over

Treng vi første og siste kolonne i tabellen?

Kommentar

Vi treng ikkje første og siste kolonne i tabellen sidan dei ikkje blir brukte i utrekninga.

Kontroll av utrekninga av vektorproduktet

Det kan vere lurt å gjere det til ein vane å bruke skalarproduktet til å kontrollere at den vektoren vi finn, er vinkelrett på dei to vektorane vi starta med. Det er fort gjort, og det vil avsløre om vi eventuelt har rekna feil.

Gjer denne kontrollen med både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ før du ser på løysinga nedanfor.

Løysing

Vi set $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = [- 3, 6, - 3]$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{c} & = & [2, 3, 4] \cdot [- 3, 6, - 3] \\ = & - 6 + 18 - 12 \\ = & 0 \\ \vec{b} \cdot \vec{c} & = & [5, 6, 7] \cdot [- 3, 6, - 3] \\ = & - 15 + 36 - 21 \\ = & 0 \end{array}$

Sidan skalarprodukta blir null, veit vi at $\vec{a} ⊥ \vec{c} \land \vec{b} ⊥ \vec{c}$ , og at vi mest sannsynleg har rekna rett då vi rekna ut vektorproduktet.

Med litt trening kan du rekne ut vektorproduktet av to vektorar utan å måtte setje opp hele tabellen.

Vektorproduktet med CAS

I CAS i GeoGebra får vi det same resultatet. Kommandoen Vektorprodukt(a,b) gir oss vektorproduktet mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Vi kan òg frå skjermtastaturet i GeoGebra hente opp vektorproduktet med symbolet som er eit kryss i ein sirkel, sjå linje 4 nedanfor. På ein Windows-pc kan i tillegg hurtigtasten "shift + alt + 8" brukast for å hente dette symbolet.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektoren a med koordinatane 2, 3 og 4 skriven inn. På linje 2 er vektoren b med koordinatane 5, 6 og 7 skriven inn. På linje 3 er det skriven inn Vektorprodukt parentes a komma, b parentes slutt. Svaret er ein vektor med koordinatane minus 3, 6 og minus 3. På linje 4 er a-vektor kryssmultiplisert med b-vektor ved å hente opp symbolet for vektorproduktet frå skjermtastaturet. Resultatet er ein vektor med koordinatane minus 3, 6 og minus 3. — Vektorproduktet på koordinatform med CAS. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Video om koordinatformelen for vektorproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om utrekning av koordinatane til vektorproduktet utan hjelpemiddel

Video: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0