Fagartikkel

Vektorproduktet. Høgrehandsregelen

Skalarproduktet mellom to vektorar gir ein skalar, eit tal, til svar. Det finst òg eit produkt mellom to vektorar som gir ein ny vektor til svar: vektorproduktet. Eit vektorprodukt kan brukast til mykje både innanfor matematikk og fysikk.

Definisjon av vektorproduktet

Illustrasjon av vektorane a-vektor, b-vektor og a-kryss-b-vektor, som alle startar i det same punktet. a-vektor peiker på skrå opp til venstre, b-vektor peiker på skrå opp til høgre, og a-kryss-b-vektor peiker nedover. Vinkelen mellom a-vektor og b-vektor er ikkje 90 gradar. Vinkelen mellom a-vektor og a-kryss-b-vektor og mellom b-vektor og a-kryss-b-vektor er begge 90 gradar. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vektorproduktet eller kryssproduktet $\vec{a} \times \vec{b}$ mellom to vektorar $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ein ny vektor som står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Vektorproduktet er definert slik at lengda av vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ er gitt ved

$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$

der $θ$ (den greske bokstaven "theta") er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Retninga på $\vec{a} \times \vec{b}$ finn vi ved å bruke det vi kallar høgrehandsregelen, som betyr at vektorane følger eit høgrehandssystem.

Før vi går vidare med vektorproduktet, ser vi på kva vi meiner med eit høgrehandssystem.

Høgrehandssystem

Illustrasjon av ei høgrehand der peikefingeren peiker i retninga til a-vektor, og langfingeren er bøygd slik at han peiker i retninga til b-vektor. Når tommelen blir strekt, peiker han i retninga til c-vektor. — Høgrehandssystem med vektorane a, b og c. Bilete: Acdx / CC BY-SA 4.0

I eit høgrehandssystem av vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ – i den rekkefølga – står den tredje vektoren, $\vec{c}$ , vinkelrett på begge dei to andre vektorane slik at vektorane følger høgrehandsregelen:

La peikefingeren på den høgre handa peike i retninga til den første vektoren, $\vec{a}$ .
La langfingeren peike i retninga til den andre vektoren, $\vec{b}$ , slik som på biletet.
Strekk ut tommelen. Då peiker han i retninga til den tredje vektoren, $\vec{c}$ .

Illustrasjon av ei høgrehand der peikefingeren peiker i retninga til a-vektor, og langfingeren er bøygd slik at han peiker i retninga til b-vektor. Når tommelen blir strekt, peiker han i retninga til a-kryss-b-vektor. — Høgrehandssystem med vektorane a, b og a x b. Bilete: Acdx / CC BY-SA 4.0

Sidan vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ skal følge høgrehandsregelen, må vektoren $\vec{a} \times \vec{b}$ peike i den same retninga som $\vec{c}$ .

Studer den øvste figuren. Kontroller ved hjelp av reglane over at dei tre vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ dannar eit høgrehandssystem. Då seier vi at vektorane følger høgrehandsregelen.

Tenk over

Er det andre moglege retningar ein vektor $\vec{c}$ kan ha og samtidig stå normalt på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ?

Forklaring

Vi kan sjå for oss at $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ligg i $x y$ -planet i eit tredimensjonalt koordinatsystem slik som på den øvste figuren. Då peiker $\vec{a} \times \vec{b}$ i negativ $z$ -retning. Ein vektor $\vec{c}$ i positiv $z$ -retning vil òg stå normalt på $\vec{a}$ og $\vec{b}$ . Men då følger ikkje vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ høgrehandsregelen lenger. Undersøk at dette stemmer!

Vektorproduktet samanfatta

$\vec{a} \times \vec{b}$ er ein vektor som oppfyller desse krava:

$\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ slik at vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ dannar eit høgrehandssystem.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Reknereglar for vektorproduktet

Vektorproduktet oppfyller den distributive lova med omsyn på vektoraddisjon. Det betyr at

$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

Dersom $k$ er ein skalar, gjeld vidare at

$(k \cdot \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k \cdot \vec{v}) = k \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$

Vi viser ikkje desse to reglane her.

Tenk over

Kva blir $\vec{b} \times \vec{a}$ hvis $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ ?

Regel for ombyting av vektorane i eit kryssprodukt

Dersom dei to vektorane som skal kryssmultipliserast, byter plass, gir høgrehandsregelen at kryssproduktet blir ein vektor i motsett retning av den opphavlege. Sidan lengdene av vektorane og vinkelen er den same, blir lengda av kryssproduktvektoren den same som opphavleg. Det betyr at

dersom $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ , blir $\vec{b} \times \vec{a} = - \vec{c}$ .

Døme frå fysikk: ladd partikkel i magnetfelt

Ein positivt ladd partikkel med ladning $q$ kjem med fart $\vec{v}$ inn i eit magnetfelt med styrke $\vec{B}$ , sjå figuren. Fartsvektoren $\vec{v}$ dannar vinkelen $θ$ med vektoren $\vec{B}$ for magnetfeltet. Partikkelen vil då bli utsett for ei kraft $\vec{F}$ .

Illustrasjon med eit tredimensjonalt koordinatsystem med ein partikkel q. Vektorane v-vektor, B-vektor og F-vektor er teikna ut ifrå partikkelen. Vinkelen theta er vinkelen mellom v-vektor og B-vektor. F-vektor står normalt på både v-vektor og B-vektor. — Kraft F på partikkel med ladning q og fart v i eit magnetfelt med styrke B. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Ei av lovene i fysikken seier at krafta $\vec{F}$ på partikkelen oppfyller desse krava:

Illustrasjon av ei høgrehand der peikefingeren peiker i retninga til v-vektor, og langfingeren er bøygd slik at han peiker i retninga til B-vektor. Når tommelen blir strekt, peiker han i retninga til F-vektor. — Høgrehandssystem med vektorane v, B og F. Bilete: Acdx / CC BY-SA 4.0

$|\vec{F}| = q \cdot v \cdot B \cdot \sin θ$
$\vec{F}$ står normalt på både $\vec{v}$ og $\vec{B}$ ( $\vec{F} ⊥ \vec{v}$ og $\vec{F} ⊥ \vec{B}$ ) slik at $\vec{v}$ , $\vec{B}$ og $\vec{F}$ følger høgrehandsregelen.

Krafta på ein ladd partikkel skriven på vektorform

Korleis skriv vi krafta på ein ladd partikkel i dømet over på vektorform ved hjelp av vektorproduktet?

Krafta skriven ved hjelp av vektorproduktet

Sidan vektorane $\vec{v}$ , $\vec{B}$ og $\vec{F}$ følger dei to reglane over, kan vi skrive

$\vec{F} = q \cdot \vec{v} \times \vec{B}$

Legg merke til at slik vektorproduktet er definert, vil denne likninga innehalde informasjonen både om absoluttverdien $|\vec{F}|$ til krafta og retninga til $\vec{F}$ .

Legg òg merke til at ladninga $q$ er ein skalar storleik som ikkje inngår direkte i vektorproduktet.

Reglar i samband med vektorproduktet

Definisjon av vektorproduktet (kryssproduktet)

$\vec{a} \times \vec{b}$ er ein vektor som oppfyller desse krava:

$\vec{a} \times \vec{b}$ står vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$ slik at vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ dannar eit høgrehandssystem.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin θ$ der $θ$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Reknereglar for vektorproduktet

$\vec{b} \times \vec{a} = - \vec{a} \times \vec{b}$

$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

$(k \cdot \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times (k \cdot \vec{v}) = k \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$

Video om vektorproduktet

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0