Oppgåve

Areal og volum med vektorproduktet

Her får du øvd på å bruke vektorar til å rekne ut areal og volum.

4.1.50

Løys oppgåva for hand. Kontroller svara til slutt med CAS.

Vi har gitt punkta $A (- 1, 1, - 2), B (2, 0, 1)$ , $C (1, - 2, 2)$ og $D (- 1, - 1, 2)$ i eit koordinatsystem.

a) Finn arealet av trekanten $A B C$ ved å ta utgangspunkt i vektorane $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

Løysing

Vi finn først koordinatane til $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

$\vec{A B} = [2 - (- 1), 0 - 1, 1 - (- 2)] = [3, - 1, 3]$
$\vec{A C} = [1 - (- 1), - 2 - 1, 2 - (- 2)] = [2, - 3, 4]$

Vi må rekne ut $A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}|$ og reknar først ut vektorproduktet. Du kan ha nytte av å setje opp ein slik tabell som nedanfor når du skal rekne ut vektorproduktet utan hjelpemiddel.

$\begin{matrix} \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} & \vec{e_{x}} & \vec{e_{y}} & \vec{e_{z}} \\ 3 & - 1 & 3 & 3 & - 1 & 3 \\ 2 & - 3 & 4 & 2 & - 3 & 4 \end{matrix}$

$\vec{A B} \times \vec{A C}$
$\begin{array}{rcl} = & [- 1 \cdot 4 - (- 3) \cdot 3, 3 \cdot 2 - 4 \cdot 3, 3 \cdot (- 3) - 2 \cdot (- 1)] \\ = & [5, - 6, - 7] \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}| \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{7^{2} + 4^{2} + 13^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{49 + 16 + 169} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{234} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{9 \cdot 26} \\ = & \frac{3}{2} \sqrt{26} \end{array}$

b) Finn arealet av trekanten $A B C$ ved å ta utgangspunkt i vektorane $\vec{B A}$ og $\vec{B C}$ .

Løysing

Vi finn først koordinatane til $\vec{B A}$ og $\vec{B C}$ .

$\vec{B A} = - \vec{A B} = [1, - 5, 1]$
$\vec{B C} = [0 - 3, 7 - 5, 2 - 1] = [- 3, 2, 1]$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{B A} \times \vec{B C}|$

$\begin{array}{rcl} \vec{B A} \times \vec{B C} \end{array}$
$\begin{array}{rcl} = & [(- 5) \cdot 1 - 2 \cdot 1, 1 \cdot (- 3) - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot (- 5)] \\ = & [- 7, - 4, - 13] \\ = & - [7, 4, 13] \\ = & - \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array}$

Vi får det same resultatet for kryssproduktet som då vi rekna ut $\vec{A B} \times \vec{A C}$ , bortsett frå forteiknet. Arealet blir derfor det same som i oppgåve a) – som det burde.

c) Finn volumet av parallellepipedet spent ut av vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løysing

Volumet kan reknast ut med $V = |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}|$ .

Vi reknar først ut koordinatane til $\vec{A D}$ :

$\vec{A D} = [3 - 4, 5 - 0, 4 - 2] = [- 1, 5, 2]$

Vi får

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[7, 4, 13] \cdot [- 1, 5, 2]| \\ = & |- 7 + 20 + 26| \\ = & 39 \end{array}$

Kontroll av svara med CAS

Forslag til utrekning med CAS:

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På dei fire første linjene er punkta A, B, C og D skrivne inn. A har koordinatane 4, 0 og 2, B har koordinatane 3, 5 og 1, C har koordinatane 0, 7 og 2, D har koordinatane 3, 5 og 4. På linje 5 er det skrive Areal a kolon er lik ein halv multiplisert med absoluttverdien av Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt komma Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Areal a kolon er lik 3 halve rot 26. På linje 6 er det skrive Areal b kolon er lik ein halv multiplisert med absoluttverdien av Vektorprodukt parentes Vektor parentes B komma A parentes slutt komma Vektor parentes B komma C parentes slutt parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Areal b kolon er lik 3 halve rot 26. På linje 7 er det skrive Volum c kolon er lik absoluttverdien av parentes Vektorprodukt parentes Vektor parentes A komma B parentes slutt komma Vektor parentes A komma C parentes slutt parentes slutt multiplisert med Vektor parentes A komma D parentes slutt absoluttverdi slutt. Svaret er Volum c kolon er lik 39. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Dette er berre éin av fleire måtar å gjere desse utrekningane på. Til dømes kan du definere vektorane ved å skrive AB:=Vektor(A,B) og tilsvarande for dei andre vektorane, eller du kan utelate å definere dei fire punkta og skrive AB:=Vektor((4,2,0),(3,5,1)). I begge tilfelle kan du for arealet i oppgåve a) skrive Areal_a:=1/2*abs(Vektorprodukt(AB,AC)).

4.1.51

a) Forklar kva som skjer om vi byter om på $\vec{a}$ og $\vec{b}$ i formelen for volumet av eit parallellepiped, der formelen er

$V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Løysing

Vi har at $\vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b})$ . Det betyr at

$|(\vec{b} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}| = |- (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = V$

Minusteiknet forsvinn når vi tek absoluttverdien. Det speler altså inga rolle om vi byter om på vektorane i kryssproduktet i formelen for volumet av eit parallellepiped.

b) Bruk CAS til å vise at det ikkje speler noka rolle generelt om vi byter om på vektorane når vi skal rekne ut volumet av eit parallellepiped.

Tips til oppgåva

Set $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og tilsvarande for dei to andre vektorane.

Løysing

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er vektor a definert med koordinatane x 1, y 1 og z 1. På linje 2 er vektor b definert med koordinatane x 2, y 2 og z 2. På linje 3 er vektor c definert med koordinatane x 3, y 3 og z 3. På linje 4 er det skrive absoluttverditeikn Vektorprodukt parentes a komma b parentes slutt multiplisert med c absoluttverditeikn slutt er lik er lik absoluttverditeikn Vektorprodukt parentes b komma c parentes slutt multiplisert med a absoluttverditeikn slutt. Svaret er true. På linje 5 er det skrive absoluttverditeikn Vektorprodukt parentes a komma b parentes slutt multiplisert med c absoluttverditeikn slutt er lik er lik absoluttverditeikn Vektorprodukt parentes a komma c parentes slutt multiplisert med b absoluttverditeikn slutt. Svaret er true. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

I linje 4 og 5 testar vi ved å skrive dobbelt likskapsteikn at det som står på kvar side, er likt, noko svara seier at det er.

4.1.52

Figuren nedanfor viser ein trekanta og ein firkanta pyramide spende ut av vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Illustrasjon som viser to pyramidar, ein trekanta og ein firkanta pyramide. Begge pyramidane er spende ut av vektorane a-vektor, b-vektor og c-vektor, men grunnflata i den firkanta pyramiden er eit parallellogram spent ut av a-vektor og b-vektor, mens grunnflata i den trekanta pyramiden er ein trekant spend ut av a-vektor og b-vektor. — Trekanta og firkanta pyramide spende ut av tre vektorar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

a) Ta utgangspunkt i den generelle formelen for volumet av ein pyramide og finn formlar for volumet av dei to pyramidane ved hjelp av vektorane.

Løysing

Den generelle formelen for volumet til ein pyramide er $V = \frac{1}{3} G \cdot h$ der $G \cdot h$ er volumet til det tilsvarande prismet spent ut av dei same vektorane. For ein firkanta pyramide får vi derfor at

$V_{▱} = \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

For ein trekanta pyramide, der grunnflata er halvparten av grunnflata i den firkanta, får vi at

$V_{△} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

b) Vil formelen for volumet av ein firkanta pyramide gjelde for alle firkanta pyramidar?

Løysing

Nei, grunnflata må vere eit parallellogram dersom formelen skal gjelde. Dersom grunnflata er eit trapes eller ein irregulær firkant, har vi ikkje nok informasjon om grunnflata ut ifrå to av sidene.

4.1.53

Vi har gitt punkta $A (0, 0, 0), B (3, 0, 0), C (0, 4, 0)$ og $D (0, 0, 5)$ .

a) Teikn punkta i eit koordinatsystem. Kva slags figur blir parallellepipedet som er spent ut av vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ ?

Løysing

Illustrasjon som viser 4 punkt i eit tredimensjonalt koordinatsystem. Dei fire punkta er A med koordinatane 0, 0 og 0, B med koordinatane 3, 0 og 0, C med koordinatane 0, 4 og 0, D med koordinatane 0, 0 og 5. I tillegg er vektorane mellom A og B, mellom A og C og mellom A og D markerte. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Sidan $A$ ligg i origo og dei tre andre punkta ligg på kvar sin koordinatakse, vil parallellepipedet spent ut av vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ vere eit rett prisme med rektangulær grunnflate.

b) Finn volumet av parallellepipedet spent ut av vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ ved å bruke vektorrekning utan hjelpemiddel. Kontroller svaret ved å rekne ut volumet på ein enklare måte.

Løysing

Sidan $A$ ligg i origo, blir dei tre vektorane $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ posisjonsvektorane til $B, C$ og $D$ .

$\vec{A B} = [3, 0, 0]$ , $\vec{A C} = [0, 4, 0]$ og $\vec{A D} = [0, 0, 5]$

Vi treng kryssproduktet av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ for å finne volumet.

$\vec{A B} \times \vec{A C}$
$\begin{array}{rcl} = & [0 \cdot 0 - 4 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, 3 \cdot 4 - 0 \cdot 0] \\ = & [0, 0, 12] \end{array}$

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[0, 0, 12] \cdot [0, 0, 5]| \\ = & 12 \cdot 5 \\ = & 60 \end{array}$

Kontroll:

Sidekantane i grunnflata er 3 og 4. Høgda er 5. Då er volumet

$V = G \cdot h = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$

c) Finn volumet $\begin{array}{rcl} V_{▱} \end{array}$ av pyramiden med ei firkanta grunnflate spend ut av $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løysing

Volumet $\begin{array}{rcl} V_{▱} \end{array}$ av den firkanta pyramiden blir $\frac{1}{3}$ av volumet av prismet.

$\begin{array}{rcl} V_{▱} & = & \frac{1}{3} \cdot 60 \\ = & 20 \end{array}$

d) Finn volumet $\begin{array}{rcl} V_{△} \end{array}$ av pyramiden med ei trekanta grunnflate spend ut av $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

Løysing

Volumet $\begin{array}{rcl} V_{△} \end{array}$ av den trekanta pyramiden blir $\frac{1}{6}$ av volumet av heile prismet.

$\begin{array}{rcl} V_{△} & = & \frac{1}{6} \cdot 60 \\ = & 10 \end{array}$

4.1.54

Vi har gitt punkta $A (2, 0, 1), B (4, - 1, 0), C (4, 2, 3)$ og $D (6, - 5, - 4)$ .

a) Bruk vektorrekning utan hjelpemiddel til å avgjere om dei fire punkta kan vere hjørne i eit parallellepiped.

Løysing

Vi går ut frå at punkta gir eit parallellepiped og prøver å rekne ut volumet. Vi finn først koordinatane til $\vec{A B}, \vec{A C}$ og $\vec{A D}$ .

$\vec{A B} = [4 - 2, - 1 - 0, 0 - 1] = [2, - 1, - 1]$
$\vec{A C} = [4 - 2, 2 - 0, 3 - 1] = [2, 2, 2]$
$\vec{A D} = [6 - 2, - 5 - 0, - 4 - 1] = [4, - 5, - 5]$

Vi treng kryssproduktet av $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ for å finne volumet.

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array} & = & [- 1 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1), \\ - 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2, \\ 2 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1)] \\ = & \begin{array}{l} [0, - 6, 6] \end{array} \end{array}$

Volumet blir

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ = & |[0, - 6, 6] \cdot [4, - 5, - 5]| \\ = & |0 \cdot 4 - 6 \cdot (- 5) + 6 \cdot (- 5)| \\ = & 0 + 30 - 30 \\ = & 0 \end{array}$

Punkta gir ikkje eit parallellepiped sidan punkta ikkje gir noko volum.

b) Kva kan du seie om punkta $A, B, C$ og $D$ ut frå svaret i a)?

Løysing

Sidan volumet er lik null og vi ikkje har eit parallellepiped, må det bety at punkta ligg i den same flata, eller det same planet. Plan lærer du meir om i fagartikkelen "Plan i rommet".

Nedanfor har vi teikna dei fire punkta saman med planet dei ligg i, i eit interaktivt GeoGebra-ark. Prøv å rotere på koordinatsystemet og overtyde deg sjølv om at punkta ligg i det same planet.

Filer

Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

4.1.55

Lag eit program som reknar ut volumet av anten eit parallellepiped, ein firkanta pyramide eller eit tetraeder ut ifrå 4 punkt $A, B, C$ og $D$ som dannar dei tre vektorane $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ , og $\vec{A D}$ , som i sin tur spenner ut pyramiden eller tetraederet. Brukaren av programmet skal kunne velje kva slags lekam hen ønsker å finne volumet av.

Tips til oppgåva

For å rekne ut skalarproduktet mellom to vektorar i form av listene eller tabellane a og b, kan du importere numpy som "np" og bruke numpy-kommandoen "dot" slik:

np.dot(a,b)

Løysing

Brukaren av programmet må skrive inn dei fire punkta etter tur og deretter velje om lekamen er eit tetraeder, ein firkanta pyramide eller eit parallellepiped.

python

1import numpy as np
2
3print("Dette programmet reknar ut volumet av eit tetraeder "
4  "eller ein firkanta pyramide eller eit parallellepiped "
5  "ut ifrå fire punkt A, B, C og D.")
6A = input("Skriv inn koordinatane til punkt A på forma \"x,y,z\": ")
7B = input("Skriv inn koordinatane til punkt B på forma \"x,y,z\": ")
8C = input("Skriv inn koordinatane til punkt C på forma \"x,y,z\": ")
9D = input("Skriv inn koordinatane til punkt D på forma \"x,y,z\": ")
10
11form = input("Skriv \"t\" for tetraeder, \"f\" for firkanta pyramide "
12  "eller \"p\" for parallellepiped: ")
13  
14A = A.split(",")
15A = np.array([float(k) for k in A])
16B = B.split(",")
17B = np.array([float(k) for k in B])
18C = C.split(",")
19C = np.array([float(k) for k in C])
20D = D.split(",")
21D = np.array([float(k) for k in D])
22
23AB = B - A
24AC = C - A
25AD = D - A
26
27ABxAC = np.cross(AB,AC)
28parallellepiped = abs(np.dot(ABxAC,AD))
29
30if form == "p":
31  print(f"Volumet av parallellepipedet er {parallellepiped:.2f}.")
32elif form == "f":
33  print(f"Volumet av den firkanta pyramiden er {parallellepiped/3:.2f}.")
34else:
35  print(f"Volumet av tetraederet er {parallellepiped/6:.2f}.")
36

Her har vi brukt "list comprehension" på linjene 15, 17, 19 og 21 for å få koden kortare. Alternativt kan du skrive ei vanleg for-lykkje der du lagar desimaltal av kvart element i listene og etterpå gjer listene om til numpy-tabellar med metoden "array". Sjå til dømes løysinga til oppgåve 4.1.20 på oppgåvesida "Vektorar i tre dimensjonar".

4.1.56

Figuren nedanfor viser eit spesialtilfelle av eit parallellepiped, nemleg eit rett prisme med rektangulær grunnflate. Figuren er interaktiv, så du kan dra i han for å sjå prismet frå ulike kantar.

Filer

Last ned den interaktive figuren her dersom han ikkje blir vist.(GGB)

Bruk vektorformelen for volumet av eit parallellepiped til å vise at volumet $V$ av prismet er

$V = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}|$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \\ = & ||\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin 90 ° \cdot |\vec{c}| \cdot \cos 0 °| \\ = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \end{array}$

Resultatet er kanskje ikkje så overraskande? Merk at fordi $\vec{c} ⊥ \vec{a}, \vec{b}$ , får vi at $\vec{c} ∥ \begin{array}{rcl} (\vec{a} \times \vec{b}) \end{array}$ , som gjer at vi får $\cos 0 °$ i skalarproduktet.

4.1.57

Figuren viser eit parallellepiped $A B C D E F G H$ spent ut av vektorane $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A D} = \vec{b}$ og $\vec{A E} = \vec{c}$

Figuren er interaktiv, så du kan rotere på han ved å dra med musepeikar.

Filer

Last ned simuleringa her dersom ho ikkje blir vist.(GGB)

a) Den eine av diagonalane i parallellepipedet, diagonalen $A G$ , er teikna inn samen med midtpunktet sitt, som er kalla $M$ .

Kva heiter dei tre andre diagonalane?

Løysing

Dei tre andre diagonalane er $B H, C E$ og $D F$ .

b) Finn eit uttrykk for dei fire diagonalvektorane $\vec{A G}, \vec{B H}, \vec{C E}$ og $\vec{D F}$ ved hjelp av $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løysing

$\vec{A G} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C G} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{B H} = \vec{B A} + \vec{A D} + \vec{D H} = - \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{C E} = \vec{C D} + \vec{D A} + \vec{A E} = - \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$
$\vec{D F} = \vec{D C} + \vec{C B} + \vec{B F} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

c) Finn eit uttrykk for $\vec{A M}$ ved hjelp av $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løysing

Sidan $M$ er midtpunktet på $A G$ , får vi at

$\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A G} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

d) Vis at dei fire diagonalane skjer kvarandre i eitt punkt.

Løysing

Vi må vise at dei andre diagonalane òg har $M$ som midtpunkt. Det betyr at vi til dømes må vise at $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B H}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{B M} & = & - \vec{a} + \vec{A M} \\ = & - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{B H} \end{array}$

Tilsvarande får vi at

$\begin{array}{rcl} \vec{C M} & = & - \vec{b} - \vec{a} + \vec{A M} \\ = & - \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & - \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{C E} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \vec{D M} & = & - \vec{b} + \vec{A M} \\ = & - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c} \\ = & \frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) \\ = & \frac{1}{2} \vec{D F} \end{array}$

e) Finn volumet av pyramiden $A B C D M$ uttrykt ved $\vec{a}, \vec{b}$ og $\vec{c}$ .

Løysing

Sidan $A B C D M$ er ein firkanta pyramide spend ut av vektorane $\vec{a}, \vec{b}$ og $\frac{1}{2} \vec{c}$ , blir volumet

$V_{▱} = \frac{1}{3} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \frac{1}{2} \vec{c}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

f) Finn volumet av pyramiden $A B E F M$ uttrykt ved $|\vec{a}|, |\vec{b}|$ og $|\vec{c}|$ . Kommenter svaret.

Løysing

Sidan $A B E F M$ er ein firkanta pyramide spend ut av vektorane $\vec{a}, \vec{c}$ og $\frac{1}{2} \vec{b}$ , blir volumet

$V_{▱} = \frac{1}{3} \cdot |(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \frac{1}{2} \vec{b}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{c}) \cdot \vec{b}| = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

I den siste overgangen har vi brukt resultatet frå oppgåve 4.1.51. Vi får det same som volumet av pyramiden $A B C D M$ i den førre deloppgåva. Vi kan dele heile parallellepipedet i 6 slike pyramidar med dette volumet, éin pyramide for kvar av sideflatene i parallellepipedet. Til saman blir volumet av dei 6 pyramidane

$V = 6 V_{▱} = 6 \cdot \frac{1}{6} |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}|$

som det må vere.

4.1.58

Vi har gitt punkta $A (- 1, 3, 2), B (2, 1, 1)$ og $C (- 2, 1, 3)$ .

Finn avstanden frå $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ utan hjelpemiddel. Kontroller svaret med CAS.

Tips til oppgåva

Teikn hjelpefigur.

Løysing

Vi kan sjå på avstanden frå $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ som høgda $h$ i trekanten $A B C$ , sjå figuren nedanfor.

Illustrasjon som viser trekanten A B C. Høgda frå C ned på A B er markert. — Trekant til høgdeberekning med vektorproduktet. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan finne arealet med vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ og rekne ut høgda $h$ ut ifrå dette.

Vi finn først koordinatane til $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

$\vec{A B} = [2 - (- 1), 1 - 3, 1 - 2] = [3, - 2, - 1]$
$\vec{A C} = [- 2 - (- 1), 1 - 3, 3 - 2] = [- 1, - 2, 1]$

$A_{△} = \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}|$

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \vec{A B} \times \vec{A C} \end{array} & = & [- 2 \cdot 1 - (- 2) \cdot (- 1), \\ - 1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 3, \\ 3 \cdot (- 2) - (- 1) \cdot (- 2)] \\ = & \begin{array}{l} [- 4, - 2, - 8] \end{array} \end{array}$

Vi får

$\begin{array}{rcl} A_{△} & = & \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}| \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 8)}^{2}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{16 + 4 + 64} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{84} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 21} \\ = & \sqrt{21} \end{array}$

Dette gir at høgda $h$ i trekanten blir

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{2 A_{△}}{g} \\ = & \frac{2 A_{△}}{|\vec{A B}|} \\ = & \frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} \\ = & 2 \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{14}} \\ = & 2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \\ = & \sqrt{6} \end{array}$

Med CAS blir dette enklare:

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er det skrive A B kolon er lik Vektor parentes parentes minus 1 komma, 3 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 2 komma, 1 komma, 1 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A B kolon er lik parentes 3 komma, minus 2 komma, minus 1 parentes slutt. På linje 2 er det skrive A C kolon er lik Vektor parentes parentes minus 1 komma, 3 komma, 2 parentes slutt komma, parentes minus 2 komma, 1 komma, 3 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A C kolon er lik parentes minus 1 komma, minus 2 komma, 1 parentes slutt. På linje 3 er det skrive ein halv multiplisert med absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B-vektor og A C-vektor er lik ein halv absoluttverdien av A B-vektor multiplisert med h. Svaret med Løys er h er lik rota av 6. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

4.1.59

Vi har gitt punkta $A (4, 0, 2), B (3, 5, 1)$ , $C (0, 7, 2)$ og $D (3, 5, 4)$ i eit koordinatsystem.

Finn avstanden frå $D$ til planet eller flata danna av $A, B$ og $C$ .

Løysing

Vi kan sjå på $A B C D$ som ein trekanta pyramide (tetraeder) med grunnflate $A B C$ og toppen i punktet $D$ . Oppgåva spør etter høgda $h$ i pyramiden. Den kan vi finne på tilsvarande måte som i den førre oppgåva ved å rekne ut volumet av pyramiden og arealet av grunnflata med vektorrekning.

$\begin{array}{rcl} V_{△} & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ \frac{1}{3} G \cdot h & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} |(\vec{A B} \times \vec{A C})| \cdot h & = & \frac{1}{6} |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \\ |(\vec{A B} \times \vec{A C})| \cdot h & = & |(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A D}| \end{array}$

Vi løyser resten av oppgåva med CAS.

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er det skrive A B kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 3 komma, 5 komma, 1 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A B kolon er lik parentes minus 1 komma, 5 komma, minus 1 parentes slutt. På linje 2 er det skrive A C kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 0 komma, 7 komma, 2 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A C kolon er lik parentes minus 4 komma, 7 komma, 0 parentes slutt. På linje 3 er det skrive A D kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 3 komma, 5 komma, 4 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A D kolon er lik parentes minus 1 komma, 5 komma, 2 parentes slutt. På linje 4 er absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B og A C multiplisert med h sett lik absoluttverdien av skalarproduktet mellom A D og vektorproduktet av A B og A C. Svaret med Løys er h er lik rota av 26 delt på 2. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Avstanden frå $D$ til planet gjennom $A, B$ og $C$ er $\frac{\sqrt{26}}{2}$ .

4.1.60

Punkta $A (- 1, 1, - 2), B (2, 0, 1, 1)$ , $D (1, - 2, 2)$ og $E (- 1, - 1, 2)$ er fire av punkta i parallellepipedet $A B C D E F G H$ . Punkta $A B C D$ dannar grunnflata i parallellepipedet, sjå figuren nedanfor.

Illustrasjon som viser eit parallellepiped A B C D E F G H der A B C D er grunnflata og E F G H er toppflata. — Parallellepipedet ABCDEFGH. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

a) Finn koordinatane til punktet $C$ utan hjelpemiddel.

Løysing

Vi set $C = (x, y, z)$ . Vidare har vi at sidan grunnflata er eit parallellogram, må

$\begin{array}{rcl} \vec{A B} & = & \vec{D C} \\ [2 - (- 1), 0 - 1, 1 - (- 2)] & = & [x - 1, y - (- 2), z - 2] \\ [3, - 1, 3] & = & [x - 1, y + 2, z - 2] \\ x - 1 & = & 3, y + 2 = - 1, z - 2 = 3 \\ x & = & 4, y = - 3, z = 5 \end{array}$

Vi får at $C = (4, - 3, 5)$ .

b) Finn vinklane i trekanten $A B E$ .

Løysing

Vi løyser oppgåva med CAS.

Skjermutklipp av CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er punktet A definert med koordinatane minus 1, 1 og minus 2. På linje 2 er punktet B definert med koordinatane 2, 0 og 1. På linje 3 er punktet D definert med koordinatane 1, minus 2 og 2. På linje 4 er punktet E definert med koordinatane minus 1, minus 1 og 2. På linje 5 er det skrive B A E kolon er lik Vinkel parentes Vektor parentes A komma, B parentes slutt komma, Vektor parentes A komma, E parentes slutt parentes slutt delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er B A E kolon er lik 44,1. På linje 6 er det skrive A B E kolon er lik Vinkel parentes Vektor parentes B komma, A parentes slutt komma, Vektor parentes B komma, E parentes slutt parentes slutt delt på gradsymbolet. Svaret med tilnærming er A B E kolon er lik 69,77. På linje 7 er A E B definert som 180 minus B A E minus A B E. Svaret er A B E kolon er lik 66,14. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi minner om at gradsymbolet i CAS er det same som konstanten $\frac{π}{180}$ . Vi får at vinklane er

$B A E = 44, 1 °, A B E = 69, 8 °, A E B = 66, 1 °$

c) Finn avstanden mellom grunnflata $A B C D$ og toppflata $E F G H$ .

Tips 1 til oppgåva

Finn avstanden frå punktet $E$ til grunnflata.

Tips 2 til oppgåva

Set opp to ulike måtar å rekne ut volumet av parallellepipedet på.

Løysing

Den generelle formelen for volumet av eit parallellepiped er $V = G \cdot h$ der $h$ er den avstanden vi skal finne. Vi kan rekne ut $G$ med $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ . I tillegg veit vi at vi kan rekne ut volumet av parallellepipedet med formelen $V = |(\vec{A B} \times \vec{A D}) \cdot \vec{A E}|$ . Vi løyser oppgåva med CAS.

Skjermutklipp frå CAS-feltet i GeoGebra. På linje 7 er det skrive A D kolon er lik Vektor parentes parentes 4 komma, 0 komma, 2 parentes slutt komma, parentes 0 komma, 7 komma, 2 parentes slutt parentes slutt. Svaret er A D kolon er lik parentes minus 4 komma, 7 komma, 0 parentes slutt. På linje 8 er absoluttverdien av vektorproduktet mellom A B og A D multiplisert med h sett lik absoluttverdien av skalarproduktet mellom A E og vektorproduktet mellom A B og A D. Svaret med Løys er h er lik rota av 26 delt på 2. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får at avstanden mellom toppflata og grunnflata i parallellepipedet er $8 \cdot \frac{\sqrt{110}}{55}$ .

4.1.50

4.1.51

4.1.52

4.1.53

4.1.54

Filer

4.1.55

4.1.56

Filer

4.1.57

Filer

4.1.58

4.1.59

4.1.60

Reglar for bruk av teksten "Areal og volum med vektorproduktet"