Definisjonen av den deriverte

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{4(x+∆x)-4x}{∆x}\\ & = & \frac{\cancel{4x}+4∆x-\cancel{4x}}{∆x}\\ & =& \frac{4\cancel{∆x}}{\cancel{∆x}}=4\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4$

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{2(x+∆x{)}^2-2x^2}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{2x^2}+4x∆x+2(∆x{)}^2-\cancel{2x^2}}{∆x}\\ & =& \frac{∆x(4x+2∆x)}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(4x+2∆x)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 4x+2∆x \end{array}$

No kan vi la $∆x$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4x$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{x+∆x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1·x}{(x+∆x)·x}}-{\displaystyle \frac{1·(x+∆x)}{x·(x+∆x)}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{x}{(x+∆x)x}}-{\displaystyle \frac{(x+∆x)}{x(x+∆x)}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{x-x-∆x}{(x+∆x)x}}}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{-∆x}{(x+∆x)x}}}{∆x}\\ & =& \frac{-∆x}{(x+∆x)x}·\frac{1}{∆x}\\ & =& \frac{-\cancel{∆x}}{(x+∆x)x·\cancel{∆x}}\\ & =& \frac{-1}{x^2+x∆x}\end{array}$$

No kan vi la $∆x$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right) =-\frac{1}{x^2}$

$$ $$$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{7(x+∆x{)}^2+5(x+∆x)-(7x^2+5x)}{∆x}\\ & =& \frac{7(x^2+2x∆x+(∆x{)}^2)+5(x+∆x)-7x^2-5x}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{7x^2}+14x∆x+7(∆x{)}^2+\cancel{5x}+5∆x-\cancel{7x^2}-\cancel{5x}}{∆x}\\ & =& \frac{∆x(14x+7∆x+5)}{∆x}\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(14x+7∆x+5)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 14x+7∆x+5\end{array}$

No kan vi la $∆x$ gå mot 0, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right) = 14x+5$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{2(x+∆x{)}^3-5(x+∆x{)}^2+3(x+∆x)-(2x^3-5x^2+3x)}{∆x}\\ & =& (\frac{2\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)·(x+∆x)}{∆x}\\ & & +\frac{-5\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)+3x+3∆x-\left(2x^3-5x^2+3x\right)}{∆x})\\ & =& (\frac{2(x^3+2x^2∆x+x(∆x{)}^2+x^2∆x+2x(∆x{)}^2+(∆x{)}^3)}{∆x}\\ & & +\frac{-\left(5x^2+10x∆x+5(∆x{)}^2\right)+3x+3∆x-(2x^3-5x^2+3x)}{∆x})\\ & =& (\frac{\cancel{2x^3}+4x^2∆x+2x{\left(∆x\right)}^2+2x^2∆x+4x{\left(∆x\right)}^2+2{\left(∆x\right)}^3}{∆x}\\ & & \\ & & +\frac{-\cancel{5x^2}-10x∆x-5{\left(∆x\right)}^2+\cancel{3x}+3∆x-\cancel{2x^3}+\cancel{5x^2}-\cancel{3x}}{∆x})\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(4x^2+2x∆x+2x^2+4x∆x+2{\left(∆x\right)}^2-10x-5∆x+3)}{\cancel{∆x}}\\ & =& 4x^2+2x∆x+2x^2+4x∆x+2{\left(∆x\right)}^2\\ & & -10x-5∆x+3\\ & =& 6x^2+6x∆x+2{\left(∆x\right)}^2-10x-5∆x+3\end{array}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi lèt $∆x$ gå mot 0 og får

$f^{\text{'}}\left(x\right) = 6x^2-10x+3$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x}& =& \frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}(x+∆x{)}^3-2(x+∆x{)}^2+c(x+∆x)-({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx)}{∆x}\\ & =& (\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)·(x+∆x)}{∆x}\\ & & +\frac{-2\left(x^2+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2\right)+cx+c∆x-\left({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx\right)}{∆x})\\ & =& (\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}(x^3+2x^2∆x+x(∆x{)}^2+x^2∆x+2x(∆x{)}^2+(∆x{)}^3)}{∆x}\\ & & +\frac{-\left(2x^2+4x∆x+2(∆x{)}^2\right)+cx+c∆x-({\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-2x^2+cx)}{∆x})\\ & =& (\frac{\cancel{{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}+x^2∆x+x{\left(∆x\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left(∆x\right)}^3}{∆x}\\ & & \\ & & +\frac{-\cancel{2x^2}-4x∆x-2{\left(∆x\right)}^2+\cancel{cx}+c∆x-\cancel{{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}+\cancel{2x^2}-\cancel{cx}}{∆x})\\ & =& \frac{\cancel{∆x}(x^2+x∆x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left(∆x\right)}^2-4x-2∆x+c)}{\cancel{∆x}}\\ & =& x^2+x∆x+\frac{1}{3}{\left(∆x\right)}^2-4x-2∆x+c\\ & & \end{array}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}$$

Vi lèt no $$ ∆x$$ gå mot null. Definisjonen av den deriverte gir då at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-4x+c$$

Vi veit at ein tredjegradsfunksjon har topp- og botnpunkt dersom den deriverte har to nullpunkt. Derfor må vi sjå på for kva verdiar av $$ c$$ dette skjer. Vi bruker diskriminanten (det vil seie uttrykket som står inne i kvadratrottegnet i abc-formelen) og finn dei verdiane av $$ c$$ som gjer at denne er større enn 0:

$$ \begin{array}{rcl}{b}^2-4ac & >& 0\\ {\left(-4\right)}^2-4·1·c & >& 0\\ 16-4c & >& 0\\ 16 & >& 4c\\ c & <& 4\end{array}$$

Vi ser at $$ c$$ må vere mindre enn 4 dersom den deriverte skal ha to nullpunkt og dermed ha topp- og botnpunkt.

Vi må igjen sjå på diskriminanten til den deriverte. Ein funksjon utan stasjonære punkt har ein derivert som aldri blir 0, altså må diskriminanten vere mindre enn 0. Vi bruker den same metoden som i b) og snur ulikskapsteiknet:

$$ \begin{array}{rcl}{b}^2-4ac & <& 0\\ 16-4c & <& 0\\ 16 & <& 4c\\ c & >& 4\end{array}$$

$$ c$$ må vere større enn 4 for at funksjonen ikkje skal ha nokon stasjonære punkt.

Eit stasjonært punkt har ein tredjegradsfunksjon dersom den deriverte berre har eitt nullpunkt, og dei to tidlegare oppgåvene viser oss at det må vere dersom $$ c$$ er nøyaktig 4. Då kjenner vi igjen den deriverte som eit fullstendig kvadrat.