Gjennomsnittleg og momentan vekstfart

Døme på gjennomsnittleg vekstfart: kroppshøgde

Som 13-åring var Nils Henrik 149 cm høg. Då han var 17, var han 181 cm. Kor mykje vaks Nils Henrik i denne perioden i gjennomsnitt per år?

Tenk over

Kan vi finne ut kor høg Nils Henrik var då han var 14 år?

Forklaring

Vi kan ikkje ut frå desse opplysningane vite nøyaktig kor høg Nils Henrik var då han var 14 år. Men vi kan bruke den gjennomsnittlege vekstfarten til å rekne ut kor høg han tilnærma var.

Sidan han i gjennomsnitt vaks 8 cm per år, ville høgda hans då han var 14 år, vere tilnærma 157 cm.

$$ 149 \mathrm{cm}+8 \mathrm{cm}=157 \mathrm{cm}$$

Kva har vi brukt som føresetnad i utrekninga i boksen over?

Føresetnad

Vi har gått ut frå at Nils Henrik vaks like mykje kvart år, altså 8 cm per år. Slik var det sikkert ikkje i verkelegheita, for ofte veks barn og ungdom mykje det eine året, mens det neste året veks dei nesten ikkje noko.

I dømet over er storleiken $$ y$$ høgda til Nils Henrik målt i cm og $$ x$$ er tida målt i år. Kva blir den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik dersom vi måler høgda $$ y$$ i mm og bruker månad som eining på $$ x$$?

Gjennomsnittleg vekst per månad

$$ \frac{320 \mathrm{mm}}{4·12 \mathrm{mnd}}=6,7\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{mnd}}$$

Gjennomsnittleg vaks Nils Henrik 6,7 mm per månad. Dette er den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik når vi måler i millimeter per månad.

Gjennomsnittleg vekstfart grafisk

Vi skal no sjå korleis gjennomsnittleg vekstfart ser ut grafisk.

Teikn informasjonen om alderen til Nils Henrik som to punkt i eit koordinatsystem der vi har alderen målt i år på $$ x$$-aksen og høgda målt i cm på $$ y$$-aksen.

Høgdeutviklinga til Nils Henrik

Øvst på sida rekna vi ut den gjennomsnittlege vekstfarten med reknestykket

$$ \frac{181 \mathrm{cm}-149 \mathrm{cm}}{17 \mathrm{år}-13 \mathrm{år}}=\frac{32 \mathrm{cm}}{4 \mathrm{år}}$$

Vi finn òg igjen tala i reknestykket i koordinatsystemet i boksen over. Kvar?

Svar

Vi finn tala som koordinatane til dei to punkta.

Vi teiknar ei linje igjennom dei to punkta, sjå figuren. Det vassrette, stipla linjestykket har lengde $$ ∆x$$ lik forskjellen i $$ x$$-verdi mellom dei to punkta. Det betyr at

$$ ∆x=17-13=4$$

Tilsvarende har det loddrette linjestykket lengde $$ ∆y$$ lik forskjellen i $$ y$$-verdi mellom dei to punkta. Vi får tilsvarande at

$$ ∆y=181-149=32$$

Det betyr at den gjennomsnittlege vekstfarten kan uttrykkast som $$ \frac{∆y}{∆x}$$.

Tenk over

Studer figuren over. Kva betydning har forholdet $$ \frac{∆y}{∆x}$$ i tillegg til å vere den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik mellom 13 og 17 år?

Forklaring

Vi ser av figuren at den gjennomsnittlege vekstfarten er det same som stigningstalet til den rette linja igjennom dei to punkta.

På figuren har vi teikna linja ved hjelp av kommandoen "Linje" eller den tilsvarande verktøyknappen. Så har vi brukt kommandoen (eller verktøyknappen) "Stigning" for å finne at stigningstalet til linja er 8.

Gjennomsnittleg vekstfart mellom to punkt

Den gjennomsnittlege vekstfarten frå eit punkt $$ \left(x_1,y_1\right)$$ til eit punkt $$ \left(x_2,y_2\right)$$, er det same som stigningstalet $$ a$$ til den rette linja igjennom punkta.

$$ a=\frac{∆y}{∆x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Gjennomsnittleg vekstfart til ein funksjon

No går vi ut frå at høgda $$ h$$ til Nils Henrik kan modellerast med funksjonen

$$ h\left(x\right)=-x^2+38x-176 , D_f=\left[12,18\right]$$

der $$ x$$ er alderen i år. Korleis finn vi no kor fort Nils Henrik vaks i gjennomsnitt frå han var 13 til han var 17?

Gjennomsnittleg vekst til Nils Henrik med CAS

Vi finn $$ y$$-koordinatane til dei to punkta ved å rekne ut $$ h\left(13\right)$$ og $$ h\left(17\right)$$.

Gjennomsnittleg vekst til Nils Henrik grafisk

Vi teiknar funksjonen $$ h$$. Så skriv vi inn punkta $$ \left(13,h\left(13\right)\right)$$ og $$ \left(17,h\left(17\right)\right)$$ i algebrafeltet. Deretter teiknar vi den rette linja mellom dei to punkta med linjeverktøyet (eller kommandoen "Linje") og finn stigningstalet til linja med verktøyet "Stigning".

Dette er nesten same figur som lenger opp på sida. Forskjellen er at punkta er rekna ut frå ein funksjon, mens lenger opp hadde vi gitt opp punkta direkte.

Gjennomsnittleg vekstfart til ein funksjon oppsummert

Den gjennomsnittlege vekstfarten for ein funksjon $f\left(x\right)$ når $x$ veks frå $x_1$ til $x_2$, er lik stigningstalet $$ a$$ til sekanten igjennom punkta $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$ og $\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$.

$a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

Ein sekant er ei rett linje som skjer ei krum kurve i minimum to punkt.

Vi går framleis ut frå at høgda til Nils Henrik følger funksjonen

$$ h\left(x\right)=-x^2+38x-176 , D_f=\left[12,18\right]$$

Tenk over

Vi såg i dømet over at Nils Henrik vaks i gjennomsnitt 8 cm per år frå han var 13 til han var 17. Kan du ut frå grafen seie noko om når i denne perioden han vaks raskast?

Kor raskt vaks han eigenleg per år akkurat då? For å svare på det kan du bruke GeoGebra-simuleringa nedanfor, der du kan dra i den svarte glidaren for å flytte på punktet til høgre og observere endringa i stigningstalet til linja. Dersom simuleringa ikkje blir vist, kan du laste ho ned nedanfor.

Når vi flyttar det svarte punktet til det overlappar det blå, får vi at stigningstalet til linja blir 12. Det betyr at då Nils Henrik var 13 år, vaks han med ein fart av 12 cm per år. Merk at dette gjeld berre då han var 13 år, eller når $$ x=13$$. Vi kallar dette for den momentane vekstfarten til Nils Henrik – og til funksjonen $$ h$$ – når $$ x=13$$.

Når dei to punkta overlappar, er ikkje linja lenger ein sekant som skjer grafen i to punkt, men ein tangent til grafen i punktet $$ \left(13,h\left(13\right)\right)$$. Er du einig i at tangenten er like bratt som grafen akkurat i tangeringspunktet? Dette er definisjonen på ein tangent.

Momentan vekstfart, definisjon

Den momentane vekstfarten til ein funksjon i eit punkt på grafen er stigningstalet til tangenten til grafen i dette punktet.

Merk òg at både gjennomsnittleg og momentan vekstfart får måleininga cm/år eller cm per år, altså måleininga på $$ y$$-aksen delt på måleininga på $$ x$$-aksen.

Vi kan bruke den momentane vekstfarten til ein funksjon som ei tilnærming til kor mykje funksjonen veks når $$ x$$ aukar med 1 eining. I dømet her kan vi seie at frå Nils Henrik var 13 til han vart 14, vaks han cirka 12 cm sidan den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=13$$, er 12.

Vi skal vise korleis vi finn den momentane vekstfarten til funksjonen (og Nils Henrik) når $$ x=14$$, både grafisk og ved rekning.

Momentan vekstfart grafisk

Vi har følgt oppskrifta nedanfor då vi laga biletet i boksen over, bortsett frå at vi teikna tangenten i punktet $$ \left(13,h\left(13\right)\right)$$, ikkje $$ \left(14,h\left(14\right)\right)$$.

• Vi teiknar funksjonen ved å skrive han inn i algebrafeltet.

• Vi teiknar punktet $$ \left(14,h\left(14\right)\right)$$ ved å skrive nettopp dette i algebrafeltet.

• Vi teiknar tangenten til grafen i punktet ved å velje verktøyet "Tangentar", sjå biletet, klikke på punktet og deretter klikke ein stad på grafen til $$ h$$.

• Vi finn stigningstalet til tangenten ved å velje verktøyet "Stigning" og klikke på tangentlinja. Dette stigningstalet er den momentane vekstfarten til grafen i punktet $$ \left(14,h\left(14\right)\right)$$.

Ved å følge desse punkta skal du få at stigningstalet til tangenten er 10. Den momentane vekstfarten til funksjonen når $$ x=14$$, er derfor 10. Det betyr at då Nils Henrik var 14 år, vaks han med 10 cm per år.

Momentan vekstfart med CAS

Vi finn den momentane vekstfarten med CAS enklast på denne måten:

• Skriv inn funksjonen i CAS.

• Vi kombinerer kommandoane "Stigning" og "Tangent" ved å setje tangentkommandoen saman med den aktuelle $$ x$$-verdien og namnet på funksjonen inn i kommandoen "Stigning". Resultatet blir stigningstalet til tangenten, som er den momentane vekstfarten til funksjonen i tangeringspunktet.

Kommentar: Vi kan òg finne tangenten først og deretter bruke kommandoen "Stigning" dersom vi føretrekker å gjere det på to linjer. Eit tredje alternativ er å berre bruke kommandoen "Tangent". Det kan vi gjere sidan vi kan lese ut stigningstalet direkte frå likninga til tangenten.