Nokre derivasjonsreglar

Det å derivere ein funksjon $$ f\left(x\right)$$ ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ kan vere mykje arbeid. Det ser vi til dømes i oppgåve 3.4.20 e) på oppgåvesida "Definisjonen av den deriverte". Derfor lagar vi oss derivasjonsreglar som vi kan bruke i staden for definisjonen.

Vi skal finne den deriverte til funksjonen $$ f$$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$$

Kva slags derivasjonsreglar treng vi dersom vi skal sleppe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?

I utgangspunktet treng vi ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar, sidan $$ f\left(x\right)$$ er ein polynomfunksjon. Vi treng eigentleg to reglar til slike funksjonar.

• Vi må vite korleis vi deriverer ein funksjon av typen $$ a·x^n$$ der $$ a$$ er ein vilkårleg konstant og $$ n$$ er eit positivt, heilt tal.

• Sidan funksjonen inneheld fleire ledd, må vi vite korleis vi deriverer funksjonar som består av fleire ledd, det vil seie funksjonar som $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$$.

Derivasjonsregel

Vi ønsker å finne $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ når $$ f\left(x\right)=a·x^n$$ der $$ a$$ er ein vilkårleg konstant. I første omgang går vi ut frå at $$ n$$ er eit positivt, heilt tal. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart, $$ \frac{∆y}{∆x}$$, som er lik $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ når $$ ∆x\to 0$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a{\left(x+∆x\right)}^n-a{x}^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{{\displaystyle \stackrel{n \mathrm{faktorer}}{\overbrace{\left(x+∆x\right)·\left(x+∆x\right)·...·\left(x+∆x\right)}}}-x^n}{∆x}\end{array}$$

Vi får $$ n$$ faktorar av typen $$ \left(x+∆x\right)$$. Det er ein stor jobb å multiplisere ut ein stor potens av eit slikt uttrykk, og heldigvis treng vi ikkje det. Vi treng berre å sjå på nokre få av dei ledda vi får når potensen blir multiplisert ut.

Vi startar med det vi får ved å multiplisere alle $$ x$$ frå kvar av dei $$ n$$ faktorane. Dette gir leddet $$ x^n$$. Det er det einaste leddet vi får av typen $$ x^n$$ når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer $$ ∆x$$ frå den første faktoren med $$ x$$ frå dei $$ n-1$$ andre faktorane. Då får vi leddet

$$ ∆x·x^{n-1}$$

Blir det fleire ledd av typen $$ ∆x·x^{n-1}$$? Svaret på det er ja. Dersom vi multipliserer $$ ∆x$$ frå den andre faktoren med $$ x$$ frå den første faktoren og $$ x$$frå dei $$ n-2$$ andre faktorane, får vi

$$ ∆x·x·x^{n-2}=∆x·x^{n-1}$$

🤔 Tenk over: Kor mange ledd av typen $$ ∆x·x^{n-1}$$ blir det totalt?

Når vi slår saman desse $$ n$$ ledda, får vi

$$ n·∆x·x^{n-1}$$

Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesane, vil innehalde faktoren $$ ∆x$$ minimum to gonger, det vil seie at dei inneheld faktoren $$ {\left(∆x\right)}^2$$. Det betyr at resten av ledda kan skrivast som

$$ {\left(∆x\right)}^2\left(...\right)$$

der den andre parentesen inneheld ledd med potensar av $$ x$$ og $$ ∆x$$ med ulike kombinasjonar av eksponentar.

No kan vi gå tilbake til utrekninga av $$ \frac{∆y}{∆x}$$.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& a·\frac{x^n+n·∆x·x^{n-1}+{\left(∆x\right)}^2\left(...\right)-x^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{∆x\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)}{∆x}\\ & =& a\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)\end{array}$$

Vi får forkorta bort $$ ∆x$$. No kan vi la $$ ∆x$$ gå mot 0 slik vi må gjere for å finne den deriverte funksjonen. Då forsvinn det andre leddet i parentesen, og vi får

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=a·n{x}^{n-1}$$

Det går an å vise at denne regelen gjeld for alle $$ n\in \mathrm{ℝ}$$, ikkje berre for dei naturlege tala. Dette kjem vi tilbake til i faga R1 og S1.

Døme

Vi skal derivere $$ f\left(x\right)=3x^2$$. Det betyr at $$ a=3$$ og $$ n=1$$. Då får vi at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=3·2x^{2-1}=6x^1=6x$$

Vi ønsker å finne ut korleis vi deriverer funksjonar som består av to ledd. Vi set

$$ f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$$

Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart, $$ \frac{∆y}{∆x}$$, og ser kva vi får.

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)+h\left(x+∆x\right)-\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)+h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)}{∆x}+\frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\end{array}$$

Når vi no lar $$ ∆x$$ gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen $$ g$$, det vil seie $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$, mens det andre leddet går mot $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$. Vi får derfor at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)$$

Konklusjonen blir at dersom ein funksjon er ein sum av to delfunksjonar blir den deriverte lik summen av den deriverte av kvar delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjeld òg når $$ f^{\text{'}}\left(x\right)$$ består av tre eller fleire ledd, og du får studert dette nærare i ei av oppgåvene.

Kva gjer vi dersom funksjonen inneheld eit konstantledd slik som eksempelfunksjonen øvst på sida? Vi veit at den deriverte av ein konstant er 0 fordi grafen til ein konstant funksjon er ei vassrett linje, som har stigningstal 0.

Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittleg vekstfart igjen. Vi set $$ f\left(x\right)=a$$. Då får vi

$$ \begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a-a}{∆x}\\ & =& 0\end{array}$$

Her slepp vi å la $$ ∆x$$ gå mot null sidan han vart borte. Vi får at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$

No kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen $$ f$$ frå øvst på sida.

$$ f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$$

Vi deriverer ledd for ledd:

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·3·x^{3-1}-2·x^{2-1}+3·x^{1-1}+0\\ & =& 6x^2-2x+3\end{array}$$