Hopp til innhald
Oppgåve

Drøfting av polynomfunksjonar

Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.

3.4.10

Finn eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) til ein funksjon der den deriverte funksjonen har følgjande graf.

Løysing

Den deriverte funksjonen, f', har som einaste nullpunkt  x=-3.

For  x<-3  er f' positiv, som betyr at grafen til f stig. For  x>-3  er f' negativ, som betyr at grafen til f søkk. Det betyr at funksjonen har eit toppunkt for x=-3. Grafen har ingen andre ekstremalpunkt.

3.4.11

Ein funksjon f har derivertfunksjonen  f'x=2x-2. Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen f stig, og når han søkk. Avgjer òg om grafen til f har topp- eller botnpunkt.

Løysing

Vi set  f'x=0.

2x-2 = 02x = 2x = 1

Vi veit då at det berre er for  x=1  at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla , 1 og 1,  og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0=2·0-2=-2<0

f'2=2·2-2=2>0

Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'(x).

Vi ser av forteiknslinja at

  • grafen til f søkk når  x<1
  • grafen til f stig når  x>1
  • grafen til f har botnpunkt når  x=1

3.4.12

Funksjonen f er gitt ved

fx=x3-3x2-9x+10

Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen f stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt. Lag ei skisse av grafen til f på grunnlag av dei opplysningane derivertfunksjonen gir.

Løysing

Vi deriverer funksjonen.

 f'x=3x3-1-3·2x2-1-9·x1-1+0=3x2-6x-9

Vi faktoriserer den deriverte.

3x2-6x-9 =3x2-2x-3=3(x-3)(x+1) 

Her har vi brukt stiremetoden -3·1=-3  og  (-3)+1=-2.

Det betyr at  f'(x)=0  når  x=-1         x=3

Vi veit då at det berre er i punkta -1, f1 og 3, f3 at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla , -1, -1, 3 og 3,  og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-2 = 3-22-6-2-9=3·4+12-9=15>0f'0 = 302-6·0-9=-9<0f'4 = 342-6·4-9=3·16-24-9=16>0

Vi kan då setje opp forteiknslinja for f'x.

Vi ser av forteiknslinja at

  • grafen til fx stig når  x<-1  og når  x>3
  • grafen til fx søkk når  -1<x<3
  • grafen til fx har toppunkt når  x=-1 . Toppunktet er -1, f-1=-1, 15 fordi

f-1=-13-3-12-9·-1+10=-1-3+9+10=15

  • grafen til fx har botnpunkt når  x=3 . Botnpunktet er 3, f3=3, -17 fordi

f3=33-332-9·3+10=27-27+10=-17

Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til f saman med forteiknslinja for den deriverte. (Her har vi teikna den reelle grafen.)

3.4.13

Den deriverte funksjonen til ein funksjon f har grafen som vist til høgre.

Finn når grafen til funksjonen f stig, når han søkk og eventuelle ekstremalpunkt på grafen til f.

Lag ei skisse av grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.

Løysing

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

  • fx stig når  x<0  og når  x>2
  • fx søkk når  0<x<2
  • fx har eit toppunkt for x=0
  • fx har eit botnpunkt for x=2

Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.

3.4.14

Figuren viser grafen til ein funksjon f. Teikn forteiknslinjene til f og f'.

Løysing

3.4.15

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3+32x2-92

Drøft monotonieigenskapane til f, og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Finn nullpunkta til f, og lag ei skisse av grafen.

Løysing

Vi deriverer funksjonen.

f'x=13·3x2+32·2x=x2+3x

Vi set  f'x=0.

x2+3x = 0xx+3 = 0x = 0      x=-3

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla , -3, -3, 0 og 0,  for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-4 = -42+3-4=4   Positivtf'-2 = -22+3-2=-2   Negativtf'1 = 12+31=4   Positivt

Det betyr at

  • grafen til f stig i intervalla , -3 og 0, 
  • grafen til f søkk i intervallet -3, 0

fx har toppunkt

-3, f-3 = -3, 13-33+32-32-92= -3, -182+272-92= -3, 0

fx har botnpunkt

0, f0=0, 1303+3202-92=0, -92

Vi har at x=-3 er eitt nullpunkt. Vi kan då gjere polynomdivisjonen.

13x3+32x2-92:(x+3)=13x2+12x-32-(13x3+x2)12x2-92-(12x2+32x)-32x-92-(-32x-92)0

Vi set så  13x2+12x-32=0.

Det gir følgjande nye nullpunkt for f:

x = -12±14+4·13·322·13=-12±14+842·13=-12±32·3·223·3·2=-3±94x = 32         x=-3

Under ser du ei skisse av grafen basert på nullpunkta og topp- og botnpunkta vi har funne.

3.4.16

Løys oppgåvene 3.3.12 og 3.3.13 på sida Modellering med andregradsfunksjonar med CAS.

Tips til 3.3.13 f)

Prøv å løyse oppgåva ved å leggje inn funksjonen A(x) med konstanten s. Korleis kan du bruke den deriverte funksjonen til å svare på spørsmålet?