3.4.10
Finn eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) til ein funksjon der den deriverte funksjonen har følgjande graf.
Løysing
Den deriverte funksjonen, , har som einaste nullpunkt .
For er positiv, som betyr at grafen til stig. For er negativ, som betyr at grafen til søkk. Det betyr at funksjonen har eit toppunkt for . Grafen har ingen andre ekstremalpunkt.
3.4.11
Ein funksjon
Løysing
Vi set
Vi veit då at det berre er for
Vi kan då setje opp forteiknslinja til
Vi ser av forteiknslinja at
- grafen til
søkk nårf x < 1 - grafen til
stig nårf x > 1 - grafen til
har botnpunkt nårf x = 1
3.4.12
Funksjonen
Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen
Løysing
Vi deriverer funksjonen.
Vi faktoriserer den deriverte.
Her har vi brukt stiremetoden
Det betyr at
Vi veit då at det berre er i punkta
Vi kan då setje opp forteiknslinja for
Vi ser av forteiknslinja at
- grafen til
stig nårf x og nårx < - 1 x > 3 - grafen til
søkk nårf x - 1 < x < 3 - grafen til
har toppunkt nårf x . Toppunktet erx = - 1 fordi- 1 , f - 1 = - 1 , 15
- grafen til
har botnpunkt nårf x . Botnpunktet erx = 3 fordi3 , f 3 = 3 , - 17
Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til
3.4.13
Den deriverte funksjonen til ein funksjon
Finn når grafen til funksjonen
Lag ei skisse av grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.
Løysing
Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at
stig nårf x og nårx < 0 x > 2 søkk nårf x 0 < x < 2 har eit toppunkt forf x x = 0 har eit botnpunkt forf x x = 2
Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.
3.4.14
Figuren viser grafen til ein funksjon
Løysing
3.4.15
Funksjonen
Drøft monotonieigenskapane til
Løysing
Vi deriverer funksjonen.
Vi set
Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla
Det betyr at
- grafen til
stig i intervallaf og⟨ ← , - 3 ⟩ ⟨ 0 , → ⟩ - grafen til
søkk i intervalletf ⟨ - 3 , 0 ⟩
Vi har at
Vi set så
Det gir følgjande nye nullpunkt for
Under ser du ei skisse av grafen basert på nullpunkta og topp- og botnpunkta vi har funne.
3.4.16
Løys oppgåvene 3.3.12 og 3.3.13 på sida Modellering med andregradsfunksjonar med CAS.
Tips til 3.3.13 f)
Prøv å løyse oppgåva ved å leggje inn funksjonen