Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel dersom det ikkje står noko anna.
3.4.10
Finn eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) til ein funksjon der den deriverte funksjonen har følgjande graf.
Løysing
Den deriverte funksjonen, , har som einaste nullpunkt .
For er positiv, som betyr at grafen til stig. For er negativ, som betyr at grafen til søkk. Det betyr at funksjonen har eit toppunkt for . Grafen har ingen andre ekstremalpunkt.
3.4.11
Ein funksjon f har derivertfunksjonen f'x=2x-2. Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen f stig, og når han søkk. Avgjer òg om grafen til f har topp- eller botnpunkt.
Løysing
Vi set f'x=0.
2x-2=02x=2x=1
Vi veit då at det berre er for x=1 at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla ⟨←,1⟩ og ⟨1,→⟩ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
f'0=2·0-2=-2<0
f'2=2·2-2=2>0
Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'(x).
Vi ser av forteiknslinja at
grafen til f søkk når x<1
grafen til f stig når x>1
grafen til f har botnpunkt når x=1
3.4.12
Funksjonen f er gitt ved
fx=x3-3x2-9x+10
Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen f stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt. Lag ei skisse av grafen til f på grunnlag av dei opplysningane derivertfunksjonen gir.
Løysing
Vi deriverer funksjonen.
f'x=3x3-1-3·2x2-1-9·x1-1+0=3x2-6x-9
Vi faktoriserer den deriverte.
3x2-6x-9=3x2-2x-3=3(x-3)(x+1)
Her har vi brukt stiremetoden -3·1=-3og(-3)+1=-2.
Det betyr at f'(x)=0 når x=-1∨x=3
Vi veit då at det berre er i punkta -1,f1 og 3,f3 at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla ⟨←,-1⟩,⟨-1,3⟩ og ⟨3,→⟩ og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
grafen til fx har toppunkt når x=-1 . Toppunktet er -1,f-1=-1,15 fordi
f-1=-13-3-12-9·-1+10=-1-3+9+10=15
grafen til fx har botnpunkt når x=3 . Botnpunktet er 3,f3=3,-17 fordi
f3=33-332-9·3+10=27-27+10=-17
Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til f saman med forteiknslinja for den deriverte. (Her har vi teikna den reelle grafen.)
3.4.13
Den deriverte funksjonen til ein funksjon f har grafen som vist til høgre.
Finn når grafen til funksjonen f stig, når han søkk og eventuelle ekstremalpunkt på grafen til f.
Lag ei skisse av grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.
Løysing
Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at
fx stig når x<0 og når x>2
fx søkk når 0<x<2
fx har eit toppunkt forx=0
fx har eit botnpunkt forx=2
Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.
3.4.14
Figuren viser grafen til ein funksjon f. Teikn forteiknslinjene til f og f'.
Løysing
3.4.15
Funksjonen f er gitt ved
fx=13x3+32x2-92
Drøft monotonieigenskapane til f, og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. Finn nullpunkta til f, og lag ei skisse av grafen.
Løysing
Vi deriverer funksjonen.
f'x=13·3x2+32·2x=x2+3x
Vi set f'x=0.
x2+3x=0xx+3=0x=0∨x=-3
Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla 〈←,-3〉,⟨-3,0⟩ og ⟨0,→⟩ for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.